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1.2.2 充要条件


预习导学 高中数学 · 选修2-1· 人教A版

1.2.2 充要条件

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1.2.2 充要条件

[学习目标] 1.理解充要条件的意义. 2.会判断、证明充要条件. 3.通过学习,使学生明白对充要条件的判定应该归结为判断 命题的真假. [知识链接]

已知p:整数a是2的倍数;q:整数a是偶数.
请判断: p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗? 答:p是q的充分条件,p是q的必要条件.
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[预习导引]
充要条件 p?q . 一般地,如果既有p?q,又有q?p 就记作_____ 充分必要条件,简称_________. 充要条件 显 此时,我们说,p是q的____________ 然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.

概括地说,如果p?q,那么p与q 互为充要条件 ____________.

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1.2.2 充要条件

要点一
例1

充要条件的判断

下列各题中,哪些p是q的充要条件?

(1)p:b=0,q:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数; (2)p:x>0,y>0,q:xy>0; (3)p:a>b,q:a+c>b+c;

(4)p:x>5,q:x>10
(5)p:a>b,q:a2>b2

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1.2.2 充要条件



命题(1)和(3)中,p?q,且q?p,即p?q,故p是q的充要
p,故p不是q的充要条件;

条件; 命题(2)中,p?q,但q 命题(4)中,p 命题(5)中,p 规律方法 q,但q?p,故p不是q的充要条件; q,且q p,故p 不是q的充要条件;

判断p是q的什么条件,最常用的方法是定义法,

另外也可以使用等价命题法或集合法.

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跟踪演练1 (1)a,b中至少有一个不为零的充要条件是
( A.ab=0 C.a2+b2=0 答案 D B.ab>0 D.a2+b2>0 )

解析

a2+b2>0,则a、b不同时为零;a,b中至少有一个不

为零,则a2+b2>0.

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(2)“函数y=x2-2x-a没有零点”的充要条件是_______. 答案 解析 a<-1 函数没有零点,即方程x2-2x-a=0无实根,所以

有Δ=4+4a<0,解得a<-1.反之,若a<-1,则Δ<0,方程
x2-2x-a=0无实根,即函数没有零点.

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要点二 例2 充要条件的证明

1.2.2 充要条件

求证:方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根均大于1的充 必要性:

要条件是k<-2.
证明 若方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的根,不妨设两 个根为x1,x2,则
?Δ=(2k-1) -4k ≥0, ? ?(x1-1)+(x2-1)>0,? ?(x -1)(x -1)>0 ? 1 2
2 2

? ?k≤1, 4 ? ? ?(x1+x2)-2>0, ? ?x1x2-(x1+x2)+1>0.

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? ?k≤1, 4 ? 即?-(2k-1)-2>0, ? 2 ? ?k +(2k-1)+1>0,

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解得k<-2. 充分性:当k<-2时,Δ=(2k-1)2-4k2=1-4k>0. 设方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根为x1,x2.

则(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=k2+2k-1+1=k(k
+2)>0.

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又(x1-1)+(x2-1)=(x1+x2)-2=-(2k-1)-2=-2k- 1>0, ∴x1-1>0,x2-1>0. ∴x1>1,x2>1. 综上可知,方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的根的 充要条件为k<-2. 规律方法 一般地,证明“p成立的充要条件为q”时,在

证充分性时应以q为“已知条件”,p是该步中要证明的
“结论”,即q?p;证明必要性时则是以p为“已知条 件”,q为该步中要证明的“结论”,即p?q.
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跟踪演练2 解

求关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负实

根的充要条件. (1)当a=0时,解得x=-1,满足条件; (2)当a≠0时,显然方程没有零根,若方程有两异号实根, 则a<0;

若方程有两个负的实根,

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?1 ?a>0, ? 1 1 则必须满足? ?0<a≤ . 4 - <0 , ? a ? ?Δ=1-4a≥0 1 综上,若方程至少有一个负的实根,则 a≤ . 4

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1 反之,若 a≤ ,则方程至少有一个负的实根. 4 因此,关于 x 的方程 ax2+x+1=0 至少有一个负实根的充要 1 条件是 a≤ . 4
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1.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的
A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 解析 A B.必要不充分条件

(

)

D.既不充分也不必要条件

当a+b=0时,得a=-b,所以a∥b,但若a∥b,

不一定有a+b=0.

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2.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件 是 A.m=-2 C.m=-1 答案 解析 A 当m=-2时,f(x)=x2-2x+1,其图象关于直线x B.m=2 D.m=1 ( )

=1对称,反之也成立,所以f(x)=x2+mx+1的图象关于

直线x=1对称的充要条件是m=-2.

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3.(2012· 福建)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的

充要条件是
1 A.x=- 2 C.x=5 B.x=-1 D.x=0

(

)

答案

D

解析

a⊥b?a· b=0,a· b=(x-1,2)· (2,1)=2(x-1)+

2×1=2x=0,∴x=0,故选D.

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4.已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y+2a=0,则
l1∥l2的充要条件是a=________, 答案 解析 -1 由1×3-a×(a-2)=0得a=3或-1,

而a=3时,两条直线重合,所以a=-1.

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1.充要条件的判断有三种方法:定义法、等价命题法、集合 法. 2.充要条件的证明与探求 (1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注 意两种叙述方式的区别: ①p是q的充要条件,则由p?q证的是充分性,由q?p证的是 必要性; ②p的充要条件是q,则p?q证的是必要性,由q?p证的是充 分性. (2)探求充要条件,可先求出必要条件,再证充分性;如果能 保证每一步的变形转化过程都可逆,也可以直接求出充要条 件.
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再见
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