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数学理卷·2014届河北省唐山一中高三第二次调研考试(2013.10)


全品高考网 gk.canpoint.cn 唐山一中 2013—2014 学年度第二次调研考试

高三年级数学试卷(理)
一 选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.若集合 A ? {0,1,2, x} , B ? {1, x }, A ? B ? A ,则满足条件的实数 x 的个数有
2

A. 1 个

B 2个

C. 3 个

D 4个

2.已知 ? 是第二象限角,且 sin( ? ? ? ) ? ? A.

3 ,则 tan2 ? 的值为 5

4 5

B. ?

23 7

C.

24 7

D. ?

24 7
2 6

b 3. 向量 a , 均为单位向量, 其夹角为 ? , 则命题 “
的( )条件 B.必要非充分条件

? 5? p : a ? b ?1” )” 是命题 q : ? ? [ , “

A.充分非必要条件 4. 为了得到函数 y ? A.向左平移

C.充分必要条件

D.非充分非必要条件

? 个长度单位 12 ? C.向左平移 个长度单位 6
? ?

1 3 sin x cos x ? cos 2 x 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象 2

? 个长度单位 12 ? D.向右平移 个长度单位 6
B.向右平移

5. 设向量 a , b 是非零向量,若函数 f ( x) ? ( xa ? b) · (a ? xb)( x ? R) 的图象不是直线, 且在 x ? 0 处取得最值,则必有 A. a ⊥ b C. a , b 不垂直且

? ?

?

?

? ?

? ?

B. a ∥ b

? ?

? ?

a?b
2

D. a , b 不垂直且

a?b

6. 若曲线 f ( x) ? a cos x 与曲线 g ( x) ? x ? bx ? 1 在交点 (0, m) 处有公切线, a ? b = A. 则 -1 B. 0 C. 1 D. 2

7.半圆的直径 AB =4, O 为圆心,C 是半圆上不同于 A 、B 的任意一点,若 P 为半径 OC 的中点,则 ( PA ? PB) ? PC 的值是 A. -2 B . -1
2 2

C.2

D.

无法确定,与 C 点位置有关

8. 能够把圆 O : x ? y ? 16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的

“和谐函数”,下列函数不是圆 O 的“和谐函数”的是

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A. f ( x) ? 4 x ? x B. f ( x) ? 1n
3

5? x 5? x

C. f ( x) ? tan
n

x 2
*

D. f ( x) ? e ? e
x

?x

9.数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ? n ? n ? 1, bn ? (?1) a n (n ? N ) ,则数列 {bn } 的前 50 项的
2

和为 A.49 10. 已知函数 f ( x) ? ?

B.50

C.99

D.100

?? x ? 1(?1 ? x ? 0) ,则 f ( x) ? f (? x) ? ?1 的解集为 ?? x ? 1(0 ? x ? 1)
B.[-1,-

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)

1 )∪(0,1] 2 1 ]∪(0,1) 2
C. ?1, 3?

C.(-∞,0)∪(1,+∞)
x 2

D.[-1,-

11. 已知函数 f ( x) ? e ? 1, g ( x) ? ? x ? 4 x ? 3 ,若有 f (a) ? g (b) ,则 b 的取值范围. A. ? 2 ? 2, 2 ? 2 ?

?

?

B. (2 ? 2, 2 ? 2)

D. (1,3)

12. 定义域为[ a , b ]的函数 y ? f ( x) 图像的两个端点为 A、B,M(x,y)是 f ( x) 图象上任意

一点,其中 x ? ?a ? (1 ? ? )b , ? ? ?0,1? .已知向量 ON ? ?OA ? ?1 ? ? ?OB ,若不等 式 MN ? k 恒成立,则称函数 f (x) 在 ?a, b ? 上“ k 阶线性近似”.若函数 y ? x ? 在[1,2]上“ k 阶线性近似”,则实数 k 的取值范围为 A. [0, ??) B. [

1 x

1 , ??) 12

C. [ ? 2, ??)

3 2

D. [ ? 2, ??)

3 2

唐山一中 2013—2014 学年度第二次调研考试

高三年级数学试卷(理)
卷Ⅱ(非选择题 共 90 分) 二 填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知 2a ? b ? ( ?1, 3 ) , c ? (1, 3 ) ,且 a ? c ? 3 , b ? 4 ,则 b 与 c 的夹角

考号______________



.
n ?

14. 数列 ?a n ? 中, a1 ? 5, a n ? 2a n ?1 ? 2 ? 1(n ? N , n ? 2) ,若存在实数 ? ,使 得数列 ?

? an ? ? ? ? 为等差数列,则 ? = n ? 2 ?

.

__________

15











全品高考网 gk.canpoint.cn f ( x) ? A s ?x ?n ) ( i ?

( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图象如图所示,△KLM 为等腰直角三角形 (其中 K,L 为图象与 x 轴的交点,M 为极小值点) , ∠KML=90° ,KL=

1 1 ,则 f ( ) 的值为_______. 2 6

16. △ ABC 中 , ∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 重 心 为 G , 若

aGA ? bGB ?
三 解答题

3 cGC ? 0 ,则∠A= 3

.

