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解析几何试题解题策略


江西省新余市渝水一中

李新生

一、考情分析
解析几何是高中数学的重要内容,包括直线和圆与圆 锥曲线两部分,而直线和圆单独命为解答题较少,只有极 个别的省市高考中会出现,而圆锥曲线是解析几何的核心 内容,每年在全国及各省市的高考中均出现.主要考查热点: 1.直线的方程、斜率、倾斜角、距离公式及圆的方程; 2.直线与直线、直线与圆的位置关系及对称问题等; 3.圆锥曲线的定义及标准方程; 4.与圆锥曲线有关的轨迹问题; 5.与圆锥曲线有关的最值、定值问题; 6.与平面向量、数列及导数等知识相结合的交汇试题.

二、考点聚焦
? ? ?

1.圆锥曲线的定义
2.圆锥曲线的方程与性质 3.轨迹问题

?
? ? ?

4.直线与圆锥曲线的位置关系
5.定值或定点问题 6.最值或取值范围问题 7.存在性问题

三、解题策略(1)
?

1.直线与圆锥曲线相交的问题,牢记“联立方程,韦达定 理,把要求的量转化为韦达定理”,常常是设而不求,但别

忘记判别式 “Δ>0”的范围限制和直线斜率不存在的特殊情况
?

2.涉及弦中点的问题,牢记“点差法”是联系中点坐标和 弦所在直线的斜率的好方法。

?

3.求参数范围的问题,牢记“先找不等式,有时需要找出 两个变量之间的关系,然后消去另一个变量,保留要求的 量”,不等式的来源可以是Δ>0或圆锥曲线的有界性或是题 目中的某个量的范围。

三、解题策略(2)
?

4.求轨迹方程问题,牢记“定义法,相关点法(代入 法),直接法,几何法,参数法,交轨法” 5.有关圆锥曲线的对称问题(主要是关于直线m对称), 若A与B关于直线m对称,则m为线段AB的垂直平分线,应 抓住垂直和平分这两个关键条件去解题. 6.有关直线与圆锥曲线位置关系中的存在性问题,一般 采用“反证法”或“验证法”. 7.有关弦长问题,运用弦长公式
? 1? 1 | y1 ? y2 | (k ? 0) 2 k | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |

?

?

?

及韦达定理,设而不求,简化运算.

三、解题策略(3)
8.求最值或求范围问题,常见的解法有两种: (1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征

及意义,则考虑利用图形性质来解决;
(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函 数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值。

9.解决定值问题的一般思路是,用变量(参数)表示这个 量,然后通过运算消去参数,从而证明所求量为定值。

三、解题策略(4)
?

解法思想:以数形结合、分类讨论思想为主,以函数与方程 和转化与等价转化思想为辅; 注意:文科中抛物线、双曲线的定义、标准方程和简单几何 性质由掌握调低为了解; 理科中双曲线的定义、标准方程和 简单几何性质由掌握调低为了解;

m2 ?0, 例 1: (2010 年高考浙江卷)已知 m >1,直线 l : x ? my ? 2 x2 2 椭圆 C: 2 ? y ? 1 ,F1,F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点. y m

(1)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点, ?AF1F2,?BF1F2 的重心分别为 G、H,若原点 O 在 以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围.
【解析】 (1)∵直线 l : x ? my ?
m2 ∴ m ?1 = ,得 m2=2 2 又∵ m >1,∴ m = 2
2

F1 F2 O B

A x

m ? 0 经过 F2( m 2 ? 1 ,0), 2

2

故直线 l 的方程为 x- 2 y-1=0

四 、 经 典 题 型

(2)分析:m的取值范围显然受到以下两个几何特征的影响

A:直线与椭圆交于两点,转化为Δ >0
B:原点O在以线段GH为直经的圆内,转化为O点到圆心的距离 小于半经;

? m2 ? x ? my ? ? 2 m2 ? 2 2 (2)设 A(x1 ,y1),B(x2,y2),由 ? x ,消去 x 得 2y + m y+ ? 1 =0 4 ? y2 ? 1 ?m2 ?

