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两点之间的距离


两点间的距离

复习
1、在数轴上两点的距离公式
A(xA,yA)
A 0

B(xB,yB)
B

AB ? xB ? x A

BA ? x A ? xB
2、平面直角坐标系下两直线的交点的求法
联立解方程组

两点间距离公式
y y2

P2(x2, y2)

| P2Q |?| y2 ? y1 |
y1
P1(x1,y1)

Q(x2,y1)
x2 x

O

x1

| PQ 1 |?| x2 ? x1 |

两点间距离公式
y

| PQ 1 |?| x2 ? x1 |
P2(x2,y2)

| P2Q |?| y2 ? y1 |
P1(x1,y1)

Q(x2,y1)
x
2 2

O

| PP ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y 1 ) 1 2 |?

两点间距离公式
y

|x|

P (x,y)

|y|

O(0,0)

x

| OP |? x ? y
2

2

数形结合

练习
1、求下列两点间的距离:
(1)、A(6,0),B(-2,0) (2)、C(0,-4),D(0,-1)

(3)、P(6,0),Q(0,-2)

(4)、M(2,1),N(5,-1)
2 2

解: (1) AB = (2) CD = (3) PQ = (4) MN ?

? -2-6? + ? 0-0? =8 2 2 ? 0-0? + ? -1+4? =3 2 2 ? 0-6? + ? -2-0? =2
?5 ? 2? ? ? ?1 ?1?
2 2

10

? 13

例题分析
例 :已知点A(?1,2), B(2, 7 ), 在x轴上求一点P, 使 得 | PA |?| PB |, 并求 | PA | 的值.
解:设所求点为P(x,0),于是有
2 2 |PA|? (x ? 1) ?(0 ? 2) ? x2 ? 2x ? 5 2 |PB|? (x ? 2) ?(0 ? 7 )2 ? x2 ? 4x ? 11

由|PA|?|PB|得 x ? 2x ? 5 ? x ? 4x ? 11
2 2

解得x=1,所以所求点P(1,0)
2 2 |PA|? (1 ? 1) ?(0 ? 2) ?2 2

练习
已知点P的横坐标是7,点P与点N(-1,5)间的 距离等于10,求点P的纵坐标。

(7,11)或(7, ?1)

例4.证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

证明:以A为原点,AB为x轴 建立直角坐标系。

y

则四个顶点坐标分别为 A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)
2 2

第一步 :建立坐 D (b,c) C (a+b,c) 标系,用坐标表 示有关的量。

运算结果翻译成 因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线 几何关系。 的平方和。

2 2 x | AB | ? a | CD | ? a 解析法 A (0,0) B (a,0) | AD |2 ? b2 ? c2 | BC |2 ? b2 ? c2 第二步:进行有 2 2 2 2 2 2 | BD | ? (b ? a关代数运算 ) ?c | AC | ? (a ? b) ? c | AB |2 ? | CD |2 ? | AD |2 ? | BC |2 ? 2(a2 ? b2 ? c2 ) 2 2 2 2 2 | AC | ? | BD | ? 2(a ? b ? c ) 第三步 2 2 2 2 2 :把代数 2 | AB | ? | CD | ? | AD | ? | BC | ?| AC | ? | BD |

第一步:建立坐标系,用坐标表示有关的量; 第二步:进行有关的代数运算; 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何关系.

收获
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是

|P ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 1P 2 |?
2

2

特别地, 原点O与任一点P( x, y )的距离 : | OP |? x ? y
2 2

小结

1、牢记两点间的距离公式; 2、解析法证题的建系方法;

思考
已知△ABC的三个顶点A(-1,0),B(1,0), 1 3 C( , ) 2 2 试判断△ABC的形状. 分析:计算三边的长,比较后可得结论.

知识探究(二):距离公式的变式探究

思考1:已知平面上两点P1(x1,y1)和 P2(x2,y2),直线P1P2的斜率为k,则 y2-y1可怎样表示?从而点P1和P2的距离 公式可作怎样的变形?
|P 1P 2 |?| x2 ? x1 | ? 1 ? k
2

思考2:已知平面上两点P1(x1,y1)和 P2(x2,y2),直线P1P2的斜率为k,则 x2-x1可怎样表示?从而点P1和P2的距 离公式又可作怎样的变形?
1 |P 1P 2 |?| y2 ? y1 | ? 1 ? 2 k

|P 1P 2 |?| x2 ? x1 | ? 1 ? k

2

1 ?| y2 ? y1 | ? 1 ? 2 k

思考3:上述两个结论是两点间距离公式 的两种变形,其使用条件分别是什么?

思考4:若已知 x1 ? x2 和 x1 ? x2 ,如何 求 | x2 ? x1 |?
| x2 ? x1 |? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2
2


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