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广东省湛江市第一中学2016届高三上学期11月月考文科数学试题


湛江第一中学 2016 届高三文数 11 月月考(2015.11.20
命题人:黄玉洁 审题人:宋光敏



一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 集合 A ? x ? Z ?1 ? x ? 2

?

?

? x?2 ? B ? ?x ? R | ? 0? A ? B 为( x ?1 ?, ? ,
C.{ x | ?1 ? x ? 2 } )



A.{-1,0,1,2}

B.{0,1,2}

D.{ x | ?1 ? x ? 2 }

2. 已知复数 z 满足 ( z ? 1)i ? 1 ? i ,则 z 的共轭复数为(

A. ?2 ? i

B. ?2 ? i

C. 2 ? i

D. 2 ? i
)

3. 已知命题 p : ?? ? R, cos(? ? ? ) ? cos? ;命题 q : ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0 .则下面结论正确的是( A.? q 是真命题 B. p 是假命题 C. p ∧ q 是假命题 D. p ∨ q 是真命题

4. 已知平面向量 a ? (2,1), b ? ( x,?2) ,若 a // b ,则 a ? b 等于(

?

?

?

?

?

?

)

A.(2,1)

B. (?2,?1)

C.(3,-1)

D.(-3,1)

5. 已知 Sn 为等差数列 ?an ?的前 n 项和, a3 ? a7 ? 6 ,则 S9 = (

) D.108


A .

27

B.

27 2

C.

54

6. 下列四个函数中,既关于原点对称,又在定义域上单调递增的是( A、 y ? tan x B、 y ? x ? 1 C、 y ? x 3 D、 y ? log2 x

? x ? y ? 0, ? 7. 已知 ?3 x ? y ? 6 ? 0, 则 2 x ? y 的最小值是( ? x ? y ? 2 ? 0, ?
A. 9 B. 4 C. 3 D. 2

).

8. 某班有 49 位同学玩“数字接龙”游戏,具体规则按如图所示的程序框图执行(其中 a 为座位号),并 以输出的值作为下一轮输入的值。若第一次输入的值为 8,第三次输出的值为( ) A. 8 B.15 C. 20 D.36

9. 曲线 y ? x ? 2 x 在(1,-1)处的切线方程为(
3

)
-1-

A. x ? y ? 2 ? 0

B. x ? y ? 2 ? 0

C.

x? y?2 ?0

D. x ? y ? 2 ? 0

10. 如图所示,一游泳者自游泳池边 AB 上的 D 点,沿 DC 方向游了 10 米,∠CDB=60°,然后任意选择一个 方向并沿此方向继续游,则他再游不超过 10 米就能够回到游泳池 AB 边的概率是( ) A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2


ax 11. a ? R ,若函数 y ? e ? 3x , x ? R 有大于零的极值点,则(

A.

B. a ? ?3

C. a ? ?

1 3

D. a ? ?

1 3

12. 某种游戏中,黑、黄两个“电子狗”从棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的顶点 A 出发,沿棱向前爬行, 每爬完一条棱称为“爬完一段”,黑“电子狗”爬行的路线是 AA1→A1D1→?, 黄“电子狗”爬行的路线 是 AB→BB1→?,它们都遵循如下规则:所爬行的第 i+2 段与第 i 段所在直线必须是异面直线(其中 i 是正 整数)设黑“电子狗”爬完 2013 段、黄“电子狗”爬完 2015 段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时 黑、黄“电子狗”间的距离是( ) A.0 B.l C. 2 D. 3

二、 填空题:(本大题共4小题,每小题5分,满分20分) 13. 某几何体的三视图如图 3 所示,其中俯视图为半径为 2 的四分之一个圆弧,则该几何体的体积 为 .

?e x ?1 , x ? 1, ? 14. 设 函 数 f ? x ? ? ? 1 则 使 得 f ? x? ? 2 成 立 的 x 的 取 值 范 围 3 ? ? x , x ? 1,
是 .

