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高中数学必修2综合测试题--人教A版


高中数学必修 2 综合测试题
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟

卷I
一、选择题(本大题共 2 道小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的)
1、下图(1)所示的圆锥的俯视图为 ( )

?

?

图(1)

A


B


C

D

2、直线 l : 3x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角 ? 为

A 、 30? ;

B 、 60? ;


C 、 120? ;

D 、150? 。

3、边长为 a 正四面体的表面积是 (

A、

3 3 a ; 4

B、

3 3 a ; 12

C、

3 2 a ; 4


D 、 3a 2 。

4、对于直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 的截距,下列说法正确的是 (

A 、在 y 轴上的截距是 6;

B 、在 x 轴上的截距是 6;

C 、在 x 轴上的截距是 3;

D 、在 y 轴上的截距是 ?3 。


5、已知 a//? , b ? ? ,则直线 a 与直线 b 的位置关系是 (

A 、平行;

B 、相交或异面;

C 、异面;

D 、平行或异面。

6、 已知两条直线 l1 : x ? 2ay ?1 ? 0, l2 : x ? 4 y ? 0 , 且 l1//l2 , 则满足条件 a 的值为 A 、?

1 ; 2

B、

1 ; 2

C 、 ?2 ;

D 、2 。

7 、 在 空 间 四 边 形 ABCD 中 , E , F , G, H分 别 是 AB, BC, CD, DA 的 中 点 。 若

AC ? BD ? a ,且 AC 与 BD 所成的角为 60? ,则四边形 EFGH 的面积为 (



第 1 页 共 10 页

A、

3 2 a ; 8

B、

3 2 a ; 4

C、

3 2 a ; 2

D 、 3a 2 。
D1 A1 D B1 C1 N C B M

8、在右图的正方体中,M、N 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点, 则异面直线 AC 和 MN 所成的角为( A.30° B.45° C.90° ) ) D. 60°

A

9、下列叙述中错误的是 (

A 、若 P ? ? ? ? 且 ? ? ? ? l ,则 P ? l ;

B 、三点 A, B, C 确定一个平面;

C 、若直线 a ? b ? A ,则直线 a 与 b 能够确定一个平面;
D 、若 A ? l , B ? l 且 A ? ? , B ? ? ,则 l ? ? 。
10、两条不平行的直线,其平行投影不可能是 ( )

A 、两条平行直线;

B 、一点和一条直线;

C 、两条相交直线;

D 、两个点。

11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为 3、4、5,且它的 8 个顶点都在同一个球面上, 则这个球的表面积是 ( )

A 、 25? ;
12、给出下列命题

B 、 50? ;

C 、 125? ;

D 、都不对。

①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为( A.0 个 ) C.2 个 D.3 个

B.1 个

高中数学必修 2 综合测试题 卷 II
(非选择题 共 90 分)

第 2 页 共 10 页

一、选择题(本大题共 2 道小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题(本大题共 4 道小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上)
13、圆柱的侧面展开图是边长分别为 2a, a 的矩形,则圆柱的体积为 ;

14.一个圆柱和一个圆锥的底面直径 和它们的高都与某一个球的直径相等,这时圆柱、圆 .. 锥、球的体积之比为 .

M

T

15、过点(1,2) ,且在两坐标轴上截距相等的直线方程 16、已知 a , b 为直线, ? , ? , ? 为平面,有下列三个命题: (1) a//? ? b//? ,则 a//b ; (2) a ? ? , b ? ? ,则 a//b ; (3) a//b, b ? ? ,则 a//? ; (4) a ? b, a ? ? ,则 b//? ; 其中正确命题是 。

三、解答题(本大题共 6 道小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、 (本小题满分 12 分) 如下图(2),建造一个容积为 16m ,
3

2m
深为 2 m ,宽为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底的造价 为 120元/m ,池壁的造价为 80元/m ,求水池的总造价。
2 2

2m

图 2 (2)
第 3 页 共 10 页

18、 (本小题满分 12 分)如下图(3),在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是平行四边 形, M , N 分别是 AB, PC 的中点,求证: MN//?平面PAD 。 P N D

