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2014高考数学(文)真题解析分类汇编 专题04-三角函数与解三角形(解析版)


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2014 高考数学(文)真题解析分类汇编 专题 04-三角函数与解三角形
1. 【2014 高考安徽卷文第 7 题】若将函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的图像向右平移 ? 个单位,所得图像关于

y 轴对称,则 ? 的最小正值是(
A.

)21cnjy.com D.

?
8

B.

?
4

C.

3? 8

3? 4

2. 【2014 高考北京卷文第 12 题】在 ?ABC 中, a ? 1 , b ? 2 , cos C ?

1 ,则 c ? 4



sin A ?

.www.21-cn-jy.com

3. 【2014 高考大纲卷文第 2 题】已知角 ? 的终边经过点(-4,3),则 cos ? =( A.



4 5

B.

3 5

C. -

3 5

D. -

4 2· 1· c· n· j· y 5

【答案】D 【解析】

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试题分析:由题意可知 x=-4,y=3,r=5,所以 cos ? ? 考点:三角函数的概念.

x 4 ? ? .故选 D. r 5
.

4. 【2014 高考大纲卷文第 14 题】函数 y ? cos 2 x ? 2sin x 的最大值为

5. 【2014 高考福建卷文第 7 题】将函数 y ? sin x 的图象向左平移 象,则下列说法正确的是 ( )【来源:21·世纪·教育·网】

?
2

个单位,得到函数 y ? f ? x ? 的函数图

A. y ? f ? x ? 是奇函数 B. y ? f ? x ?的周期是? C.3 y ? f ? x ?的图象关于直线x ? 对称 2 ? ? ? D. y ? f ? x ?的图象关于点 ? - , 0 ? 对称 ? 2 ?

?

6. 【2014 高考福建卷文第 14 题】在 ?ABC 中, A ? 60?, AC ? 2, BC ? 3 ,则 AB 等于__________. 【答案】 1 【解析】

( 3)=AB +1 -2 AB ?1? cos 60 ,解得 AB ? 1 . 试题分析:由余弦定理得,
2 2 2 0

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考点:余弦定理的应用. 7. 【2014 高考广东卷文第 7 题】在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对应的变分别为 a 、 b 、 c ,则 是 “a ? b” 的( “sin A ? sin B” A.充分必要条件 C.必要非充分条件 )
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B.充分非必要条件 D.非充分非必要条件

8. 【2014 高考湖北卷文第 13 题】在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,已知 A ?

?
6



a ? 1 , b ? 3 ,则 B ? ________.【出处:21 教育名师】

9. 【2014 高考江苏卷第 5 题】已知函数 y ? cos x 与函数 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,它们的图像有一个横 坐标为

?
3

的交点,则 ? 的值是

.21 教育名师原创作品

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10. 【 2014 高考江苏卷第 14 题】 若 ?ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2sin C ,则 cos C 的最小值 是 .

【答案】

6? 2 4

11. 【2014 高考江西卷文第 5 题】在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, ,若 3a ? 2b ,则

2sin 2 B ? sin 2 A 的值为( sin 2 A
A. ? 1 9 B. 1 3

)21*cnjy*com

C.1

D.

7 2

12. 【2014 高考辽宁卷文第 11 题】 将函数 y ? 3sin(2 x ? 应的函数( A.在区间 [ )

?
3

) 的图象向右平移

?
2

个单位长度,所得图象对

? 7?
,

12 12

] 上单调递减

B.在区间 [

C.在区间 [? 【答案】B

? ?

, ] 上单调递增 12 12

? 7?

, ] 上单调递减 6 3

D.在区间 [ ?

? ?

, ] 上单调递增 6 3

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【解析】 试 题 分 析 : 将 函 数 y ? 3sin(2 x ?