(本大题共6小题,共 70 分)

17.(10 分)已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1( x ? R)

(1)求 f (x) 的单调递增区间; (2)在△ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,已知 f ( A) ?

1 , 2

b, a, c 成等差数列,且 AB ? AC ? 9 ,求 a 的值.

18. ( 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 边 a 、 b 、 c 分 别 是 角 A 、 B 、 C 的 对 边 , 且 满 足

b cos C ? (3a ? c) cos B .
(1)求 cos B ; (2)若 BC ? BA ? 4 , b ? 4 2 ,求边 a , c 的值. 19. (12 分)已知△ABC 的面积 S 满足

??? ??? ? ?

3 3 ? S ? ,且 AB ? BC ? 3 , AB 与 BC 的夹角为 2 2

? .(1)求 ? 的取值范围;
(2)求函数 f (? ) ? 3 sin ? ? 2 3 sin ? cos? ? cos ? 的最大值及最小值.
2 2

20. (12 分) 已知 A、B、C 是 △ABC 的三个内角, 且满足 2sin B ? sin A ? sin C , B 设 的最大值为 B0 . (Ⅰ)求 B0 的大小; (Ⅱ)当 B ?

3B0 时,求 cos A ? cos C 的值. 4

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21. (12 分)设等比数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 an ?1 ? 2Sn ? 2( n ? N ) .
?

(Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)在 a n 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成公差为 d n 的等差数列,设数列

?1? 15 ? ? ? 的前 n 项和 Tn ,证明: Tn ? . 16 ? dn ? ?
22. (12 分) 已知定义在 (0, ??) 上的三个函数 f ( x) ? ln x , ( x) ? x 2 ? af ( x) , ( x) ? x ? a x , h g 且 g ( x) 在 x ? 1 处取得极值. (Ⅰ)求 a 的值及函数 h( x) 的单调区间. 2 ? f ( x) (Ⅱ)求证:当 1 ? x ? e2 时,恒有 x ? 成立. 2 ? f ( x)

唐山一中 2013—2014 学年度第二次调研考试

高三年级数学试卷(理)答案

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一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答数 1 B 2 D 3 B 4 A 5 C 6 C 7 B 8 D 9 A 10 B 11 B 12 D

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分 1 ? π 13. 14.-1 15. 16. 3 8 6 17(10 分) (1) f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1 ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x 2 2

?

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin( 2 x ? ) 2 2 6

令 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? Z )

f (x) 的单调递增区间为 [k? ?
(2)由 f ( A) ? ∵

?
3

, k? ?

?
6

](k ? Z )

1 ? 1 ,得 sin( 2 A ? ) ? 2 6 2

?
6

? 2A ?

?
6

? 2? ?

?
6

,∴ 2 A ?

?
6

?

5? ? ,∴ A ? 6 3

由 b,a,c 成等差数列得 2a=b+c ∵ AB ? AC ? 9 ,∴ bc cos A ? 9 ,∴ bc ? 18 由余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) ? 3bc
2 2 2 2

∴ a 2 ? 4a 2 ? 3 ? 18 ,∴ a ? 3 2 18(12 分)解: (1)由正弦定理和 b cos C ? (3a ? c) cos B ,得

sin B cos C ? (3sin A ? sin C) cos B ,
化简,得 sin B cos C ? sin C cos B ? 3sin A cos B 即 sin B ? C) 3sin A cos B , ( ? 故 sin A ? 3sin A cos B .

???????2 分

???????4 分

1 . ???????6 分 3 ??? ??? ? ? (2)因为 BC ? BA ? 4 , 所以 BC ? BA ?| BC | ? | BA | ? cos B ? 4
所以 cos B=

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所以 BC ? BA ? 12 ,即 ac ? 12 .

??? ??? ? ?

(1)

???????8 分

又因为 cos B =

a 2 ? c2 ? b2 1 ? , 2ac 3
(2) ???????10 分

整理得, a 2 ? c 2 ? 40 .

? a 2 ? c 2 ? 40 ?a ? 2 ?a ? 6 联立(1) (2) ? ,解得 ? 或? . ?c ? 6 ?c ? 2 ? ac ? 12

???

???? ???? ???? ???? 19. (12 分)(1)解:因为 AB ? BC ? 3 , AB 与 BC 的夹角为 ? 与 BC 的夹角为 ? ???? 所以 | AB | ? | BC | ? cos ? ? 3 2 分

S?

???? ???? 1 ???? 1 ???? 3 | AB | ? | BC | ? sin(? ? ? ) ? | AB | ? | BC | ? sin ? ? ? tan ? 2 2 2 4分

3 3 3 3 3 3 ≤S ≤ ≤ tan ? ≤ ≤ tan ? ≤ 1 2 ,所以 2 2 2 ,即 3 又 2 ,

? 又 ? ?[0, ] ,所以

? ? ? ?[ , ]
6

4 .

6分

2 2 (2)解: f (? ) ? 3sin ? ? 2 3 sin ? ? cos ? ? cos ? ? 3 sin 2? ? cos 2? ? 2

? 2sin(2? ?