C

A

M

B

图(3)

19、 (本小题满分 12 分)如下图(4) ,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, (1)画出二面角 A ? B1C ? C1 的平面角; (2)求证:面 BB1DD1 ? 面 AB1C

D
A

C

B

D1

C1 B1

A1

图 (4)

第 4 页 共 10 页

○ / / / / ○ / / / / ○ / / / / ○ / / /



线



20、 (本大题 8 分)求经过 M(-1,2) ,且满足下列条件的直线方程 (1)与直线 2x + y + 5 = 0 平行 ;



(2)与直线 2x + y + 5 = 0 垂直;
订 ○ ○ ○ 密 封 封 线 装 不 要

21、 (本小题满分 12 分)已知三角形 ? ABC 的三个顶点是 A? 4,0? , B ? 6,7 ? , C ? 0,8?


/ / / ○ / / / / ○ / / / / ○ / / / / ○

(1) 求 BC 边上的高所在直线的方程; (2) 求 BC 边上的中线所在直线的方程。

22、 (本小题满分 14 分)如下图(5) ,在三棱锥 A ? BCD 中,O, E 分别是 BD, BC 的中点,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? 2 。
第 5 页 共 10 页

(1) 求证: AO ? 平面 BCD ; (2) 求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (3) 求点 E 到平面 ACD 的距离。 A

D

O
B

E

C

图(5)

高中数学必修 2 综合测试题 (答案卷)
一、选择题(本大题共 2 道小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)

题号 答案

1 B

2 C

3 D

4 A

5 D

6 C

7 A

8 D

9 B

10 D

11 B

12 B

二、填空题(本大题共 4 道小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上) 13、
a3

?



a3 ; 2?

14、3:1:2; 15、 y ? 2 x, y ? x ? 3

16、 (2) 。

三、解答题(本大题共 6 道小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、 (本小题满分 12 分)如下图(2),建造一个容积为 16m ,深为 2 m ,宽为 2 m 的长方体无 盖水池,如果池底的造价为 120元/m ,池壁的造价为 80元/m ,求水池的总造价。
2 2
3

第 6 页 共 10 页

解:分别设长、宽、高为 am, bm, hm ;水池 的总造价为 y 元

2m

?V ? abh ? 16, h ? 2, b ? 2 ,
? a ? 4m —————————————3 分

2m

则有 S底 ? 4 ? 2 ? 8m2 ————————6 分

图(2)

S壁 ? 2 ? ? 2 ? 4? ? 2 ? 24m2 —————9 分

y ? S底 ?120 ? S壁 ? 80 ? 120 ? 8 ? 80 ? 24 ? 2880 (元)———————12 分
18、 (本小题满分 12 分)如下图(3),在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是平行四边 形, M , N 分别是 AB, PC 的中点,求证: MN//?平面PAD 。 P 证明:如图,取 PD 中点为 E ,连接 AE, EN ———1

E
D

N C



? E , N 分别是 PD, PC 的中点
? EN // 1 DC 2
———————————————4 分

A

M

B

? M 是 AB 的中点 ? A M//

1 D C ——————7 分 2
—9 分

图(3)
? AE//MN

? EN // AM

? 四边形 AMNE 为平行四边形

———————————————11 分

又? AE ? 面APD

?M N? 面 A P D ? M N //?平面 P A D 。 ————————12 分

19、 (本小题满分 12 分)如下图(4) ,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

D
A B E

C

(1)画出二面角 A ? B1C ? C1 的平面角; 证:面 BB1DD1 ? 面 AB1C

(2)求

解: (1)如图,取 B1C 的中点 E ,连接 AE, EC1 。

D1

C1 B1

? AC, AB1 , B1C 分别为正方形的对角线 ? AC ? AB1 ? B1C

A1

图 (4)

