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高三数学复习专题 平面向量


高三数学复习专题 平面向量
一、考点透视
本章考试内容及要求: 平面向量的有关概念 B级 平面向量的线性运算(即平面向量的加法与减法,实数与平面向量的积) C级 平面向量的数量积 C级 (老教材为 D 级) 向量的坐标表示 C级 向量运算的坐标表示 C级 平行向量及垂直向量的坐标关系 C级 向量的度量计算 C级 注: B 水平:对所学数学知识有理性的认识,能用自已的语言进行叙述和解释,并能据此进行判断; 知道它们的由来及其与其他知识之间的联系;知道它们的用途。对所学技能会进行独立的尝试性 操作。 C 水平:对所学数学知识有实质性的认识并能与已有知识建立联系,掌握其内容与形式的变化; 有关技能已经形成,能用它们来解决简单的有关问题。

二、复习要求
1.理解向量、向量的模、相等向量、负向量、零向量、单位向量、平行向量等概念; 2.掌握向量的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式; 3.掌握向量的加法、减法及实数与向量的乘积、数量积等运算的向量表示形式、几何表示形式和 坐标表示形式; 4.能应用向量的数量积的有关知识求向量的模及两个向量的夹角,并能解决某些与垂直、平行有 关简单几何问题。 概括地说,即理解向量有关概念,掌握向量基本形式(3 种)及基本运算(4 种) ,关注向量简单 应用。

三、复习建议
向量是近代数学中的一个重要概念,它是沟通代数、几何与三角的一种工具。向量在数学和 物理学中应用很广,在解析几何里应用更为直接,用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平 面的各种问题。从数学发展史来看,在历史上很长一段时间,空间的向量结构并未被数学家所认 识。直到 19 世纪末 20 世纪初,人们才把空间的性质与向量运算联系起来,使向量成为具有一套 优良运算通性的数学体系。 向量是高中数学的必修内容,也是研究其它数学问题的重要工具,利用向量知识去研究几何 问题中的垂直、平行关系,计算角度和距离问题将变得简单易行,其特点兼有几何的直观性、表 述的简洁性和方法的一般性,因而它也是高考必考内容。每年的平面向量的高考,除了以小题形 式考查一些简单的概念之外,还常与解析几何、三角等内容结合以解答题形式进行综合考查,试 题的难度一般在中、低档题水平,复习时应重视向量基本知识的掌握和运用,难度不要拔高。
1

四、知识要点
1.平面向量的有关概念 (1)平面向量:我们把平面上既有大小又有方向的量叫做平面向量(以下涉及的―向量‖,如不作 特别说明就指平面向量)。用带有箭头的线段 AB 表示向量。以 A 为始点,B 为终点的向量,记作

AB ,也可用加黑的小写字母 a 表示。向量 AB 的大小,也就是 AB 的模 (或称长度),记作 AB 。
(2)零向量:模为零的向量叫做零向量,记作 0,它的方向是不确定的。 (3)单位向量:模等于 1 个单位长度的向量,叫做单位向量。向量 a 的单位向量是指与向量 a 方向相同且长度等于 1 个单位长度的向量,记作 a 0 , a0 ?

a a



(4)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 (5)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,若向量 a、b、c 平行,记作 a∥ c。 b∥ 规定 0 与任一向量平行。平行向量也叫做共线向量。 (6)负向量:与向量 a 长度相等,方向相反的向量,叫做 a 的负向量。 2.向量的运算 (1)向量的加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法。 ① 加法法则 三角形法则(见图 6—1); a+b b 平行四边形法则(见图 6—2)。 b a+b a 图 6—1 a 图 6—2 ② 运算性质:a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) a+0=0+a=a ③ 坐标运算: 设 a=(x1,y1) ,b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2) 。 (2)向量的减法 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 ① 减法法则 三角形法则(见图 6—3) ② 坐标运算: a=(x1,y1) ,b=(x2,y2),则 a-b=(x1—x2,y1—y2) 。 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2), , 则 AB =(x1—x2,y1—y2) 。 (3)实数与向量的积
2

a-b

a

b 图 6—3

① 定义:一般地,实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λa,它的长度与方向规定如下:当其中

? ? 0 ,λa 与 a 同向,|λa|=| ? ||a|; 当 ? <0 时,λa 与 a 反向,|λa|=| ? ||a|;
当 λ=0 时,λa=0。 ② 运算律:

? (? a)=( ?? )a,
( ? ? ? )a= ? a+ ? a,

? (a+b)= ? a+ ? b。
③ 坐标运算: 设 a=(x,y) ,则 ? a= ? (x,y)=( ? x, ? y) 。 (4)平面向量的数量积 ① 定义:a· b=|a||b|coa ? , ? 0,b ? 0,0 ? ? ? 180 ) 。规定:零向量与任一向量的数量积为 0, (a
0 0

