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四川省宜宾市2013届高三一诊考试理科数学试题 2


四川省宜宾市 2013 届高三一诊考试试题



学(理工农医类)

参考公式: 如果事件互斥,那么 P( A + B) = P( A) + P( B) 如果事件相互独立,那么 p( A ? B) ? p( A) ? p( B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p , 那么在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次 的概率
k Pn (k )= Cn p k (-1 p -n

) k = k (

0 , 1 ,n2 , …

, )

第 Ⅰ卷

(选择题共 50 分)

一、选择题。本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1. 下列函数中与函数 y ? x 相等的是

(A) y ? ( x )

2

(B) y ?

3

x3

(C) y ?

x2

(D) y ?

x2 x

2. 阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

? x ? i, x ? R ? 3. 已知定义在复数集 C 上的函数 f ( x) ? ? 1 ,则 f ( f (1)) 在复平面内对应的点 ,x?R ? x ?
位于 (A)第一象限 ( B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

4.设甲为: 0 ? x ? 5, 乙为: x ? 2 ? 3 ,那么乙是甲的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

5. 在 4 次独立重复试验中, 随机事件 A 恰好发生一次的概率不小于其恰好发生两次的概率, 则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是 (A) [0.4,1) (B)(0,0.6]
x

(C)(0,0.4]

(D)[0.6,1)

6. 设函数 f ( x) ? 1 ? e 的图象与 x 轴相交于点 P, 则曲线在点 P 的切线方程为

(A) y ? ? x

(B) y ? ?2 x

(C) y ? ?

1 x 2

(D) y ? ?

3 x 2

7. 在数列 ?a n ?中, a1 ? 1, a n ?1 ? a n ? ln(1 ? (A) 1 ? n ? ln n (C) 1 ? (n ? 1) ln n

1 ), 则a n ? n

(B) 1? nln n

(D) 1? ln n

8. 函数 y ? x cos x ? sin x 在下面区间中是增函数的区间为 (A)(

? 3? , ) 2 2

(B)( ? , 2? )

(C)(

3? 5? , ) (D)( 2? , 3? ) 2 2

9. 某加工厂用同种原材料生产出 A、 两种产品,分别由此加工厂的甲、 B 乙两个车间来生产, 甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元。 乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元。 甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天甲、乙两个车间耗费工时总和不得 超过 480 小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 (A)甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 (B)甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 (C)甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 (D)甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 10. 与抛物线 E : y ? ax 相切于坐标原点的最大的圆的方程为
2

(A) x ? ( y ? a) ? a
2 2
2

2

(B) x ? ( y ?
2
2

1 2 1 ) ? ( )2 a a 1 2 1 ) ? ( )2 4a 4a

1 ? ? 1 ? ? (C) x ? ? y ? ? ?? ? 2a ? ? 2a ? ?
2

(D) x ? ( y ?
2

宜宾市高中新 2010 级一诊考试题



学(理工农医类)

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
注意事项: 1.第Ⅱ卷共 4 页,用蓝、黑的钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在答题卡对应的题中横 线上. 11. 已知任意两个非零向量 m、n,向量 OA =m+n , OB = m+2n, OC =m+3n,则 A、B、C 三点 构成三角形(填“能”或“不能”) 12. 若 ?1 ? 2 x ?
2013

? a0 ? a1 x ? ... ? a 2013 x 2013 ( x ? R) ,则

a a1 a 2 ? 2 ? ... ? 2013 ? 2 2 2 2013
.

.

13. 若 函数 y ? lg ax ? 1 的图像关于 x ? 2 对称,则非零实数 a =

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1 , F2 , P 是双曲线上的点,当△ F1 PF2 的面积为 2 14.双曲线 3 时, PF1 ? PF2 的值为 . 15. 已知 f (x) 是定义在 [-1, 上的奇函数且 f (1) ? 1 , x1 、 2 ? 1] 当 1] 且 x [-1, , x1 ? x 2 ? 0 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,若 f ( x) ? m 2 ? 2am ? 1 对所有 x ? [?1,1] 、 a ? [?1,1] 恒成立, 时,有 x1 ? x 2
则实数 m 的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.不能答试卷上,请答在答题卡相应的方框内. 16.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?a n ?中, a1 ?