15. 《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问 题,《张丘建算经》卷上第 22 题为:今有女善织,日益功疾,且从第 2 天起,每天比前一天多织相同量的布,若第 1 天织 5 尺布,现在一月(按 30 天计)共织 390 尺布,则每天 比前一天多织 尺布.(不作近似计算)

16. 已 知 函 数 f ? x ? 1? 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 若 对 于 任 意 给 定 的 不 相 等 的 实 数 x1 , x2 , 不 等 式

? x1 ? x2 ?? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?? ? 0 恒成立,则不等式 f ?1 ? x ? ? 0 的解集为



三、解答题(本大题共6小题,共70分.17-21题各题12分,22、23或24题10分,解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤)。
-2-

17.(本小题满分 12 分) ?ABC 中,角 A, B, C 所对边分别是 a 、 b 、 c ,且 cos A ? (1)求 sin
2

1 . 3

B?C ? cos 2 A 的值; 2

(2)若 a ?

3 ,求 ?ABC 面积的最大值.

18.(本小题满分 12 分)调查某初中 1000 名学生的肥胖情况,得下表: 偏瘦 女生(人) 男生(人) 100 正常 173 177 肥胖

y
z

x

已知从这批学生中随机抽取 1 名学生,抽到偏瘦男生的概率为 0.15。 (1)求 x 的值; (2)若用分层抽样的方法,从这批学生中随机抽取 50 名,问应在肥胖学生中抽多少名? (3)已知 y ? 193 , z ? 193 ,肥胖学生中男生不少于女生的概率。

19. (本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 中,侧面 ABB 1 A 1, ACC 1 A 1均为正方形,

AB ? AC ? 1, ?BAC ? 90? ,点 D 是棱 B1C1 的中点。
(1)求证: A1D ? 平面 BB1C1C ; (2)求证: AB1 ?平面 A 1 DC ; (3)求三棱锥 C1 ? ACD 的体积 V 。 1

20. (本小题满分 12 分)如图所示,已知椭圆 E 经过点 A ? 2,3? ,对称轴为坐标轴,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,

1 ,斜率为 2 的直线 l 过点 A ? 2,3? . 2 (1) 求椭圆 E 的方程; (2) 在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点?若存在,请找出;
离心率为 若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x (1)若函数 g ( x) ? f ( x) ? mx ? 4 x 在定义域内单调递增,求实数 m 的取值范围;
2

(2)若 b ? a ? 0 ,求证: f (b) ? f (a) ?

2ab ? 2a 2 . a 2 ? b2

-3-

选做题:请考生从第 22、23、24 题中任选一题做答,注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按 所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲。 如图, ⊙O 内切△ ABC 的边于 D.E.F , AB ? AC , 连接 AD 交⊙于点 H , 直线 HF 交 BC 的延长线于点 G . (1)证明:圆心 O 在直线 AD 上; (2)证明:点 C 是线段 GD 的中点.

A H F O G C D B E

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。 x ? 2?t 设直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数),若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点, Ox 轴为极轴,选 ? ? y ? 2t 择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程为 ? =

8 cos ? . sin 2 ?

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求 AB .

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲。 已知函数 f ( x) ? m ? x ? 2 , m ? R, f ( x ? 2) ? 0 的解集为 ? ?2, 2? . (1)求 m 的值; (2)若 ?x ? R , f ( x) ? ? 2 x ? 1 ? t ?
2

3 t 恒成立,求实数 t 的取值范围. 2

湛江第一中学 2016 届高三文数 11 月月考答案(2015.11.20
一、选择题: 1.B 2.D 3.D 4.B 5.A 6.C
y



7.C【解析】如图,作出可行域(阴影部分).画出初始直线 l0 : 2 x ? y ? 0 ,平行 移动 l 0 ,可知经过点 (1,1) 时, 2 x ? y 取得最小值 3.所以选 C. 8. A
0

(3,3) (1,1) (2,0) x

12 ? 2 ? 1 9. A 【解析】 y? ? 3x2 ? 2 ? k ? 3?



y ? ? ?1? ? 1? x ? 1?



x? y?2 ? 0
l0

10.A【解析】:∵任意选择一个方向,∴对应的度数为 360°,∵再游不超过 10
-4-

米就能够 回到游泳 池 AB 边的事 件包含的角度为 60 °,∴由 几何概型的概率公 式可得所求的概 率

P?

60 1 ? ,选:A. 360 6
ax ' ax

11.B【解析】设 y ? e ? 3x ,则 f ( x) ? 3 ? ae ,若函数在 x ? R 上有大于零的极值点. 即 f ( x) ? 3 ? ae
' ax

? 0 有正根,当有 f ' ( x) ? 3 ? aeax ? 0 成立时,显然有 a ? 0 ,
考点:利用导数研究函数的极值.

