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最新整理3.5.2简单的线性规划课件


y

C
5

A B
O
1 5

勤 能 补 拙
x

二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直 角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所 有点组成的平面区域。

确定步骤:
(1)直线定界 注意
“>0 (或<0) ”时, 直线画成虚线;
“≥0(或≤0)”时,直线画成实线.

(2)特殊点定域 注意:
小诀窍

如果C≠0,可取(0,0); 如果C=0,可取(1,0)或(0,1).

画出下面二元一次不等式组表示的平面区域

? y? x ? ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 ?
y = -1

y

1

y=x

1 o x

-1

x + y -1 = 0

? y?x ? 已知x,y满足下面不等式组, ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 ? 试求Z = 3x +y 的最大值和最小值

? y? x Z的几何意义? 直线的纵截距 ? ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 ? ? y = -3x + Z
作直线 y = -3x

Z = 3x + y 的最值 y

1
1 o

y=x

x

y = -1
-1 x + y -1 = 0

? y? x ? ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 ? ? y = -3x + Z
作直线 y = -3x

Z = 3x + y 的最值 y y=x 1
1 o x

y = -1

A

-1

x + y -1 = 0

? y? x ? ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 ? ? y = -3x + Z
作直线 y = -3x

Z = 3x + y 的最值 y y=x 1
1 o x

y = -1 A A

-1

B B
x + y -1 = 0

?y ? x 解? 得x ? ?1, y ? ?1. ? y ? ?1 即A的坐标为(-1 , - 1)。 ? y ? ?1 解? 得x ? 2, y ? ?1. ?x ? y ? 1 ? 0 即B的坐标为(2, - 1)。

当x=-1,y=-1时,Z=-4。当x=2,y=-1时,Z=5
∴Z max =5, Z min = -4

基本概念: 线性规划问题
已知x,y满足下面不等式组,

线性 约束条件

? y? x ? ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 ?
最优解

试求Z=3x+y的最大值和最小值 线性 目标函数

解得:在点(-1,-1)处, Z有最大值5。 在点(2,-1)处,Z有最小值-4。 任何一个满足线性约束条件的解(x,y)

可行解 可行域

所有的满足线性约束条件的解(x,y)的集合

解线性规划题目的一般步骤:
1、画:画出线性约束条件所表示的可行域; 2、移:在线性目标函数所表示的一组平行线 中,利用平移找出与可行域有公共点且纵截距 最大或最小的直线; 3、求:通过解方程组求出最优解; 4、答:做出答案。

?x ? y ? 5 ? 0 例1: ? 已知x , y满足线性约束条件 ?x ? y ? 5 ? 0 求 : ?x ? 3 ?
1)Z ? 2 x ? 4 y的最值
y 2) Z ? 的最值 x
y
最大值为- 2,最小值为- 26

C (3,8)

A(0,5) B(3,2)

x? y?5?0
10 l0 : y ? x 2

x? y?5? 0
x

x?3

?x ? y ? 5 ? 0 例1: ? 已知x , y满足线性约束条件 ?x ? y ? 5 ? 0 求 : ?x ? 3 ?
y 2) Z ? 的最值 x
2 最大值不存在,最小值 为 3

y
P ( x, y )

C (3,8)

A(0,5)

B(3,2)

x? y?5?0
0

x? y?5? 0
x

x?3

例3 : 求z ? 2 x ? y的最大值和最小值,

?x - 4y ? -3 其中x, y满足下列条件 : ? ?3x ? 5y ? 25 ?x ? 1 z ? 2x ? y ? ?

y ? ?2 x ? z
平移l0

y

平行于l0 : y ? ?2 x
经过A( 1, 1 )时,zmin ? 3
经过B( 5, 2 )时,zmax ? 12
0

22 C (1, ) 5

x ? 4 y ? ?3
B(5,2) A(1,1)

x
3 x ? 5 y ? 25

x ?1
l : y ? ?2 x

变式: 若x, y满足下列条件: ?x - 4y ? -3

1)求z=2x-y的最值
y
C (1, 22 ) 5

? ?3x ? 5y ? 25 ?x ? 1 ?

x ? 4 y ? ?3
B(5,2) A(1,1)

x
3 x ? 5 y ? 25

0
l0 : y ? 2 x

x ?1

变式: 若x, y满足下列条件: ?x - 4y ? -3

2)求z=x+2y的最值
y
C (1, 22 ) 5

? ?3x ? 5y ? 25 ?x ? 1 ?

x ? 4 y ? ?3
B(5,2) A(1,1)

x
3 x ? 5 y ? 25
l0 : y ? ? 1 x 2

0

x ?1

变式: 若x, y满足下列条件: ?x - 4y ? -3

3)求z=3x+5y的最值
y
C (1, 22 ) 5

? ?3x ? 5y ? 25 ?x ? 1 ?

x ? 4 y ? ?3
B(5,2) A(1,1)

x
3 x ? 5 y ? 25
l0 : y ? ? 3 x 5

0

x ?1

变式: 若x, y满足下列条件: ?x - 4y ? -3
y 4)求Z ? 的最值 x
y
C (1, 22 ) 5

? ?3x ? 5y ? 25 ?x ? 1 ?

P
A(1,1)

x ? 4 y ? ?3
B(5,2)

x
3 x ? 5 y ? 25

0

x ?1

变式: 若x, y满足下列条件: ?x - 4y ? -3

6)若 z=ax+y取得最大值的最优解 有无数个, 求实数a的值
y
22 C (1, ) 5

? ?3x ? 5y ? 25 ?x ? 1 ?

x ? 4 y ? ?3
B(5,2) A(1,1)

x
3 x ? 5 y ? 25

0

x ?1

变式: 若x, y满足下列条件: ?x - 4y ? -3

? ?3x ? 5y ? 25 ?x ? 1 ?

7)若 z=ax+y取得最小值的最优解 有无数个, 求实数a的值
y
22 C (1, ) 5

x ? 4 y ? ?3
B(5,2) A(1,1)

x
3 x ? 5 y ? 25

0

x ?1

课堂练习:
1、已知x,y满足约束条件

?x ? y ? 5 ? 0 ? ?x ? y ? 0 , ?x ? 3 ?

则z=2x+4y的最小值为( B )
(A)6 (B) -6 (C)10 (D) -10

?x ? y ? 4 ?x ? 2 y ? 6 ? 2.平面内满足不等式组 ? 的所有点中, ?x ? 0 ? ?y ? 0

使目标函数z=5x+4y取得最大值的点的坐标 (4,0) 是________

5.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且 包括周界),目标函数z=x+ay取得最小值的最优解 有无数个,则a的一个可能值为(

A
(D)1

)

(A)-3

(B)3

(C)-1

6.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且 包括周界),目标函数z=x+ay取得最大值的最优解 有无数个,则a的一个可能值为(

D
(D)1

)

(A)-3

(B)3

(C)-1

练习、已知 ?y ? x ? 1 ? ?x - 5y ? 3 ?5x ? 3y ? 15 ? 求z=3x+5y的最大值和最小值。

小结:
1、线性规划问题的有关概念 2、线性规划问题的解题步骤

?x - 4y ? -3 ? ?3x ? 5y ? 25 ?x ? 1 ? z=2x+y
满足线性约束条 件的每一个(x,y) 可行解组成的集合 使目标函数取得最 值的可行解

线性约束条件

线性目标函数
可行解 可行域 最优解

求线性目标函数在 线性约束条件下的 最大值最小值问题

线性规划问题


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