1 1 ,公比 q ? 。 2 2

(Ⅰ) S n 为 数列 ?a n ?的前 n 项和,求 S n ; (Ⅱ)设 bn ? log 2 a1 ? log 2 a 2 ? ... ? log 2 a n ,求数列 ?bn ?的通项公式。 17.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? sin(

?
2

? x) cos x ? sin x ? cos(? ? x) 。

(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)在△ABC 中,若 A 为锐角,且 f (A) =1,BC=2,B=

? ,求 AC 边的长。 3

18.(本小题满分 12 分) 某校开设了甲、乙、丙、丁四门选修课,每名学生必须且只需选修 1 门选修课,有 3 名学生 A、B、C 选修什么课相互独立. (Ⅰ)求学生 A、B、C 中有且只有一人选修课程甲,无一人选修课程乙的概率; (Ⅱ)求课程丙或丁被这 3 名学生选修的人数 ? 的数学期望. 19.(本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? ae x ?

1 ? b(a ? 0) ae x

(I)求 f ( x) 在 [0, ??) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y ? 20.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) P(2, n) , Q(2,?n) 是椭圆 C 上两个定点,A、B 是椭圆 C 上位于直线 PQ 两侧的动 点。 ① 若直线 AB 的斜率为

3 x ;求 a, b 的值。 2

1 ,短轴长为 4 3 。 2

1 ,求四边形 APBQ 面积的最大值; 2

② 当 A、B 两点在椭圆上运动,且满足∠APQ=∠BPQ 时,直线 AB 的斜率是否为定 值,说明理由。 y

P B O Q 21 题 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 1 x ? ax ? bx ? 1( x ? R, a ,b 为实数)有极值,且在 x ? 1处的切线与直
3 2

x

A

3

线 x ? y ? 1 ? 0 平行. (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 a,使得函数 f (x) 的极小值为 1,若存在,求出实数 a 的值;若不

存在,请说明理由; (Ⅲ) 设函数 g ( x) ?

f ?( x) ? 2ax ? b ? 1 试判断函数 g (x) 在 (1,??) 上的符号, ? 2 ln x , x n 1 1 1 * 并证明: ln n ? (1 ? ) ? ? (n ? N ) 。 2 n i ?1 i

数学(理工农医类)试题参考答案及评分意见
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可比照评分 意见制订相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半,如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)
题号 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

C

B

A

B

C

A

D

B

B

C

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.不能; 12.-1; 13.

1 ; 14. 3 ; 2

15. {x | x ? ?2或x ? 0或x ? 2} .

三、解答题(共 75 分) 16.解:(Ⅰ)等比数列 ?a n ?的首项 a1 ?
n

1 1 ,公比 q ? ?????????(1 分) 2 2

1 1 (1 ? n ) a (1 ? q ) 2 2 ? 1 ? 1 ?????????(5 分) Sn = 1 ? 1 1? q 2n 1? 2
(Ⅱ) bn ? log 2 a1 ? log 2 a 2 ? ... ? log 2 a n = log 2

1 1 1 ? log 2 2 ? ... ? log 2 n ?????????(6 分) 2 2 2

? ?(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ?????????(9 分)

n(n ? 1) ?????????(11 分) 2 n(n?) 所以数列 ?bn ?的通项公式 bn ? ? ?????????(12 分 2
=?

17. (Ⅰ) f ( x) ? sin( 解: 分)

?
2

? x) cos x ? sin x ? cos(? ? x) ? cos2 x ? sin x cos x ???(2

1 1 2 ? 1 (3 ? cos2 x ? sin 2 x ? (sin 2 x ? cos 2 x ? 1) ? sin(2 x ? ) ? ?? 分) 2 2 2 4 2
令?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
4

?

?
2

? 2k? , k ? Z

所以函数 f (x) 的单调增区间为:

? ? 3? ? ? k? , ? k? ?, k ? Z ?? 8 ? 8 ?
为同理可得函数 f (x) 的单调减区间为

?????????(5 分)

5? ?? ? ? k? ?, k ? Z ? ? k? , 8 ?8 ?
(Ⅱ)因为 f (A) =1,所以 因为 A 为锐角,所以 所以 2 A ?

?????????(6 分)

2 ? 1 ? 2 sin(2 A ? ) ? ? 1 所以 sin(2 A ? ) ? 2 4 2 4 2

?
4

? 2A ?

?
4

?

?
4

?

3? ? ,所以 A ? 4 4

5? 4

??????(8 分) ??????(9 分)

在△ABC 中,由正弦定理得,

BC AC 2 AC ? 即 ? ???(11 分) ? ? sin A sin B sin sin 4 3

解得 AC ?