第 7 页 共 10 页

? E 是 B1C 的中点
又? 在正方形 BB1C1C 中

? AE ? B1C

——————2 分

? EC1 ? B1C ——————————3 分

? ?AEC1 为二面角 A ? B1C ? C1 的平面角。 ———————————4 分
(2) 证明: ? D1D ? 面ABCD , AC ? 面ABCD 又? 在正方形 ABCD 中

? D1 D? A C ——6 分

? AC ? BD

—————————————8 分 ————————————10 分 ———————————12 分

? D1D ? BD ? D
又? AC ? 面AB1C

? AC ? 面DD1B1B

? 面 BB1DD1 ? 面 AB1C

20、 (本小题满分 12 分)? 点 M(-1,2) (1) k ? ?2 -----3 分 (2) k ? 直线方程为 2 x ? y ? 0 --------5 分 直线方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 --------8 分

1 ---------6 分 2

21、 (本小题满分 12 分)已知三角形 ? ABC 的三个顶点是 A? 4,0? , B ? 6,7 ? , C ? 0,8? (1) 求 BC 边上的高所在直线的方程; (2) 求 BC 边上的中线所在直线的方程解: (1) y 如图,作直线 AD ? BC ,垂足为点 D 。

? 0,8? C

E ? x0 , yD 0?

k BC ?

7 ?8 1 ?? 6?0 6

—————2 分

B ? 6,7?

? BC ? AD
x

? k AD ? ?

1 ?6 4分 k BC

0

A? 4,0?

由直线的点斜式方程可知直线 AD 的方程为:

y ? 0 ? 6 ? x ? 4? 化简得:
(2)如图,取 BC 的中点 E ? x0 , y0 ? ,连接 AE 。

y ? 6x ? 2 4 6 分

0?6 ? x0 ? ?3 ? ? ? 15 ? 2 由中点坐标公式得 ? ,即点 E ? 3, ? ? 2? ? y ? 8 ? 7 ? 15 0 ? ? 2 2

———————9 分

15 ?0 y ?0 2 由直线的两点式方程可知直线 AE 的方程为: ——————11 分 ? x ? 4 3?0 5 化简得: y ? x ? 10 ——————————————————————12 分 2
第 8 页 共 10 页

22、 (本小题满分 14 分)如下图(5) ,在三棱锥 A ? BCD 中,O, E 分别是 BD, BC 的中点,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? 2 。
(1) 求证: AO ? 平面 BCD ; (3) 求点 E 到平面 ACD 的距离。 A (1)证明:连接 OC ? BO ? DO, AB ? AD (2) 求异面直线 AB 与 BC 所成角的余弦值;

? AO ? BD
D

————————1 分

? BO ? DO, BC ? CD
C

O
B

? CO ? BD

———————2 分 而

E

图(5)

在 ? AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3 ,

AC ? 2,? AO2 ? CO2 ? AC 2
O ? O C ??AOC ? 90? , 即A
—————5 分 (2)解:取 AC 的中点 M ,连接 OM , ME, OE A 由 E 为 BC 的中点知 ————4 分

? BD ? OC ? O ? AO ? 平面BCD

M D
B

ME//AB, OE//DC

? 直 线 OE 与 EM 所 成 的锐角 就是异 面直 线 AB 与
CD 所成的角。
——————6 分 C 在 ? OME 中, EM ? 1 AB ? 2 , OE ? 1 DC ? 1 2 2 2 OM Rt ? AOC AC 是 斜边 上的中线 ?

O
E

图(5)

? OM ?

1 AC ? 1 —————————8 分 2

? cos ?OEM ?

2 4

———————————————————10 分

(3)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h 。

?VE ? ACD ? VA?CDE

——————12 分? h ? S? ACD ?

1 3

1 ? AO ? S? CDE 3
2

在 ? ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ? 2

? S? ACD

? 2? 1 7 ? ? 2 ? 22 ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ?

而 AO ? 1, S? CDE ?

1 3 2 3 ? ?2 ? 2 4 2
第 9 页 共 10 页

?h ?

AO ? S? CDE 21 ? S? ACD 7

? 点 E 到平面的距离为

21 ————————14 分 7

第 10 页 共 10 页


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