?
3

) 的 图 象 向 右 平 移

?
2

个 单 位 长 度 , 得 到

? ? 2? ? 2? ? , 解 得 y ? 3sin[2( x ? ) ? ] ? 3sin(2 x ? ) , 令 2 k ? ? ? 2x ? ? 2 k? ? 2 3 3 2 3 2 ? 7? ? 7? ? 7? , 故递增区间为 [k? ? (k ?z) , 当 k ? 0 时, 得递增区间为 [ , k? ? ? x ? k? ? , k? ? ] ], 12 12 12 12 12 12
选 B. 【考点定位】1、三角函数图象变换;2、三角函数的单调性. 13. 【 2014 高 考 全 国 1 卷 文 第 7 题 】 在 函 数 ① y ? cos | 2 x | , ② y ?| cos x | ③ y ? cos(2 x ? A.①②③ ,

?

) ,④ y ? tan(2 x ? ) 中,最小正周期为 ? 的所有函数为( 6 4
C. ②④ D. ①③

?

)www-2-1-cnjy-com

B. ①③④

15. 【2014 高考全国 1 卷文第 16 题】如图,为测量山高 MN ,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点. 从 A 点测得

M 点的仰角 ?MAN ? 60? , C 点的仰角 ?CAB ? 45? 以及 ?MAC ? 75? ;从 C 点测得

?MCA ? 60? .已知山高 BC ? 100m ,则山高 MN ? ________ m .

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16. 【2014 高考全国 2 卷文第 14 题】 函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? 2 sin ? cos x 的最大值为________.

17. 【2014 高考山东卷文第 12 题】函数 y ?

3 sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期为 2

.

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18. 【2014 高考陕西卷文第 2 题】函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?
4

) 的最小正周期是(



A.

?
2

B.?

C.2?

D.4?

【答案】 B 【解析】

2? ,又 w ? 2 w ? 2? 所以函数 f ( x) ? cos(2 x ? ) 的周期 T ? ?? 6 2
试题分析:由周期公式 T ? 故选 B 考点:三角函数的最小正周期. 19. 【2014 高考陕西卷文第 13 题】 设 0 ? ? ? 则 tan ? ? ______.

?
2

,向量 a ? (sin 2? , cos ? ), b ? (1,? cos ? ) ,若 a ? b ? 0 ,

20. 【2014 高考四川卷文第 3 题】为了得到函数 y ? sin( x ? 1) 的图象,只需把函数 y ? sin x 的图象上所有 的点( ) B.向右平行移动 1 个单位长度
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A.向左平行移动 1 个单位长度

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C.向左平行移动 ? 个单位长度

D.向右平行移动 ? 个单位长度

21. 【2014 高考四川卷文第 8 题】 如图, 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, C 的俯角分别为 75 ,30 , 此时气球的高是 60m ,则河流的宽度 BC 等于( A. 240( 3 ? 1) m B. 180( 2 ? 1) m )21 世纪教育网版权所有 C. 120( 3 ? 1) m D. 30( 3 ? 1) m

22. 【2014 高考天津卷卷文第 8 题】 已知函数 f ( x ) ? 直线 y ? 1 的交点中,若相邻交点距离的最小值为 A.

3 sin ? x ? cos ? x (? ? 0), x ? R. 在曲线 y ? f ( x ) 与
,则 f ( x ) 的最小正周期为( )

?
3

?
2

B.

2? 3

C. ?

D. 2?

【答案】C 【解析】

? ? ? ? 试题分析:因为 f ( x) ? 2sin(? x ? ) ,所以由 f ( x) ? 2sin(? x ? ) ? 1 得: ? x ? ? ? 2k? 或 6 6 6 6
?x ? ?
6 ?

? 5? ? 5? ? 2? ? 2m? , (m, k ? Z ) ,所以由相邻交点距离的最小值为 得: ?? ? ? , ? ? 2, T ? ? ? . 选 C. 6 3 6 6 ? 3

考点:三角函数性质

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23. 【2014 高考浙江卷文第 4 题】为了得到函数 y ? sin 3 x ? cos 3 x 的图象,可以将函数 y ? 图象( )

2 cos 3 x 的

A.向右平移 C.向左平移 【答案】A 【解析】

?
12

个单位长 个单位长

B.向右平移 D.向左平移

? ?
4 4

个单位长 个单位长

?

