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大一上学期(第一学期)高数期末考试题


大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有 4 小题 每小题 4 分, 共 16 分) 本大题有 小题, 1. 设 f ( x ) = cos x ( x + sin x ), 则在 x = 0 处有 (
(A) f ′(0) = 2 ) (B) f ′(0) = 1 (C) f ′(0) = 0 ) ) 1? x 设α ( x ) = ,β ( x ) = 3 ? 33 x,则当x → 1时(   ) 1+ x 2. . 是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (A)α ( x)与β ( x) 是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B) α ( x)与β ( x) ) ) 是等价无穷小; 是等价无穷小; (C) α ( x ) 是比 β ( x ) 高阶的无穷小; ) 高阶的无穷小; (D) β ( x ) 是比 α ( x ) 高阶的 )
).   不可导. (D) f ( x ) 不可导 )

无穷小. 无穷小

3. 若

F ( x ) = ∫ ( 2t ? x ) f ( t )dt
0

x

, 其 中 f ( x ) 在 区 间 上 ( ?1,1) 二 阶 可 导 且

f ′( x ) > 0 ,则(

). 处取得极大值; (A)函数 F ( x ) 必在 x = 0 处取得极大值; ) 处取得极小值; (B)函数 F ( x ) 必在 x = 0 处取得极小值; ) 处没有极值, 的拐点; (C)函数 F ( x ) 在 x = 0 处没有极值,但点 (0, F (0)) 为曲线 y = F ( x) 的拐点; ) 处没有极值, 的拐点。 (D) ) 函数 F ( x ) 在 x = 0 处没有极值, (0, F (0)) 也不是曲线 y = F ( x) 的拐点。 点

4.

是连续函数, 设 f ( x )是连续函数,且
x2 (A) 2 )

f ( x ) = x + 2 ∫ f ( t ) dt , 则 f ( x ) = (
0

1

)

x2 +2 (B) 2 ) (C) x ? 1 )
2 sin x

(D) x + 2 . )

小题, 二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 填空题( 5. 6.
lim ( 1 + 3 x )
x→ 0

=

.

已知

cos x 是 f ( x ) 的一个原函数 , x .

则∫ f ( x ) ?

cos x dx = x

7.

lim

π
n

n →∞
1 2

(cos 2

π
n

+ cos 2
dx =

2π n ?1 + L + cos 2 π)= n n

.


1 - 2

x 2 arcsin x + 1 1 ? x2

8. . 解答题( 小题, 三、解答题(本大题有 5 小题,每小题 8 分,共 40 分) x+ y 9. 设函数 y = y( x) 由方程 e + sin( xy ) = 1 确定,求 y ′( x ) 以及 y ′(0) . 确定,
1 ? x7 dx . 求∫ x (1 + x 7 ) 10.

? xe ? x ,   x ≤ 0 ? 设f (x) = ?  求 ? 2 x ? x 2, 0 < x ≤ 1 ? 11.
g( x ) =



1

?3

f ( x ) dx.

0 12. 设函数 f (x) 连续, 连续, , x →0 且 g′( x) 并讨论 g′( x) 在 x = 0 处的连续性 处的连续性.

∫ f ( xt )dt

1

lim

f ( x) =A x 为常数. ,A 为常数 求

13. 求微分方程 xy ′ + 2 y = x ln x 满足

y (1) = ?

1 9 的解 的解.

解答题( 四、 解答题(本大题 10 分) 14. 已知上半平面内一曲线 y = y( x ) ( x ≥ 0) , 过点 (0,1) , 且曲线上任一点
M ( x 0 , y 0 ) 处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、 y 轴、直线 x = x 0 所围成 倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 面积的 2 倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程 解答题( 五、解答题(本大题 10 分)

15. 过坐标原点作曲线 y = ln x 的切线,该切线与曲线 y = ln x 及 x 轴围 的切线,
成平面图形 D. (1) 求 D 的面积 A;(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 ; V. 证明题( 小题, 六、证明题(本大题有 2 小题,每小题 4 分,共 8 分) 16. 设 函 数 f ( x ) 在 [ 0,1] 上 连 续 且 单 调 递 减 , 证 明 对 任 意 的 q ∈ [0, 1] ,
q

∫ f ( x ) d x ≥ q ∫ f ( x )dx
0 0

1

.

17. 设函数 f ( x ) 在 [0, π ] 上连续, 上连续, 且
x


0

π

f (x) d x = 0

,0



π

f ( x ) cos x dx = 0
.

证明: 证明:在 (0, π ) 内至少存在两个不同的点 ξ 1 , ξ 2 ,使 f (ξ1 ) = f (ξ 2 ) = 0.(提

F ( x) =
示 :设


0

f ( x )dx


解答
一、单项选择题(本大题有 4 小题 每小题 4 分, 共 16 分) 单项选择题 本大题有 小题, 1、D 2、A 3、C 4、C 、 、 、 、 小题, 二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 填空题( 1 cos x 2 π π ) +c  ( e6 2 . 8. 3 . 6. 2 x .7. 5. 解答题( 小题, 三、解答题(本大题有 5 小题,每小题 8 分,共 40 分) 9. 解:方程两边求导 e x + y (1 + y′ ) + cos( xy )( xy′ + y ) = 0

.

e x + y + y cos( xy ) e x + y + x cos( xy ) x = 0, y = 0 , y ′(0) = ?1 y ′( x ) = ?
7 7 x6 10. 解: u = x    dx = du 1 (1 ? u) 1 1 2 原式 = ∫ du = ∫ ( ? )du 7 u(1 + u) 7 u u+1 1 = (ln | u | ?2ln | u + 1 |) + c 7 1 2 = ln | x 7 | ? ln | 1 + x 7 | + C 7 7

11.

