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2016届高三理科数学一轮复习单元测试:第一章 集合与简易逻辑


第一章 单元测试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中只有一项符合题目要求) 1.(2014· 陕西)设集合 M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2 <1,x∈R},则 M∩N=( A.[0,1] C.(0,1] 答案 解析 B ∵x2 <1,∴-1<x<1,∴M∩N={x|0≤x<1}.故选 B. ) B.[0,1) D.(0,1) )

2.(2014· 浙江理)设全集 U={x∈N|x≥2},集合 A ={x∈N|x2 ≥5},则?U A =( A.? C.{5} 答案 解析 选 B. 3.已知集合 A ={1,3,5,7,9},B ={0,3,6,9,12},则 A ∩(?N B)等于( A.{1,5,7} C.{1,3,9} 答案 解析 A 即在 A 中把 B 中有的元素去掉. 3 x2 >0”成立的( ) B.必要不充分条件 D.充要条件 B.{3,5,7} D.{1,2,3} ) B B.{2} D.{2,5}

由题意知 U={x∈N|x≥2}, A ={x∈N|x≥ 5}, 所以?U A ={x∈N|2≤x< 5}={2}. 故

4.“x>0”是“

A.充分不必要条件 C.既不充分也不必要条件 答案 解析 x>0. A

3 3 当 x>0 时, x2 >0 成立;但当 x2 >0 时,得 x2 >0,则 x>0 或 x<0,此时不能得到

5.已知命题 p:所有有理数都是实数;命题 q:正数的对数都是负数.则下列命题中为 真命题的是( ) B.p 且 q D.(綈 p)或(綈 q)

A.(綈 p)或 q C.(綈 p)且(綈 q) 答案 解析 D

由于命题 p 是真命题, 命题 q 是假命题, 因此, 命题綈 q 是真命题, 于是(綈 p)或(綈

q)是真命题. 6.命题“对任意的 x∈R,x3 -x2 +1≤0”的否定是(
-1-

)

A.不存在 x∈R,x3 -x2 +1≤0 B.存在 x∈R,x -x +1≤0 C.存在 x∈R,x3 -x2 +1>0 D.对任意的 x∈R,x3 -x2 +1>0 答案 解析 C 应用命题否定的公式即可.
2 2 3 2

7.原命题:“设 a,b,c∈R,若 a>b,则 ac >bc ”,在原命题以及它的逆命题、否命 题、逆否命题中,真命题的个数为( A.0 C.2 答案 解析 C c=0 时,原命题为假,逆命题为真,根据命题间的关系应选 C. ) ) B.1 D.4

8.已知?ZA ={x∈ Z|x<6},? ZB ={x∈ Z|x≤2},则 A 与 B 的关系是( A.A ?B C.A =B 答案 A B.A ?B D.?ZA ? ZB

1 1 9. 设全集为 R,集合 M={y|y=2x+1,- ≤x≤ },N={x|y=lg(x2 +3x)},则韦恩图中阴 2 2 影部分表示的集合为( )

答案 解析

C 1 1 ∵- ≤x≤ ,y=2x+1,∴0≤y≤2,∴M={y|0≤y≤2}.∵x2 +3x>0,∴x>0 或 2 2

x<-3,∴N={x|x>0 或 x<-3},韦恩图中阴影部分表示的集合为(?R M)∩N,又?R M={x|x<0 或 x>2},∴(?RM)∩N={x|x<-3 或 x>2},故选 C. 10. 若命题“?x0 ∈R, 使得 x 2 则实数 m 的取值范围是( 0+mx0 +2m-3<0”为假命题, A.[2,6] C.(2,6) B.[-6,-2] D.(-6,-2) )

-2-

答案 解析

A ∵命题“?x0 ∈R,使得 x 0+mx0 +2m-3<0”为假命题,∴命题“ ?x∈R,使得
2

x2 +mx+2m-3≥0”为真命题,∴Δ≤0,即 m2 -4(2m-3)≤0,∴2≤m≤6. 11.命题“?x∈[1,2],x2 -a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( A.a≥4 C.a≥5 答案 解析 C 命题“?x∈[1,2],x2 -a≤0”为真命题的充要条件是 a≥4,故其充分不必要条件 B.a≤4 D.a≤5 )