则由?= m

2

2 m2 ? 1 )= - m 2+8>0, 知 m 2<8,且有 y1+y2 =- m ,y1 y2= m - 1 . -8( 4 8 2 2

由于 F1(-c,0),F2(c,0),故 O 为 F1F2 的中点. 由 G、H 分别为?AF1F2、?BF1F2 的重心.
x1 y1 x2 y 2 可知 G( , ),H( , ) 3 3 3 3

y

|GH|2=

( x1 ? x 2 ) ( y ? y2 ) ? 1 . 9 9
2 2

A F1 F2 O B x

x1 ? x 2 y1 ? y 2 , 设 M 是 GH 的中点,则 M( ) 6 6 由题意可知,2|MO|<|GH|,

? x1 ? x 2 2 y1 ? y 2 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ( y1 ? y 2 ) 2 ) ?( ) ?< ? 即 4 ?( ,即 x1 x2+y1 y2<0 6 6 9 9 ? ?

四 、 经 典 题 型
2

而 x1 x2+y1 y2=( m y1+ m )( m y2+ m )+y1 y2=( m 2+1)( m - 1 ),
2 2 8

2

2

2

∴ m - 1 <0, 即 m 2<4,
8
2

2

∵ m >1 且?>0, ∴1<m<2, ∴ m 的取值范围是(1, 2)

x2 y 2 例 2: (2009 安徽卷)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0) 上, x y0 ? x0 ? a cos ? , y0 ? b sin ? ,0 ? ? ? . 直线 l2 与直线 l1 : 0 x ? 2 y ? 1 垂直, a2 b 2

O 为坐标原点,直线 OP 的倾斜角为 ? ,直线 l2 的倾斜角为 ? .
x2 y2 (I)证明: 点 P 是椭圆 a 2 ? b 2 ? 1 与直线 l1 的唯一交点;

(II)证明: tan ? , tan ? , tan ? 构成等比数列.
(I)分析一:从“唯一交点”这个微观入手,由直线和椭圆的 位置关系不难想到:直线必与椭圆相切于点P,即:过椭圆上一 点P的切线方程的就是直线l. 由此出发,可设计如下解题思路:

四 、 经 典 题 型

x2 y 2 例 2: (2009 安徽卷)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0) 上, x y0 ? x0 ? a cos ? , y0 ? b sin ? ,0 ? ? ? . 直线 l2 与直线 l1 : 0 x ? 2 y ? 1 垂直, a2 b 2

O 为坐标原点,直线 OP 的倾斜角为 ? ,直线 l2 的倾斜角为 ? .
x2 y2 (I)证明: 点 P 是椭圆 a 2 ? b 2 ? 1 与直线 l1 的唯一交点;

(II)证明: tan ? , tan ? , tan ? 构成等比数列.
解题思路一:

b 2 y? a ? x2 由椭圆方程得: a
求函数的导数
k ? y?( x0 ) ? ? bx0 a a 2 ? x0 2 ?? b 2 x0 , a 2 y0
b 2 x0 ( x ? x0 ) ? y0 , a 2 y0

四 、 经 典 题 型

得切线方程为 y ? ?

x0 y0 x ? 2 y ?1 整理得 a 2 b

x2 y 2 例 2: (2009 安徽卷)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0) 上, x y0 ? x0 ? a cos ? , y0 ? b sin ? ,0 ? ? ? . 直线 l2 与直线 l1 : 0 x ? 2 y ? 1 垂直, a2 b 2

O 为坐标原点,直线 OP 的倾斜角为 ? ,直线 l2 的倾斜角为 ? .
x2 y2 (I)证明: 点 P 是椭圆 a 2 ? b 2 ? 1 与直线 l1 的唯一交点;

(II)证明: tan ? , tan ? , tan ? 构成等比数列.

(I)分析二:从“唯一交点”这个微观入手,从代数的角度出发, 可化归为直线l与椭圆方程组成的方程组有唯一解,由此可设计如 下解题方法:
x0 y0 x2 y 2 b2 2 简解:由 2 x ? 2 y ? 1 得 y ? 2 (a ? x0 x), 代入椭圆 2 ? 2 ? 1 , a b a b a y0

四 、 经 典 题 型

1 b2 x0 2 2 2b2 x0 b2 得 ( 2 ? 4 2 ) x ? 2 x ? ( 2 ? 1) ? 0 . a a y0 a y0 y0
? x0 ? a cos ? 将? 代入上式,得 x2 ? 2a cos ? ? x ? a2 cos2 ? ? 0, 从而 x ? a cos ? . ? y0 ? b sin ?