解: ∫

1

?3 0

f ( x )dx = ∫ xe ? x dx + ∫
?3 1 0

0

1

0

2 x ? x 2 dx

= ∫ xd ( ? e ? x ) + ∫
?3
0 ?

1 ? ( x ? 1)2 dx
0 ? 2

(令 = ? ? xe ? x ? e ? x ? ?3 + ∫ π cos 2 θ dθ   x ? 1 = sin θ ) ? ?

4 12. 解:由 f (0) = 0 ,知 g (0) = 0 。
1 xt = u

=

π

? 2e 3 ? 1

g( x ) =


0

f ( xt )dt =
x


0

x

f ( u ) du x
( x ≠ 0)
( x ≠ 0)

g ′( x ) =

xf ( x ) ? ∫ f ( u)du x
x

0 2

g ′(0) = lim
x→0

∫ f ( u)du
0

x

2

= lim
x →0 x

f ( x) A = 2x 2 = A? A A = 2 2 , g ′( x ) 在 x = 0 处连续。 处连续。

lim g ′( x ) = lim
x→0 x →0

xf ( x ) ? ∫ f ( u)du x
0 2

dy 2 + y = ln x 13. 解: dx x
dx ? ∫ dx y = e x ( ∫ e ∫ x ln xdx + C ) 2 2

1 1 x ln x ? x + Cx ?2 3 9 1 1 1 y(1) = ? , C = 0 y = x ln x ? x 3 9 9 , 解答题( 四、 解答题(本大题 10 分) =
14. 解:由已知且

, 将此方程关于 x 求导得 y ′′ = 2 y + y ′
0
2 特征方程: 解出特征根: 特征方程: r ? r ? 2 = 0 解出特征根: r1 = ?1, r2 = 2. 2x ?x 其通解为 y = C 1 e + C 2 e

y′ = 2 ∫ y d x + y

x

代入初始条件 y ( 0) = y ′ ( 0) = 1 ,得 2 1 y = e ?x + e2x 3 3 故所求曲线方程为: 故所求曲线方程为: 解答题( 五、解答题(本大题 10 分)

C1 =

2 1 , C2 = 3 3

1 y ? ln x 0 = ( x ? x0 ) x0 15. 解: 1) 根据题意, 切线方程: ( 根据题意, 先设切点为 ( x 0 , ln x 0 ) , 切线方程: 1 y= x e 由于切线过原点, 从而切线方程为: 由于切线过原点,解出 x 0 = e ,从而切线方程为:
则平面图形面积
A = ∫ (e y ? ey )dy =
0 1

1 e ?1 2

1 V1 = π e 2 3 (2)三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为 V1,则 曲线 y = ln x 与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线 x = e 一周所得旋转体体积
为 V2
V 2 = ∫ π (e ? e y ) 2 dy
0 1

D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 证明题( 小题, 六、证明题(本大题有 2 小题,每小题 4 分,共 12 分)
q 1
q q

V = V1 ? V2 =

π
6

(5e 2 ? 12e + 3)

16. 证明: 0 证明:
q

∫ f ( x) d x ? q ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x) d x ? q(∫ f ( x) d x + ∫ f ( x)dx)
0
1 0 0 q q

1

= (1 ? q ) ∫ f ( x) d x ? q ∫ f ( x)dx
0

ξ1 ∈[ 0 , q ]ξ 2 ∈[ q ,1]

=

q (1 ? q ) f (ξ 1 ) ? q (1 ? q ) f (ξ 2 )
1

f ( ξ1 ) ≥ f ( ξ 2 )



0

故有: 故有:
q

∫ f ( x ) d x ≥ q ∫ f ( x )dx
0 0

证毕。 证毕。
x

17.
F ( x ) = ∫ f ( t )dt , 0 ≤ x ≤ π 0 构造辅助函数: 上连续, 证: 构造辅助函数: 。 其满足在 [0, π ] 上连续, ( 0, π ) 在 F ′( x ) = f ( x ) ,且 F ( 0) = F (π ) = 0 上可导。 上可导。

由题设, 由题设,有
π

0 = ∫ f ( x ) cos xdx = ∫ cos xdF ( x ) = F ( x ) cos x | + ∫ sin x ? F ( x )dx
0 0 0 0

π

π

π

π



∫ F ( x ) sin xdx = 0 有0 , 由 积 分 中 值 定 理 , 存 在 ξ ∈ ( 0, π ) , 使 F (ξ ) sin ξ = 0 即 F (ξ ) = 0 综上可知 F ( 0) = F (ξ ) = F (π ) = 0, ξ ∈ ( 0, π ) . 在区间 [0, ξ ] , [ξ , π ] 上分别应用罗
尔定理, 尔定理,知存在 ξ 1 ∈ (0, ξ ) 和 ξ 2 ∈ (ξ , π ) , 使 F ′(ξ 1 ) = 0 及 F ′(ξ 2 ) = 0 , 即 f (ξ 1 ) = f (ξ 2 ) = 0 .


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