6

??????(12 分)

18.解: (Ⅰ) 记“学生 A、B、C 中有一人选修课程甲,且无人选修课程乙”为事件 R?? (1 分)

P( R) ?
?(5 分)

1 C3 ? 2 ? 2 3 ? 16 43

?????

答:学生 A、B、C 中有一人选修课程甲,且无一人选修课程乙的概率为 (6 分) (Ⅱ) 课程丙或丁被这 3 名学生选修的人数 ? =0、1、2、3 (7 分)

3 . ?????? 16
??????

P(? ? 0) ?

23 8 , ? 3 64 4

P(? ? 1) ?

1 1 C3 ? A2 ? 2 2 24 , ? 64 43

P(? ? 2) ?
(11 分)

1 2 2 3 1 C32 A2 ? 2 ? C32 A2 ? 2 24 C 2 ? A2 ? C3 A2 8 , P(? ? 3) ? 3 . ???? ? ? 3 3 64 64 4 4

所以 E? ? 0 ?

8 24 24 8 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? (人). 64 64 64 64 2

?????? (12 分)

19 . 解 : ( I ) 设 t ? e( ?t 1 ) 则 y ? at ? ;
x

1 1 a 2t 2 ? 1 ? b ? y? ? a ? 2 ? at at at 2

??????(2 分) ①当 a ? 1 时,y? ? 0 ? y ? at ?

1 (3 ? b 在 t ? 1 上是增函数?????? 分) at 1 得:当 t ? 1( x ? 0) 时, f ( x) 的最小值为 a ? ? b ?????? a 1 ? b ? 2 ? b ??????(6 分) at 1 x 当且仅当 at ? 1(t ? e ? , x ? ? ln a) 时, f ( x) 的最小值为 b ? 2 a
??????(7

(4 分) ②当 0 ? a ? 1时, y ? at ?

分)

(II) f ( x) ? ae ?
x

1 1 ? b ? f ?( x) ? ae x ? x ??????(8 分) x ae ae

1 2 ? 2 ? ? f (2) ? 3 ?ae ? ae2 ? b ? 3 ?a ? e2 ? ? ? ?? 由题意得: ? ??????(12 分) 3?? 1 3 1 f ?(2) ? 2 ? ? ae ? ?b? ? ? 2 ? ? ae2 2 ? 2 ?
20.解:(Ⅰ)设 C 方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

由已知 b= 2 3 得a ? 4

离心率 e ?

c 1 2 ? , a ? b 2 ? c 2 ??????(3 分) a 2

所以,椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ??????(4 分) 16 12

(Ⅱ)①由(Ⅰ)可求得占 P、Q 的坐标为 P(2,3) , Q(2,?3) ,则 | PQ |? 6 , 设 A ? x1 , y1 ?, B( x 2 , y 2 ),直线 AB 的方程为 y ?
2 2

x2 y2 1 ? ?1 x ? t ,代人 16 12 2

得 x ? tx ? t ? 12 ? 0 由△>0,解得 ? 4 ? t ? 4 ,由根与系数的关系得

? x1 ? x 2 ? ?t 四边形 APBQ 的面积 ? 2 ? x1 x 2 ? t ? 12

S?

1 ? 6 ? x1 ? x2 ? 3 48 ? 3t 2 ??????(6 分) 2

故,当 t ? 0, S max ? 12 3 ??????(7 分) ②∠APQ=∠BPQ 时,PA、PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k , 则 PB 的斜率为 ? k ,

x2 y2 PA 的直线方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2) 与 ? ? 1 联立解得 16 12
(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8(3 ? 2k )kx ? 4(3 ? 2k ) 2 ? 48 ? 0 ,

x1 ? 2 ?

8(2k ? 3)k ??????(9 分) 3 ? 4k 2

同理 PB 的直线方程 y ? 3 ? ?k ( x ? 2) ,可得 x2 ? 2 ?

8(2k ? 3)k 3 ? 4k 2

16 k 2 ? 12 ? 48k , x1 ? x 2 ? 所以 x1 ? x 2 ? ??????(11 分) 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
k AB ? y1 ? y 2 k ( x1 ? 2) ? 3 ? k ( x 2 ? 2) ? 3 ? x1 ? x 2 x1 ? x 2

16 k 3 ? 12 k ? 12 k ? 16 k 3 k ( x1 ? x 2 ) ? 4k ? 24 k 1 3 ? 4k 2 ? ? ? ? ? 48k x1 ? x 2 ? 48k 2 3 ? 4k 2
所以直线 AB 的斜率为定值
3

1 ??????(13 分) 2
2

21.解:(Ⅰ)? f ( x) ? 1 x ? ax ? bx ? 1,

3

? f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b, 由题意? f ?(1) ? 1 ? 2a ? b ? 1,

?b ? 2a.