是实数 a 的取值范围是集合[4,+∞)的非空真子集,正确选项为 C. 1x 2 12.已知 f (x)=ln(x +1),g(x)=( ) -m,若对?x1 ∈[0,3],?x2 ∈[1,2],使得 f(x1 )≥g(x2), 2 则实数 m 的取值范围是( 1 A.[ ,+∞) 4 1 C.[ ,+∞) 2 答案 解析 A 1 当 x ∈ [0,3] 时, [f(x)]min = f(0) = 0 ,当 x ∈ [1,2] 时, [g(x)]min = g(2) = - m ,由 4 ) 1 B.(-∞, ] 4 1 D.(-∞,- ] 2

1 1 [f(x)]min ≥[g(x)]min ,得 0≥ -m,所以 m≥ ,故选 A. 4 4 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.已知集合 A ={1,a, 5},B ={2,a2 +1}.若 A ∩B 有且只有一个元素,则实数 a 的值 为________. 答案 解析 0 或-2 若 a=2,则 a +1=5,A ∩B ={2,5},不合题意舍去.
2

若 a2 +1=1,则 a=0,A ∩B ={1}. 若 a2 +1=5,则 a=± 2.而 a=-2 时,A ∩B ={5}. 若 a2 +1=a,则 a2 -a+1=0 无解. ∴a=0 或 a=-2. 14.已知命题 p:α=β 是 tanα=tanβ 的充要条件. 命题 q:??A . 下列命题中为真命题的有________. ①p 或 q;②p 且 q;③綈 p;④綈 q. 答案 ①③

15.已知集合 A ={x∈R||x+2|<3},集合 B ={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且 A ∩B =(-1,n), 则 m+n=________.
-3-

答案 解析

0 由|x+2|<3,得-3<x+2<3,即-5<x<1. 又 A ∩B =(-1,n),则(x-m)(x-2)<0 时

必有 m<x<2,从而 A ∩B =(-1,1),∴m=-1,n=1,∴m+n=0. 16.由命题“存在 x∈R,使 x2 +2x+m≤0”是假命题,求得 m 的取值范围是(a,+∞), 则实数 a 的值是________. 答案 解析 1 ∵“存在 x∈R,使 x +2x+m≤0”是假命题,
2

∴“任意 x∈R,使 x2 +2x+m>0”是真命题. ∴Δ=4-4m<0,解得 m>1,故 a 的值是 1. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知集合 A ={x|x2 -3x+2=0},B ={x|x2 -ax+a-1=0},若 A ∪B =A ,求实数 a 的值. 答案 解析 a=2 或 a=3 A ={1,2},∵A ∪B =A ,∴B ?A ,∴B =?或{1}或{2}或{1,2}.

当 B =?时,无解; 当 B ={1}时,?
?1+1=a, ? ? ?1×1=a-1, ? ?2+2=a, ?2×2=a-1, ? ? ?1+2=a, ?1×2=a-1, ?

得 a=2;

当 B ={2}时,?

无解;

当 B ={1,2}时,?

得 a=3.

综上:a=2 或 a=3. 18.(本小题满分 12 分) π 为圆周率,a,b,c,d∈Q,已知命题 p:若 aπ+b=cπ+d,则 a=c 且 b=d. (1)写出 p 的否定并判断真假; (2)写出 p 的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假; (3)“a=c 且 b=d”是“aπ+b=cπ+d”的什么条件?并证明你的结论. 答案 (1)p 的否定是假命题 (2)都是真命题

(3)充要条件,证明略 解析 (1)原命题 p 的否定是:“若 aπ+b=cπ+d,则 a≠c 或 b≠d”.假命题.

(2)逆命题:“若 a=c 且 b=d,则 aπ+b=cπ+d”.真命题. 否命题:若“aπ+b≠cπ+d,则 a≠c 或 b≠d”.真命题. 逆否命题:“若 a≠c 或 b≠d,则 aπ+b≠cπ+d”真命题. (3)“a=c 且 b=d”是“aπ+b=cπ+d”的充要条件.

-4-

证明如下: 充分性:若 a=c,则 aπ=cπ. ∵b=d,∴aπ+b=cπ+d. 必要性:∵aπ+b=cπ+d,∴aπ-cπ=d-b. 即(a-c)π=d-b. ∵d-b∈Q,∴a-c=0 且 d-b=0. 即 a=c 且 b=d. ∴“a=c 且 b=d”是“aπ+b=cπ+d”的充要条件. 19.(本小题满分 12 分) 设关于 x 的不等式 x(x-a-1)<0(a∈R)的解集为 M,不等式 x2 -2x-3≤0 的解集为 N. (1)当 a=1 时,求集合 M; (2)若 M?N,求实数 a 的取值范围. 答案 解析 (1){x|0<x<2} (2)[-2,2]

(1)当 a=1 时,由已知得 x(x-2)<0,解得 0<x<2.