12

试题分析:因为 y ? sin 3 x ? cos 3 x ? 位长得函数 y ?

2 sin(3 x ?

?
?
4

) ,所以将函数 y ? 2 cos 3 x 的图象向右平移

?
12

个单

2 cos 3( x ?

) ? 2 cos(?3 x ? ) ? 2 sin( ? 3 x ? ) ? 2 sin(3 x ? ) ,即得函数 12 4 2 4 4

?

?

?

?

y ? sin 3 x ? cos 3 x 的图象,选 A.
考点:三角函数的图象的平移变换,公式 sin x ? cos x ?

2 sin( x ?

?
4

) 的运用,容易题.

24. 【2014 高考浙江卷文第 10 题】如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练, 已知点 A 到墙面的距离为 AB ,某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此人为了准确瞄准目标点 P ,需计

AC ? 25m , 算由点 A 观察点 P 的仰角 ? 的大小 (仰角 ? 为直线 AP 与平面 ABC 所成的角) , 若 AB ? 15m ,
?BCM ? 30? ,则 tan ? 的最大值是(
)21·cn·jy·com

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所以 tan 2 ? 的最大值为

5 3 25 ,即 tan ? 的最大值是 9 27

考点:三角函数的定义,函数的最值,难度中等. 12. 25. 【2014 高考重庆卷文第 13 题】将函数 f ? x ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? 坐标缩短为原来的 一半,纵坐标不变,再向右平移

? ?

?
2

?? ?

??

? 图像上每一点的横 2?

?
6

个单位长度得到 y ? sin x 的图像,则 f ?

?? ? ? ? ______. ?6?

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26. 【2014 高考上海卷文第 1 题】 函数 y ? 1 ? 2 cos (2 x) 的最小正周期是
2

.

?ABC 28.【2014 高考安徽卷文第 16 题】设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别是 a, b, c , 且 b ? 3, c ? 1 ,
的面积为 2 ,求 cos A 与 a 的值.21·世纪*教育网

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29. 【2014 高考北京卷文第 16 题】函数 f ? x ? ? 3sin ? 2 x ? (1)写出 f ? x ? 的最小正周期及图中 x0 、 y0 的值; (2)求 f ? x ? 在区间 ? ?

? ?

??

? 的部分图象如图所示. 6?

?? ? ? , ? ? 上的最大值和最小值. ? 2 12 ?

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30. 【2014 高考大纲卷文第 18 题】 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c, 已知 3acosC=2ccosA,tanA= 求 B.2-1-c-n-j-y 【答案】135 ? . 【解析】

1 , 3

试题分析:首先利用正弦定理把边用角的函数表示出来,然后利用同角三角函数的基本关系式求出 tanA, tanC 的值,最后再利用诱导公式和两角和的正切公式求解即可.【版权所有:21 教育】 试 题 解 析 : 由 题 设 和 正弦 定 理 得 , 3sinAcosC=2sinCcosA, 所 以 3tanAcosC=2sinC. 因 为 tanA= cosC=2sinC. tanC=

1 ,所以 3

1 tan A ? tan C .所以 tanB=tan[180 ? -(A+C)]=-tan(a+c)= ? =-1,即 B=135 ? . 2 1 ? tan A tan C

考点:1. 正弦定理;2. 诱导公式和两角和与差的正切公式;3. 同角三角函数的基本关系式.

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31. 【2014 高考福建卷文第 18 题】已知函数

f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) .

(1)求

f(

5? ) 的值; 4

(2)求函数

f ( x) 的最小正周期及单调递增区间.

(2)因为 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 cos x
2

? sin 2 x ? cos 2 x ? 1
? 2 sin(2 x ? ) ? 1 . 4

?