此时 x ?

1 3 ln(? ) .由 x ? 0 ,得参数 a 的范围为 a ? ?3 .故选 B. a a

12.C【 解 析 】黑“电子狗”爬行路线为 AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,即过 6 段后又回到起点,可以看作 以 6 为周期,同理,黄“电子狗”也是过 6 段后又回到起点.所以黑“电子狗”爬完 2013 段后实质是到达 点 C1, 黄 “电子狗” 爬行路线为 AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA 爬完 2015 段后到达点 D. 此时的距离为|DC1|= 2 二、填空题 13.

8 ? 2 π 【解析】正方体去掉 圆柱, V ? 23 ? ? ? ? 22 ? 2 ? 8 ? 2?

1 4

1 4

14. ? ??,8? 【解析】当 x ? 1 时,由 e x?1 ? 2 可得 x ? 1 ? ln 2 ,即 x ? ln 2 ? 1 ,故 x ? 1 ; 当 x ? 1 时,由 f ? x ? ? x 3 ? 2 可得 x ? 8 ,故 1 ? x ? 8 ,综上可得 x ? 8
n( n ? 1) 16 d, 【解析】:设数列 {an } , a1 ? 5 , n ? 30 , Sn ? 390 ,由 S n ? na1 ? 2 29 30 ? (30 ? 1) 16 d ,解得 d ? ∴ 390 ? 5 ? 30 ? . 考点:等差数列的求和公式. 2 29
15. 16. ? ??,0? 【解析】∵ f ? x ? 1? 是定义在 R 上的奇函数,关于(0,0)对称,向右平移 1 个单位得到 f ? x ? 的图 象,关于(1,0)对称,即 f ?1? ? 0 ,又∵任取 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,都有 ? x1 ? x2 ?? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?? ? 0 ,∴ f ? x ? 在 R 上单调递减.∵ f ?1 ? x ? ? 0 ? f ?1? ,∴ 1? x ? 1 ,∴ x ? 0 ,∴不等式 f ?1 ? x ? ? 0 的解集为 ? ??,0? 三、解答题(70分)
1

B?C 1 ? cos 2 A ? [1 ? cos( B ? C )] ? cos 2 A 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ? ? cos A ? 2 cos 2 A ? 1 ? ? ? 2 ? ? ? ? ???6 分 2 2 2 3 9 2 9 2 2 4 9 2 2 2 2 2 2 (2)由余弦定理得: ( 3 ) ? a ? b ? c ? 2bc ? cos A ? b ? c ? bc ? 2bc ? b ? bc .∴ bc ? 3 3 3 4
17.解:(1) sin
2

1 2 2 3 9 ?1? ? cos A ? , A ? ? 0, ? ? ,sin A ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? ? ? ? 当且仅当 b ? c ? 时, bc 有最大值 3 3 ?3? 2 4,
1 1 9 2 2 3 2 ? ∴ ? S? ABC ?max ? bc sin A ? ? ? 2 2 4 3 4

2

???12 分

18.解:(1)由题意可知,

x ? 0.15 ,∴ x =150(人); 1000
-5-

?????4 分

(2)由题意可知,肥胖学生人数为 y ? z ? 400 (人)。设应在肥胖学生中抽取 m 人,则 ∴ m ? 20 (人) 即应在肥胖学生中抽 20 名。 ???????8 分

m 50 ? , 400 1000

(3)由题意可知, y ? z ? 400 ,且 y ? 193 , z ? 193 ,满足条件的( y , z )有(193,207),(194, 206),(195,205),(196,204),(197,203),(198,202)(199,201),(200,200),(201, 199),(202,198),(203,197),(204,196),(205,195),(206,194),(207,193),共 有 15 组。 设事件 A:“肥胖学生中男生不少于女生”,即 y ? z ,满足条件的( y , z )有(193,207),(194, 206),(195,205),(196,204),(197,203),(198,202)(199,201),(200,200),共有 8 组,所以 P ( A) ?

8 8 。 ∴肥胖学生中女生少于男生的概率为 。 15 15

????12 分

( 1 ) ? 面 ABB1 A 1 ? AC, AA 1 ? AB, AC ? AB ? A, AC. AB ? 平 面 1 , ACC1 A 1 均 为 正 方 形 , AA 19.