所以 M={x|0<x<2}. (2)由已知得 N={x|-1≤x≤3}. ①当 a<-1 时,因为 a+1<0,所以 M={x|a+1<x<0}. 因为 M?N,所以-1≤a+1<0,所以-2≤a<-1. ②当 a=-1 时,M=?,显然有 M?N,所以 a=-1 成立. ③当 a>-1 时,因为 a+1>0,所以 M={x|0<x<a+1}. 因为 M?N,所以 0<a+1≤3,所以-1<a≤2. 综上所述,a 的取值范围是[-2,2]. 20.(本小题满分 12 分) 已知 p:指数函数 f(x)=(2a-6) 在 R 上是单调减函数;q:关于 x 的方程 x -3ax+2a +1 =0 的两根均大于 3,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围. 答案 解析 5 7 ( ,3]∪[ ,+∞) 2 2 7 p 真,则指数函数 f (x)=(2a-6)x 的底数 2a-6 满足 0<2a-6<1,所以 3<a< . 2
2 2 2 2 x 2 2

q 真,令 g(x)=x -3ax+2a +1,易知其为开口向上的二次函数.因为 x -3ax+2a +1 =0 的两根均大于 3,所以①Δ=(-3a)2 -4(2a2 +1)=a2 -4>0,a<-2 或 a>2;②对称轴 x=- -3a 3a = >3;③g(3)>0,即 32 -9a+2a2 +1=2a2 -9a+10>0,所以(a-2)(2a-5)>0. 所以 a<2 2 2 5 或 a> . 2

-5-

<-2或a>2, ?a ?3a>3, 由? 2 5 ? ?a<2或a>2,

5 得 a> . 2

7 5 p 真 q 假,由 3<a< 及 a≤ ,得 a∈?. 2 2 7 5 5 7 p 假 q 真,由 a≤3 或 a≥ 及 a> ,得 <a≤3 或 a≥ . 2 2 2 2 5 7 综上所述,实数 a 的取值范围为( ,3]∪[ ,+∞). 2 2 21.(本小题满分 12 分) 我们知道,如果集合 A ?S,那么把 S 看成全集时,S 的子集 A 的补集为?S A ={x|x∈S,且 x?A }.类似的,对于集合 A ,B ,我们把集合{x|x∈A,且 x?B}叫做集合 A 与 B 的差集,记作 A -B . 据此回答下列问题: (1)若 A ={1,2,3,4},B ={3,4,5,6},求 A -B ; (2)在下列各图中用阴影表示出集合 A -B ;

1 (3)若集合 A ={x|0<ax-1≤5},集合 B ={x|- <x≤2},有 A -B =?,求实数 a 的取值范 2 围. 答案 (1){1,2} (2)略

(3){a|a<-12 或 a≥3 或 a=0} 解析 (2) (1)根据题意知 A -B ={1,2}.

(3)∵A -B =?,∴A ?B. A ={x|0<ax-1≤5},则 1<ax≤6. 当 a=0 时,A =?,此时 A -B =?,符合题意; 1 6 6 当 a>0 时,A =( , ],若 A -B =?,则 ≤2,即 a≥3; a a a 6 1 6 1 当 a<0 时,A =[ , ),若 A -B =?,则 >- ,即 a<-12. a a a 2 综上所述,实数 a 的取值范围是{a|a<-12 或 a≥3 或 a=0}.

-6-

22.(本小题满分 12 分) 已知 P ={x|x -8x-20≤0},S={x||x-1|≤m}. (1)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件.若存在,求实数 m 的取值范围; (2)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的必要条件.若存在,求实数 m 的取值范围. 答案 解析 (1)m 不存在 (2)m≤3
2

(1)P ={x|-2≤x≤10},

S={x|1-m≤x≤m+1}. 若 x∈P 是 x∈S 的充要条件, ∴?
? ?1-m=-2, ?1+m=10, ?

∴m 不存在.

(2)若存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的必要条件, ∴S?P . 若 S=?,即 m<0 时,满足条件. m+1≥1-m, ? ? 若 S≠?,应有?1-m≥-2, ? ? m+1≤10, 解之得 0≤m≤3. 综上得,m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件.