?
6

)?2

8分

?
因为 6 从而当

≤? ≤

?

?

4 ,所以 6

≤ 2? ?

?
6



?
3 , 10 分

??

?

6 时, f (? ) 的最小值为 3,当

??

?

4 时, f (? ) 的最大值为 3 ? 2 .

12 分

20.(12 分) (Ⅰ)由题设及正弦定理知, 2b ? a ? c ,即 b ?

a?c . 2
2

?a?c? a2 ? c2 ? ? ? 2 2 2 a ?c ?b ? 2 ? ··········· ··· 分 ? 由余弦定理知, cos B ? ··········· ·· 2 ·········· ··· 2ac 2ac

?

3(a 2 ? c 2 ) ? 2ac 3(2ac) ? 2ac 1 ? ? . ··········· ··········· · 分 ··········· ·········· · 4 ·········· ··········· · 8ac 8ac 2

因为 y ? cos x 在 (0, ? ) 上单调递减,所以 B 的最大值为 B0 ?

?
3

. ·········· 分 ·········· ········· 6

(Ⅱ)解:设 cos A ? cos C ? x , ·····························① ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ······· ··········· ··········· ·········· ··········· ···· 8 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ···· ·········· ··········· ··········· ·········· ·····

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由(Ⅰ)及题设知 sin A ? sin C ? ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ···· 2 .··························②
2

由①2+②2 得, 2 ? 2cos( A ? C ) ? x ? 2 . ······················· 分 ··········· ·········· ·· ······················ 10 又因为 A ? C ? ? ? B ? ? ?

?
4



所以 x ? ? 4 2 ,即 cos A ? cos C ? ? 4 2 . ······················· 分 ··········· ·········· ·· ······················ 12

21(12 分)解(Ⅰ)由 an ?1 ? 2 Sn ? 2(n ? N )得 an ? 2 Sn ?1 ? 2(n ? N , n ? 2 ),
* *

两式相减得: an ?1 ? an ? 2an ,

即 an ?1 ? 3an (n ? N , n ? 2 ),
*

∵ {a n } 是等比数列,所以 a2 ? 3a1 ,又 a2 ? 2a1 ? 2, 则 2a1 ? 2 ? 3a1 ,∴ a1 ? 2 ,

3 ∴ a n ? 2?

n ?1

3 3 (Ⅱ)由(1)知 an ?1 ? 2? , an ? 2?
n

n ?1

∵ an ?1 ? an ? (n ? 1)d n ,

∴ dn ?

4 ? 3n ?1 , n ?1

令 Tn ? 则 Tn ?

1 1 1 1 ? ? ? ? , d1 d 2 d 3 dn

2 3 4 n ?1 +? ① ? ? 0 1 2 4?3n ?1 4?3 4?3 4?3 1 2 3 n n ?1 ② Tn ? ? ?? ? n ?1 1 2 4?3 4?3n 3 4?3 4?3 2 2 1 1 1 n ?1 ①-②得 Tn ? ? ? ?? ? 0 1 2 n ?1 3 4?3 4?3 4?3 4?3 4?3n 1 1 (1 ? n ?1 ) 1 1 3 n ? 1 5 2n ? 5 3 ? ? ? ? ? ? 1 2 4 4?3n 8 8? n 3 1? 3 15 2n ? 5 15 ?Tn ? ? ? 16 16? n ?1 16 3

a 22. (12 分)解: (Ⅰ) g ( x) ? x 2 ? af ( x) ? x 2 ? a ln x , g ?( x) ? 2 x ? , g ?(1) ? 2 ? a ? 0 ,∴ a ? 2 . x ··········· ··········· ·········· ··········· ····· 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ···· 2 ·········· ··········· ··········· ·········· ·····

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?0得 x x x ········ 4 ········ 0 ? x ? 1.∴函数 h( x) 单调递增区间是 (1, ??) ;单调递减区间是 (0,1) .········· 分

而 h( x) ? x ? 2 x , h?( x) ? 1 ?

1

,令 h?( x) ? 1 ?

1

? 0 得 x ? 1 ;令 h?( x) ? 1 ?

1

(Ⅱ)∵ 1 ? x ? e2 ,∴ 0 ? ln x ? 2 ,∴ 2 ? ln x ? 0 , 2 ? f ( x) 2( x ? 1) 欲证 x ? ,只需要证明 x[2 ? f ( x)] ? 2 ? f ( x) ,即证明 f ( x) ? , ··6 分 ·· · 2 ? f ( x) x ?1
( x ? 1)2 2( x ? 1) 2( x ? 1) ,∴ k ?( x) ? , ? ln x ? x( x ? 1)2 x ?1 x ?1 当 x ? 1 时, k ?( x) ? 0 ,∴ k ( x) 在 (1, ??) 上是增函数, 2( x ? 1) ∴ k ( x) ? k (1) ? 0 ,∴ k ( x) ? 0 ,即 ln x ? ?0, x ?1 2( x ? 1) ∴ ln x ? ,故结论成立. x ?1

记 k ( x) ? f ( x) ?


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