ABC, ? AA1 ? 平面 ABC, ? AA1 ? CC 1 ,?CC 1 ? 平面 ABC,


??2 分

? A1D ? 平面 ABC, ?CC1 ? A1D ? 三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,AB ? AC ? 1, ? A1B1 ? AC 1 1 ,D 是 B 1C1
中点,? A 1D ? B 1C1 ,

?CC1 ? B1C1 ? C1 ,?CC1 , B1C1 ? 平面 BB1C1C
??5 分

? A1D ? 平面 BB1C1C

连接 AC1 交 AC 连接 OD 面 ACC1 A1 为正方形,点 O 为 AC1 中点 D 为 B1C1 中点 1 于点 O (2) , , , ,

OD 为 ?AB1C1 中位线 ? AB1 ? OD, OD ? 面 A1DC




AB1 ? 面 A1DC



? AB1 ? 平面 A1DC

,??8 分

(3)由(1) CC1 ? 平面 ABC, ?CC1 为三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高 ??9 分

1 1 1 1 1 ? AB ? AC ? 1, ?BAC ? 90? , D 是 B1C1 中点, S?A1C1D ? S?A1B1C1 ? S?ABC ? ? ?12 ? 2 2 2 2 4 ?10 分 1 1 1 1 1 VC1 ? A1CD ? VC ? A1C1D ? S?A1C1D1 ? CC1 ? ? ? 1 ? 即三棱锥 C1 ? ACD 的体积 V ? 1 , 3 3 4 12 12 . ??12 分
20. 解:(1)设椭圆 E 的方程为

x2 y 2 4 9 c 1 ? 2 =1( a ? b ? 0 ),离心率 e ? ? ,过点 A ? 2,3? 有 2 ? 2 =1, 2 a b a 2 a b x2 y 2 ? =1. ?4 分 16 12

又∵ c ? a ? b ,解得: c ? 2, a ? 4, b ? 2 3 ,∴椭圆 E 的方程为
2 2 2

(2) 假 设 椭 圆 E 上 存 在 关 于 直 线 l 对 称 的 相 异 两 点 P, Q , 令 P ? x ? x2 , y2? , 且 PQ 的 中 点 为 1, y 1? , Q

R ? x0 , y0 ? .∵ PQ ? l ,∴ kPQ ?

y2 ? y1 1 ?? , x2 ? x1 2

?6 分

-6-

? x12 y12 ? ? 1, ? ? 16 12 又∵ ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1, ? ? 16 12


两式相减得:

x2 2 ? x12 y2 2 ? y12 ? ? 0 .?7 分 16 12

16 ? y2 ? y1 ? x x2 ? x1 16 1 2 2 =- =- ×(- )= ,即 0 = ,③ 12 2 3 y2 ? y1 y0 3 12 ? x2 ? x1 ?
, 直线 l 方程为 y ? 3 ? 2 ? x ? 2? ?10 分 ,

?9 分

∵斜率为 2 的直线 l 过点 A ? 2,3?