① …………………………………………………………(1 分)

? f ( x)有极值,? 方程f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b ? 0有两个不等实根.

?? ? 4a 2 ? 4b ? 0,
2

? a 2 ? b ? 0.



由①、②可得, a ? 2a ? 0.

? a ? ?2或a ? 0.

故实数 a 的取值范围是 a ? (??,?2) ? (0,??) …………………………………(3 分 ) (Ⅱ)存在 a ? ? 8 . ………………………………………(5 分)

3

? ? 由(1)可知 f ( x) ? x ? 2ax ? b, 令f ( x) ? 0 ,
2

? x1 ? ?a ? a 2 ? 2a , x2 ? ?a ? a 2 ? 2a .

,且 a ? (??,?2) ? (0,??)

x
f ?(x)
f (x)

(??, x1 )
+ 单调增

x1
0 极大值

( x1 , x 2 )
- 单调减

x2
0 极小值

( x 2 ? ?)
+ 单调增

? x ? x2时, f ( x)取极小值, 则f ( x2 ) ?

1 3 2 x2 ? ax2 ? 2ax2 ? 1 ? 1 , 3

2 ? x2 ? 0或x2 ? 3ax2 ? 6a ? 0 .……………………………………………………(6 分)

若x2 ? 0, 即 ? a ? a 2 ? 2a ? 0, 则a ? 0(舍). ……………………………………(7 分)
2 2 若x2 ? 3ax2 ? 6a ? 0, 又f ?( x2 ) ? 0,? x2 ? 2ax2 ? 2a ? 0,? ax2 ? 4a ? 0.

? a ? 0,

? x2 ? 4,

??a ? a 2 ? 2a ? 4

? a ? ? 8 ? ?2. 3

8 ? 存在实数a ? ? , 使得函数f ( x) 的极小值为 1.………………………………(8 分) 3 f ?( x) ? 2ax ? b ? 1 (Ⅲ)由 g ( x) ? ? 2 ln x x x 2 ? 2ax ? b ? 2ax ? b ? 1 1 ? ? 2 ln x ? x ? ? 2 ln x x x 1 即 g ( x) ? x ? ? 2 ln x x 1 2 x 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 1) 2 g ?( x) ? 1 ? 2 ? ? ? ?0 故, x x x2 x2 则 g (x) 在 (1,??) 上是增函数,故 g ( x) ? g (1) ? 0 ,

所以, g (x) 在 (1,??) 上恒为正。.………………………………(10 分) (注:只判断符号,未说明理由的,酌情给分) 当 n ? N 时,
*

n ?1 n ?1 ,则 ? 1 ,设 x ? n n n ?1 n ?1 n n ?1 g( )? ? ? 2 ln n n n ?1 n 1 1 ? 1? ?1? ? 2[ln(n ? 1) ? ln n] n n ?1 1 1 ? ? ? 2[ln(n ? 1) ? ln n] ? 0 n n ?1 1 1 即, ? ? 2[ln(n ? 1) ? ln n] .………………………………(12 分) n n ?1 上式分别取 n 的值为 1、2、3、??、 (n ? 1) 累加得: 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 1 2 2 3 3 4 n ?1 n ? 2[ln 2 ? ln 1 ? ln 3 ? ln 2 ? ln 4 ? ln 3 ? ? ? ln n ? ln(n ? 1)] ,( n ? 1) 1 1 1 1 1 ?1 ? 2( ? ? ? ? ? ) ? ? 2 ln n ,( n ? 1) 2 3 4 n ?1 n 1 1 1 1 1 1 ? 2(1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? 2 ln n ? 1 ? ,( n ? 1) 2 3 4 n ?1 n n 1 1 1 1 1 1 1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ln n ? (1 ? ) ,( n ? 1) 2 3 4 n ?1 n 2 n n 1 1 1 即, ln n ? (1 ? ) ? ? ,( n ? 1) 2 n i ?1 i n 1 1 1 又当 n ? 1时, ln n ? (1 ? ) ? ? , 2 n i ?1 i n 1 1 1 故 ln n ? (1 ? ) ? ? ,当且仅当 n ? 1时取等号。.……………………(14 分) 2 n i ?1 i



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