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32. 【2014 高考广东卷文第 16 题】已知函数 f ? x ? ? A sin ? x ? (1)求 A 的值; (2)若 f ?? ? ? f ? ?? ? ?

? ?

??

? 5? ? 3 2 . ?? ? , x ? R ,且 f ? 2 3? ? 12 ?

? ?? 3 , ? ? ? 0, ? ,求 ? 2?

?? ? f ? ?? ? . ?6 ?

【答案】(1) 3 ;(2) 6 . 【解析】(1)

?? ? f ? x ? ? A sin ? x ? ? ,且 3? ?

? 5? ? 3 2 , f? ?? 2 ? 12 ?

3? 2 3 2 ? 5? ? ? 5? ? ? ,? A ? 3 ; ? f ? ? ? A sin ? ? ? ? A sin ? A? ? 4 2 2 ? 12 ? ? 12 3 ?
(2)

?? ? f ? x ? ? 3sin ? x ? ? ,且 f ?? ? ? f ? ?? ? ? 3 , 3? ?
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33. 【2014 高考湖北卷文第 18 题】某实验室一天的温度(单位: ? C )随时间 t (单位: h )的变化近似满 足函数关系;【来源:21cnj*y.co*m】

f (t ) ? 10 ? 3 cos

?
12

t ? sin

?
12

t , t ? [0,24) .

(1)求实验室这一天上午 8 时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差.

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又 0 ? t ? 24 ,所以

π π π 7π π π , ?1 ? sin( t ? ) ? 1 . ? t? ? 3 12 3 3 12 3

34. 【2014 高考江苏第 15 题】已知 ? ? ?

5 ?? ? . ,? ?, sin ? ? 5 ?2 ?

? ? ) 的值; 4 5? (2)求 cos( ? 2? ) 的值. 6
(1)求 sin(

?

(2)由(1)得 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ?

4 3 , cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? , 5 5

所以 cos(

5? 5? 5? 3 3 1 4 3 3?4 . ? 2? ) ? cos cos 2? ? sin sin 2? ? ? ? ? ? (? ) ? ? 6 6 6 2 5 2 5 10

【考点】三角函数的基本关系式,二倍角公式,两角和与差的正弦、余弦公式.

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35. 【2014 高考江西文第 16 题】已知函数 f ? x ? ? a ? 2 cos x cos?2 x ? ? ? 为奇函数,且 f ?
2

?

?

?? ? ? ? 0 ,其中 ?4?

a ? R, ? ? ?0, ? ?.
(1)求 a, ? 的值; (2)若 f ?

2 ?? ?? ? ?? ? ? ? ?? , ? ? ,求 sin ? ? ? ? 的值. ??? , 5 3? ?4? ?2 ? ?

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36. 【2014 高考辽宁文第 18 题】在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边 a,b,c,且 a ? c ,已知 BA ? BC ? 2 ,

1 cos B ? , b ? 3 ,求: 3
(Ⅰ)a 和 c 的值; (Ⅱ) cos( B ? C ) 的值.

37. 【2014 高考辽宁文第 17 题】已知函数 f ? x ? ? a ? 2 cos x cos?2 x ? ? ? 为奇函数,且 f ?
2

?

?

?? ? ? ? 0 ,其中 ?4?

a ? R, ? ? ?0, ? ?.
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(1)求 a, ? 的值; (2)若 f ?

2 ?? ?? ? ?? ? ? ? ?? , ? ? ,求 sin ? ? ? ? 的值. ??? , 5 3? ?4? ?2 ? ?

38. 【2014 高考全国 2 文第 17 题】 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补, AB ? 1, BC ? 3, CD ? DA ? 2 .

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(Ⅰ)求 C 和 BD ; (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积.

39. 【 2014 高 考 山 东 文 第 17 题 】 △ ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 已 知 a =3 ,

cosA =

6 ? , B ? A? , 3 2

(1)求 b 得值; (2)求△ ABC 的面积. 【答案】(1) b ? 3 2 .(2) ?ABC 的面积 【解析】 试题分析:(1)应用三角函数同角公式得, sin A ?