因此,即直线 l1 与椭圆有唯一交点 P.

x2 y 2 例 2: (2009 安徽卷)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0) 上, x y0 ? x0 ? a cos ? , y0 ? b sin ? ,0 ? ? ? . 直线 l2 与直线 l1 : 0 x ? 2 y ? 1 垂直, a2 b 2

O 为坐标原点,直线 OP 的倾斜角为 ? ,直线 l2 的倾斜角为 ? .
x2 y2 (I)证明: 点 P 是椭圆 a 2 ? b 2 ? 1 与直线 l1 的唯一交点;

(II)证明: tan ? , tan ? , tan ? 构成等比数列.
(I) 分析三:本题也可采用同一法证明。

显然 P 是椭圆与 l1 的交点,假设椭圆与 l1 还有交点 Q,则只须证明 Q 与 p 点重合。 据此设计出如下解题思路: 若 Q ( a cos ?1 , b sin ?1 ), 0 ? ?1 ? 2? 是椭圆与 l1 的另一个交点, 代入 l1 的方程

四 、 经 典 题 型

cos ? sin ? x? y ? 1 ,得 cos ? cos ?1 ? sin ? sin ?1 ? 1, a b

即 cos( ? ? ?1 ) ? 1, ? ? ?1 , 故 P 与 Q 重合。

x2 y 2 例 2: (2009 安徽卷)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0) 上, x y0 ? x0 ? a cos ? , y0 ? b sin ? ,0 ? ? ? . 直线 l2 与直线 l1 : 0 x ? 2 y ? 1 垂直, a2 b 2

O 为坐标原点,直线 OP 的倾斜角为 ? ,直线 l2 的倾斜角为 ? .
x2 y2 (I)证明: 点 P 是椭圆 a 2 ? b 2 ? 1 与直线 l1 的唯一交点;

(II)证明: tan ? , tan ? , tan ? 构成等比数列.
(II)分析:证明 tan ? , tan ? , tan ? 构成等比数列.即证 tan ? ? tan ? ? tan ? ,
2

而由 tan ? , tan ? 自然想到直线的斜率,因此解题思路如下:

xb y0 b ? 0 2 , 而 l2 与 l1 垂直, tan ? ? ? tan ? , l1 的斜率为 K1 = y0 a x0 a
y0 a 2 a ? tan ? , 从而 l 2 的斜率为 K 2 ? tan ? ? x0b 2 b
由此得 tan ? tan ? ? tan ? ? 0, tan ? , tan ? , tan ? 构成等比数列。
2

2

四 、 经 典 题 型

x2 y2 例 3:(湖北省鄂州市 2008 年高考模拟)已知椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 、 a b
F2 (c,0) ,Q 是椭圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 F1 Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2 Q 上, 并且满足 PT

? TF2 ? 0, | TF2 |? 0.
c x a

(Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明; | F1 P |? a ?

(Ⅱ)求点 T 的轨迹 C 的方程; (Ⅲ)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使
? F1 MF2 的面积 S= b 2 . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不

存在,请说明理由.

分析(Ⅰ):它其实就是焦半径公式,考察的核心内容还是椭圆第二定义 的转化思想,即转化为点P到椭圆左准线的距离; 分析(2):由于QF1=2a,根据椭圆第一定义可知PF1+PF2=2a,所以有 PQ=PF2 ,又由己知可得PT垂直于QF2 ,从而点T为QF2的中点,因此有以 下两种解题思路: 思路一:连接OT,显然OT是三角形QF1F2的中位线,因此OT=a,从而点T 的轨迹方程为:x2 + y2 =a2 思路二:由于 QF1=2a,所以Q点的轨迹是以F1为圆心,以2a为半 径的圆, 可利用圆的参数方程,设Q点坐标为(2acosθ-c,2asinθ), 从而求得中点T的坐标为(acosθ, asinθ),即x=acosθ,y=a sinθ

四 、 经 典 题 型

x2 y2 例 3:(湖北省鄂州市 2008 年高考模拟)已知椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 、 a b
F2 (c,0) ,Q 是椭圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 F1 Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2 Q 上, 并且满足 PT

? TF2 ? 0, | TF2 |? 0.
c x a

(Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明; | F1 P |? a ?

(Ⅱ)求点 T 的轨迹 C 的方程; (Ⅲ)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使
? F1 MF2 的面积 S= b 2 . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不

存在,请说明理由.

解: (Ⅲ) C 上存在点 M( x 0 , y 0 )使
b2 由③得 | y 0 |? a ,由④得 | y 0 |? . c

2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 , ? S= b 的充要条件是 ? 1 2 ? ? 2c | y0 |? b . ?2

③ ④

2

所以,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b 2 ;
c

2

四 、 经 典 题 型

当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M.
c

2

当 a ? b 时, MF1 ? (? c ? x0 , ? y0 ), MF2 ? (c ? x0 , ? y0 ) ,
c

2

???? ?