1. (2015· 广东广州测试)已知集合 A ={x|x∈Z 且 A.2 C.4 答案 解析 C ∵

3 ∈Z}, 则集合 A 中的元素个数为( 2- x

)

B.3 D.5

3 ∈Z,x∈ Z,∴2-x 的取值有-3,-1,1,3,x 值分别为 5,3,1,-1,故集合 2-x

A 中的元素个数为 4,故选 C. 2.设集合 M 是 R 的子集,如果点 x0 ∈R 满足:?a>0,?x∈M, 0<|x-x0 |<a,称 x0 为集 合 M 的聚点.则下列集合中以 1 为聚点的有( ①{ )

n 2 |n∈N};②{ |n∈N* };③ Z;④{y|y=2x}. n+ 1 n B.②③ D.①②④

A.①④ C.①②

-7-

答案 解析

A ①集合中{ n n |n∈N}中的元素是极限为 1 的数列,1 是集合{ |n∈N}的聚点; n+1 n+1

2 1 ②集合{ |n∈N* }中的元素是极限为 0 的数列,最大值为 2,即|x-1|≤1,对于 a= ,不 n 3 1 2 存在 0<|x-1|< ,所以 1 不是集合{ |n∈N* }的聚点; 3 n ③对于某个 a<1,比如 a=0.5,此时对任意的 x∈Z,都有 x-1=0 或者 x-1≥1,也就是 说不可能 0<|x-1|<0.5,从而 1 不是整数集 Z 的聚点; ④该集合为正实数集,从而 1 是集合{y|y=2 }的聚点. 3.对于任意实数 x,[x]表示不超过 x 的最大整数,如[1.1]=1,[-2.1]=-3. 定义在 R 上 的函数 f(x)=[2x]+[4x]+[8x],若 A ={y|y=f (x),0<x<1},则 A 中元素的最大值与最小值之和 为( ) A. 11 C.14 答案 解析 A 1 当 0<x< 时,[2x]=0,[4x]=0,[8x]=0; 8 B.12 D.15
x

7 当 ≤x<1 时,[2x]=1,[4x]=3,[8x]=7; 8 ∴A 中元素的最大值与最小值之和为 7+3+1=11,选 A. 4.(2015· 朝阳期中)同时满足以下 4 个条件的集合记作 A k:①所有元素都是正整数;②最 小元素为 1;③最大元素为 2 014;④各个元素可以从小到大排成一个公差为 k (k ∈N* )的等差 数列.那么集合 A 33 ∪A 61 中元素的个数是( A.96 C.92 答案 解析 B A 33 中元素是首项为 1,公差为 33 的等差数列,那么设项数为 m,则有 1+33(m- ) B.94 D.90

1)=2 014,解得 m=62;A 61 中元素是首项为 1,公差为 61 的等差数列,那么设项数为 n,则 有 1+61(n-1)=2 014,解得 n=34;A33 ∩A61 中元素是首项为 1,公差为 33×61 的等差数列, 那么设项数为 q,则有 1+33×61(q-1)=2 014,解得 q=2. 所以设 P 表示元素个数,则有: P (A33 ∪A61 )=P (A 33)+P (A 61)-P(A 33 ∩A 61 )=34+62-2=94. 5.(2015· 顺义第一次统练)设非空集合 M 同时满足下列两个条件: ①M?{1,2,3,?,n-1}; ②若 a∈M,则 n-a∈M(n≥2,n∈N* ). 则下列结论正确的是( )

-8-

n A.若 n 为偶数,则集合 M 的个数为 2 个 2 n B.若 n 为偶数,则集合 M 的个数为 2 -1 个 2 n-1 C.若 n 为奇数,则集合 M 的个数为 2 个 2 n+1 D.若 n 为奇数,则集合 M 的个数为 2 个 2 答案 解析 B 当 n=2 时,M?{1},且满足 1∈M, 2-1∈M,故集合 M 的个数为 1 个;当 n=3

时,M?{1,2},且 1∈M, 3-1=2∈M,故集合 M 的个数为 1 个;当 n=4 时,M?{1,2,3},且 1∈M, 4-1=3∈M, 2∈M, 4-2=2∈M. 故集合 M 的个数为 3,故可排除 A,C,D,选 B. 6.(2015· 湖北天门调研)设集合 M={y|y=|cos x-sin x|,x∈R},N={x|| 数单位,x∈R},则 M∩N 等于( A.(0,1) C.[0,1) 答案 解析 C M= {y|y= |cos2x| , x∈ R}= [0,1], N= {x|| 1+ 3i x|<1}= {x||x|<1} ={x|- 1<x<1} , 2 ) B.(0,1] D.[0,1]
2 2

2x 1- 3i

|<1,i 为虚

M∩N=[0,1),故选 C.

-9-



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