3 2 . 2

3 , 3

再据 B ? A ?

?
2

,求得 sin B ?

6 ,进一步应用正弦定理可得解. 3

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因此, ?ABC 的面积 S ?

1 1 1 3 2 . ab sin C ? ? 3 ? 3 2 ? ? 2 2 3 2

考点:正弦定理,三角函数诱导公式、同角公式,两角和差的三角函数,三角形的面积.

40. 【2014 高考陕西文第 16 题】 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .

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(1)若 a, b, c 成等差数列,证明: sin A ? sin C ? 2 sin( A ? C ) ; (2)若 a, b, c 成等比数列,且 c ? 2a ,求 cos B 的值.

由余弦定理得 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac a 2 ? c 2 1 ? ? ? 2ac 2ac 2ac 2

c ? 2a
? cos B ?
? cos B ?

a 2 ? 4a 2 3 ? 4a 2 4
3 4

考点:正弦定理;余弦定理.

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41.【2014 高考上海文第 21 题】如图,某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD ,其中 D 为顶端, AC 长 35 米, CB 长 80 米,设 A、B 在同一水平面上,从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 ?和? . (1)设计中 CD 是铅垂方向,若要求 ? ? 2 ? ,问 CD 的长至多为多少(结果精确到 0.01 米)? (2)施工完成后. CD 与铅垂方向有偏差,现在实测得 ? ? 38.12 ,? ? 18.45 , 求 CD 的长(结果精
? ?

确到 0.01 米)?

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42. 【2014 高考四川文第 17 题】已知函数 f ( x) ? sin(3 x ? (1)求 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 ? 是第二象限角, f ( ) ?

?
4

).

?

3

4 ? cos(? ? ) cos 2? ,求 cos ? ? sin ? 的值. 5 4

43. 【2014 高考天津文第 16 题】在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? c ?

6 b, 6

sin B ? 6 sin C
(1)求 cos A 的值;

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(2)求 cos(2 A ? 【答案】(1) cos A ? 【解析】

?
6

) 的值.

6 ? 15 ? 3 . (2) cos(2 A ? ) ? . 4 6 8

【2014 高考浙江文第 18 题】在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a, b, c ,已知

4sin 2

A? B ? 4sin A sin B ? 2 ? 2 2

(1)求角 C 的大小; (2)已知 b ? 4 , ?ABC 的面积为 6,求边长 c 的值. 【答案】(1) 【解析】 试题分析:(1)由二倍角的余弦公式把 4sin 2

?
3

;(2) 10 .

A? B ? 4sin A sin B ? 2 ? 2 降次,再用两个角的和的余弦公 2

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式求 cos( A ? B ) ,由三角形三内角和定理可求得 cos C ,从而求得角 C ;(2)根据三角形的面积公式求出 边 a ,再由余弦定理求 c 边.21 教育网 试题解析:(1)由已知得 2[1 ? cos( A ? B )] ? 4 sin A sin B ? 2 ? 2 ,

【2014 高考重庆文第 18 题】 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a ? b ? c ? 8

5 ,求 cos C 的值; 2 B A 9 (Ⅱ)若 sin A cos 2 ? sin B cos 2 ? 2 sin C ,且 ?ABC 的面积 S ? sin C ,求 a 和 b 的值. 2 2 2
(Ⅰ)若 a ? 2, b ?

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由正弦定理可知: a ? b ? 3c ,又因 a ? b ? c ? 8 ,故 a ? b ? 6 由于 S ?

1 9 ab sin C ? sin C ,所以 ab ? 9 ,从而 a 2 ? 6a ? 9 ? 0 ,解得 a ? 3, b ? 3. 2 2

考点:1、两角和与差的三角函数公式及二倍角公式;2、正弦定理与余弦定理.

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