即为 y ? 2 x ? 1

又∵ R ? x0 , y0 ? 在直线 l 上,∴ y0 ? 2 x0 ?1 ④

由③④解得: x0 ? 2, y0 ? 3 ,所以点 R 与点 A 是同一点,这与假设矛盾, 故椭圆 E 上不存在关于直线 l 对称的相异两点.
2

?12 分

21.解:(1) g ( x) ? ln x ? mx ? 4x( x ? 0) 在定义域 (0,??) 内单调递增,

1 ? 2mx ? 4 ? 0 对 x ? (0,??) 恒成立,?2 分 x 4 1 即 2m ? ? 2 对 x ? (0,??) 恒成立 ?3 分 x x 4 1 4 1 1 ? ? 2 ? ?( ? 2) 2 ? 4 , ? ( ? 2 ) max ? 4 ? 2m ? 4,m ? 2 ? 实数 m 的取值范围 ? 2, ??? ?5 分 x x x x x b 2( ) ? 2 b 2ab ? 2a 2 b 2ab ? 2a 2 ? a (2)欲证 f (b) ? f (a) ? ,即证 ln b ? ln a ? ln ? ,令 t ? ? 1 , 2 2 2 2 b a a ?b a a ?b 1 ? ( )2 a 2t ? 2 即证 ln t ? , 只需证 (1 ? t 2 ) ln t ? 2t ? 2 当 t ? ?1, ??? 时恒成立, ?7 分 2 1? t 1 1 2 2 构造函数 F (t ) ? (t ? 1) ln t ? 2t ? 2, (t ? 1) 求导 F ' (t ) ? 2t ln t ? (t ? 1) ? ? 2 ? 2t ln t ? t ? ? 2 ?9 分 t t 1 ? t ? 1 ? 2t ln t ? 0, t ? ? 2 ? 0 , 所以当 t ? 1 时 F ' (t ) ? 0 恒成立 ?10 分 t
则 g ' ( x) ? 所以 F (t ) 在 t ? (1,??) 单调递增,所以 F (t ) ? F (1) ? 0 恒成立。 故不等式 (1 ? t 2 ) ln t ? 2t ? 2 得证,所以 f (b) ? f (a) ? ?11 分

2ab ? 2a 2 成立. a 2 ? b2

?12 分

F ? B E D ? B D . 22.证明⑴:∵ A ∴C .又∵ C ∴C B ? A C , A F ? A E , F ? C D , B D ? B E ,

B ?A C 又∵△ ABC 是等腰三角形, A ,∴ AD 是角∠ CAB 的平分线. ∴内切圆圆心 O 在直线 AD 上. ?? 5 分
? ? DH 是⊙O 直径, ⑵连接 DF , 由⑴知, ? ? D F H ? 9 0 , ? ? F D H ? ? F H D ? 9 0 .

A H F O G C D E B

? ? F D H ? ? G . 又 ? ? G ? ? F H D ? 9 0 ,
?

-7-

? ? O 与 A C 相 切 于 点 F , ? ? A F H ? ? G F C ? ? F D H ,

? ? G F C ? ? G . ?? ∴点 C 是线段 GD 的中点. C G C F ? C D ,
23.解:(1)由 ? ? ∴ y ? 8x
2

?? 10 分 又 ? cos ? ? x, ? sin ? ? y ?? 4分

8cos ? 得 ? sin 2 ? ? 8 cos? ,∴ ? 2 sin 2 ? ? 8? cos? sin 2 ?

? 2分

∴ 曲线 C 表示顶点在原点,焦点 ? 2, 0 ? 在 x 轴上的抛物线.

? 5 x ? 2? t ? x ? 2 ? t ? ? 5 2 2 (2) ? 化为 ? 代入 y ? 8x 得 t ? 2 5t ? 20 ? 0 , t1 ? t2 ? 2 5,t1t2 ? ?20 ? y ? 2t ?y ? 2 5 t ? 5 ?
A, B 两点分别对应 t1,t 2 , ∴

AB ? t 2 ? t1 ? (t 2 ? t1 ) 2 ? 4t1t 2 ? (2 5 ) 2 ? 4 ? (?20) ? 10

??10 分

(或将直线方程化为直角坐标方程用弦长公式求解均可) 24、解:(1)因为 f ( x+2)=m- x ,所以 f ( x+2) ? 0 等价于 x ? m ,由 x ? m 有解,得 m ? 0 ,且其解 集为 {x | -m ? x ? m} .又 f ( x+2) ? 0 的解集为 [-2, 2] ,故 m=2 . (2) f ( x) ? ? 2 x ? 1 ? t ?
2

5分

3 3 t 等价于不等式 2 x ? 1 ? x ? 2 ? ?t 2 ? t ? 2 , 2 2

1 ? ? ? x ? 1, x ? 2 ? 1 ? 记 g ( x) ? 2x ?1 ? x ? 2 ,则 g ( x ) ? ?3 x ? 3, ? x ? 2 , ?? 8 分 2 ? ? x ? 1, x ? 2 ? ?
故 g ( x) min ? g ( ) ? ?

1 2

3 3 3 1 2 2 ,则有 ? ? ?t ? t ? 2 ,即 2t ? 3t ? 1 ? 0 ,解得 t ? 或 t ? 1 2 2 2 2

即实数 t 的取值范围 ? ??, ? ? ?1, ?? ? ??10 分 2

? ?

1? ?

-8-


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