?????

由 MF1 ? MF2 ? x02 ? c 2 ? y02 ? a 2 ? c 2 ? b 2 ,
???? ????? ???? ? ? ????? MF1 ? MF2 ?| MF1 | ? | MF2 | cos ?F1 MF2 ,

???? ????? ?

S?

? ????? 1 ???? | MF1 | ? | MF2 | sin ?F1 MF2 ? b 2 ,得 tan ?F1 MF2 ? 2. 2

例 4: 如图,P 是抛物线 C:y=

1 2 x 上一点, 2

直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q. (Ⅰ) 若直线 l 与过点 P 的切线垂直, 求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 l 不过原点且与 x 轴交于点 S,与 y 轴交于点 T, 试求

| ST | | ST | 的取值范围. ? | SP | | SQ |

(I)分析:中点M的坐标显然很容易利用韦达定理得到,因此可考虑用参数法求其 轨迹方程。
解: (Ⅰ)设 P(x1 ,y1 ),Q(x2 ,y2 ),M(x0 ,y0 ),依题意 x1 ≠0,y1 >0,y2 >0. 由 y=

1 2 x, 2

① 得 y'=x.

∴过点 P 的切线的斜率 k 切= x1 ,

∴直线 l 的斜率 kl =-

1 1 1 1 = - ,∴直线 l 的方程为 y- x1 2 =- (x-x1 ),② 2 k切 x1 x1
2 x-x1 2 -2=0. x1

联立①②消去 y 并整理,得 x2 +

四 、 经 典 题 型

x1 ? x 2 1 ? ? x0 ? 2 ? ? x ? 1 ∵M 是 PQ 的中点,? ? 1 1 ? y 0 ? x12 ? ?x0 ? x1 ? ? 2 x1 ?

消去 x1 ,得 y0 =x0 +

2

1 2 x0
2

+1(x0 ≠0),

∴PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x +

2

1 +1(x≠0). 2x 2

例 4: 如图,P 是抛物线 C:y=

1 2 x 上一点, 2

直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q. (Ⅰ) 若直线 l 与过点 P 的切线垂直, 求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 l 不过原点且与 x 轴交于点 S,与 y 轴交于点 T, 试求

| ST | | ST | 的取值范围. ? | SP | | SQ |

(II)分析:直接求该式的取值范围显然很难,所以解题关键在于如何转化。
解: (Ⅱ)设直线 l:y=kx+b,依题意 k≠0,b≠0,则 T(0,b). 分别过 P、Q 作 PP'⊥x 轴,QQ'⊥y 轴,垂足分别为 P' 、Q' ,则
|b| |b| | ST | | ST | | OT | | OT | . ? ? ? ? ? | SP | | SQ | | P?P | | Q?Q | | y1 | | y 2 |

由? y ? 2 x ?

?

1

2

? y ? kx ? b ?

消去 x,得 y2-2(k2+b)y+b2=0.



四 、 经 典 题 型

则 y1+y2=2(k2+b), y1y2=b2. ∴ ∵ ∴
1 1 | ST | | ST | ? ? |b|( ? y1 y 2 | SP | | SQ |

)≥2|b|

1 y1 y 2

=2|b|

1 b2

=2.

y1、y2 可取一切不相等的正数,
| ST | | ST | ? 的取值范围是(2,+ ? ). | SP | | SQ |

五、命题趋势 (1)(个人观点,仅供参考)
?

(1)、直线与圆的考查会有所加强.

?

(2)、文科的双曲线与抛物线,理科的双曲线难度下降,以 它们为背景出大题的可能性大大降低.
(3)、曲线与方程要求下降,轨迹题不可能在文理公共部分 出现. (4)、线性规划要出现只能作为不等式内容. (5)、解析几何题的分值比例仍然会略超相应的课时比例. (6)、单一型的题目将被更多的综合型题目所取代.即使是 选择或填空题,每道题考查的知识点也可能是两个、三个 或更多个.

?

? ? ?

五、命题趋势 (2)(个人观点,仅供参考)
?

(7).直线与圆锥曲线的位置关系(含各种对称、圆的切线) 的研究与讨论仍然是重中之重. (8).由于导数的介入,抛物线的切线问题有可能进一步 “升温”. (9).与平面向量的关系将进一步密切,许多问题会“披着” 向量的“外衣”. (10).《极坐标与参数方程》的知识在解决《解析几何》 问题的作用不可忽视.(理科) (11).三角函数的知识一直是解决《解析几何》问题的好 “帮手”

?

?

?

?


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