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江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试题


江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试

数 学 试 题
命题单位:江阴市教研室 制卷单位:无锡市教育科学研究院 注意事项:本卷考试时间为 120 分钟,全卷满分为 160 分. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. )
2 1.设全集 U=R,集合 A= x | x ? 2 x ? 0 , B ? ? x | x ? 1? ,则集 A ? ? B ? U

?

?



2.已知 i 是虚数单位,则

1 ? 2i 等于 2?i



3.某中学高中一年级有 400 人,高中二年级有 320 人,高中三年级有 280 人,现从中抽取一个容量 为 200 人的样本,则高中二年级被抽取的人数为 。 4.右边的程序语句运行后,输出的 S 为 。 5.在△ABC 中,∠ A=45o,∠ C=105o,BC= 2 ,则 AC 的长度为 .

6. 已知向量 a= (-2, , (5, . 2) b= k) 若|la+b|不超过 5, k 的取值范围是 则 . 7.已知 P:|x-a|<4;q: (x-2) (3-x)>0,若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件, 则 a 的取值范围为 .

?x ? 0 ? 8.已知变量 x,y 满足约束条件 ? y ? 0 ,表示平面区域 M,若-4≤a≤t 时,动直线 x+y=a 所经过的 ?y ? x ? 4 ?
平面区域 M 的面积为 7.则 t=
2 2



9.已知圆 Cl: ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 1 ,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x-y-l =0 对称,则圆 C2 的方程为 . 10.等差数列{an}的公差为-2,且 a1,a3,a4 成等比数列,则 a20=__ 11.如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 L 交抛物线于点 A、B,交 其 准 线 于 点 C , 若 |BC|=2|BF| , 且 |AF|=3 , 则 此 抛 物 线 的 方 程 为 。 12.设函数 f ( x) ? cos( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ) .若 f ( x) ? f ? ( x) 是奇函数,则



??



13.定义一个对应法则 f:P(rn,n)→ p? (m,2|n|) .现有直角坐标平面内的点 A(-2,6)与点 B (6,-2) ,点 M 是线段 AB 上的动点,按定义的对应法则 f:M→M'.当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 时,点 M 的对应点 M'经过的路线的长度为 。 14.已知关于 x 的函数 y=

(1 ? t) x ? t 2 (f∈ R)的定义域为 D,存在区间[a,b] ? D,f(x)的值域也 x


是[a,b].当 t 变化时,b-a 的最大值=

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本小题满分 14 分) 已知向量 m ? (sin x, ?1) ,向量 n ? ( 3 cos x, ) ,函数 f ( x) ? (m ? n) · 。 m (Ⅰ )求 f(x)的最小正周期 T; (Ⅱ )若不等式 f(x)-t=0 在 x ? [

??

?

1 2

?? ? ??

? ?

, ] 上有解,求实数 t 的取值范围. 4 2

16. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P-A BCD 中,底面 ABCD 为菱形,BD⊥ PAC,A C=10,PA=6,cos∠ 面 PCA= 是 PC 的中点. (Ⅰ )证明 PC⊥ 平面 BMD; (Ⅱ )若三棱锥 M-BCD 的体积为 14,求菱形 ABCD 的边长.

4 ,M 5

17. (本小题满分 14 分) 要制作一个如图的框架(单位:米) ,要求所围成的总面积为 19.5(米 2) ,其中 ABCD 是一个矩 形,EFCD 是一个等腰梯形,梯形高 h=

1 3 AB, tan ∠ FED= ,设 AB=x 米,BC=y 米. 2 4

(Ⅰ )求 y 关于 x 的表达式; (Ⅱ )如何设计 x,y 的长度,才能使所用材料最少?

18. (本题满分 16 分) 如图,已知椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 =1 的离心率为 ,过椭圆 C 上一点 P(2,1)作倾斜角互补的两 2 a b 2

条直线,分别与椭圆交于点 A、B,直线 AB 与 x 轴交于点 M,与 y 轴负半轴交于点 N. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程: (Ⅱ )若 S△ PMN=

3 ,求直线 AB 的方程. 2

19. (本小题满分 16 分) 已知数列{an}中,a1=2,n∈ +,an>0,数列{an}的前 n 项和 Sn,且满足 an ?1 ? N

2 。 Sn?1Sn ? 2

(Ⅰ )求{Sn}的通项公式; (Ⅱ )设{bk}是{Sn)中的按从小到大顺序组成的整数数列。 (1)求 b3; (2)存在 N(N∈ +) N ,当 n≤N 时,使得在{Sn}中,数列{bk}有且只有 20 项,求 N 的范围.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=ax2+1,g(x)=x3+bx,其中 a>0,b>0. (Ⅰ )若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点 P(2,c)处有相同的切线(P 为切点) , 求 a,b 的值; (Ⅱ )令 h(x)=f(x)+g(x) ,若函数 h(x)的单调递减区间为[ ? (1)函数 h(x)在区间(一∞,-1]上的最大值 M(a) ; (2)若|h(x)|≤3,在 x∈ [-2,0]上恒成立,求 a 的取值范围。

a b ,? ],求: 2 3

数学(加试) 注意事项:本卷考试时间为 30 分钟,全卷满分为 40 分. 21.[选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多 做,则按作答的前两题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如图,AB 是圆 O 的直径,AC 是弦,∠ BAC 的平分线 AD 交圆 O 于点 D,DE ⊥ 且交 AC 的 AC 延长线于点 E. 求证:DE 是圆 O 的切线.

B.选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知, A 在变换 T:? ? ? ? ? ? ? 点 ?

? x? ? y?

? x? ? ?y ?

?x ? 2 y? o ? 作用后,再绕原点逆时针旋转 90 ,得到点、B.若 ? y ?

点 B 的坐标为(-3,4) ,求点 A 的坐标.

C.选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 已知在极坐标系下,圆 C:p= 2cos( ? ?

?
2

)与直线 l: ? sin( ? ?

?
4

)= 2 ,点 M 为圆 C 上

的动点.求点 M 到直线 l 距离的最大值.

D.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知|x+1|+|x-l|<4 的解集为 M,若 a,b∈ M,证明:2|a+b |<|4+ab|。

22. (本小题满分 10 分) 某银行的一个营业窗口可办理四类业务,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分 钟,经统计以往 100 位顾客办理业务所需的时间(t) ,结果如下:

类别 顾客数(人) 时间 t(分钟/人)

A类 20 2

B类 30 3

C类 40 4

D类 10 6

注:银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率. (Ⅰ )求银行工作人员恰好在第 6 分钟开始办理第三位顾客的业务的概率; (Ⅱ )用 X 表示至第 4 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望.

23. (本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)=

1 2 x +1nx. 2
n n n ?

(Ⅰ )求函数 f(x)在区间[1,e]上的最大值、最小值; (Ⅱ )设 g(x)=f(x) ,求证: [ g ( x)] ? g ( x ) ? 2 ? 2(n ? N ) .


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