即 0· a=0。 ① 重要性质 设 a,b 都是非零向量,e 是与 b 方向相同的单位向量,θ 是 a 与 e 的夹角,则 (1) e· e=|a|cosθ。 a=a· (2) a⊥ ? a· b b=0。 (3) 当 a 与 b 同向时,a· b=|a||b|;当 a 与 b 反向时,a· —|a||b|。特别地,a· 2 或|a|= a ×a 。 b= a=|a| (4) cos q =

a× b . a b

(5) |a· b|≤|a||b|。 ③ 运算律 a· a, ? a)· ( ? b)= ? (a· , b=b· ( b=a· b)(a+b)· c+b· c=a· c。 ④ 坐标运算: 设 a=(x1,y1) ,b=(x2,y2),则 a· 1x2+y1y2。 b=x 3.重要定理、公式 (1)两个非零向量 a,b 平行的充要条件 a∥ ? a= ? b。 b 设 a=(x1,y1) ,b=(x2,y2),则 x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 。 (2)两个向量垂直的充要条件 a⊥ ? a· b b=0 设 a=(x1,y1) ,b=(x2,y2),则 a⊥ ? x1x2+y1y2=0。 b (3)平面上两点间的距离公式 设表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2), 、

3

那么|a|=

(x1 - x2 ) + ( y1 - y2 )

2

2



(4)线段的定比分点公式 设 P(x,y) 1(x1,y1) 2(x2,y2),且 P P ? ? PP , ,P ,P 1 2

? ?x ? ? 则? ?y ? ? ?

x1 ? ?x 2 1? ? 。 y1 ? ?y 2 1? ?

中点坐标公式

x1 ? x 2 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?

五、例题解析
【例 1】判断下列命题是真命题还是假命题?
(1)若 a=b,则 a· c; c=b· (2)若 a· d 且 x=y,则(a· b=c· b)x=(c· d)y; 【分析】(1)真命题。 ∵ a=b,∴ |a|=|b|且 a 与 b 同向,∴ a,b 与 c 夹角相等,设夹角为 θ, 则 a· c=|a||c|cosθ=|b||c | cosθ= bc。 (2)真命题。 由 a· d∈ b=c· R,可设 a· d=k,∵ b=c· x=y,∴ kx=ky。 【例 2】有四个等式: (1)0· a=0, (2)0a=0, (3) 0 - AB ? BA , (4)|ab|=|a||b|,其中成立的个 数为 ( ) A 4个 B 3个 C 2个 D 1个 【分析】(1)0· 表示零向量与任意向量 a 的数量积,其结果是数 0 而不是零向量; a (2) 0a 表示实数 0 与向量 a 的乘积,其结果应为零向量,而不是数 0;
4

(3) 等式 0- AB ? BA 成立; (4)对 a· 数量积的定义式两边取绝对值,得|a· b b|=|a||b||cosθ|,只有 θ=0, ? 时,|a· b|=|a||b|才成立。 ∴ 应选 D。 【点评】例 1、例 2 考查向量的加法、减法、实数与向量的乘积及数量积这四种运算及有关概念。 【例 3】如图 6—4 所示,平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,P 为平面内任意一 点,求证: PA ? PB? PC ? PD ? 4PO。 【分析】注意到 O 是 AC、BD 的中点, AO 与 CO , D O A P 图 6—4 B C

BO 与 DO 互为负向量。
【证明】∵ 为平行四边形 ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点 O ∴O 为 AC 及 BD 的中点。

1 1 ∴PO ? (PA ? PC) , PO ? (PB ? PD) , 2 2 1 ∴2 PO ? ( PA ? PB ? PC ? PD ) 。 2
故 PA ? PB? PC ? PD ? 4PO。

【点评】本题考查向量加法、减法的几何意义(即几何形式) 。 【例 4】已知|a|=4,|b|=5, (1)当 a∥ (2)a⊥ (3)a 与 b 的夹角 θ=120°,求 a· b, b, b。 【分析】直接利用向量数量积的定义解题。 【解】(1)当 a∥ 时,若 a 与 b 同向,则 θ=00,从而 a· b b=|a||b|cos00=4× 5=20; 若 a 与 b 反向,则 θ=1800,从而 a· b=|a||b|cos1800=4× (-1)=-20; 5× (2)当 a⊥ 时,θ=900,a· b b=|a||b|cos900=0; (3)当 a 与 b 的夹角 θ=120°时,则 a· b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×( ?

1 )= -10。 2

【点评】本题考查平行向量、垂直向量、向量夹角及向量数量积等有关概念和知识。

【例 5】三角形 ABC 的三边长均为 1,且 BC =a, AB =c, CA =b,求 a· c+c· 的值。 b+b· a

5

【分析】由已知条件可知:a、b、c 两两夹角均为

2? 。 3
2? 。 3

C

【解】如图 6—5,由题意:|a|=|b|=|c|=1,且 a、b、c 两两夹角均为 ∴ b=|a||b| cos a·

2? 1 =? 。 3 2

b

a

A

B c 图 6—5

1 3 同理:b· a= ? ,故 a· b· a= ? 。 c=c· b+ c+c· 2 2
【点评】本题考查向量夹角、向量数量积知识。 【例 6】求证:直径所对的圆周角是直角。 如图 6—6, 已知 AC 为⊙ 的一条直径,∠ O ABC 是圆周角。 A 求证:∠ ABC=900。

B

O

C

【分析】要证∠ ABC=900,即要证明 AB ⊥BC ,即证明 AB · =0,可 BC 用平面向量的数量积知识证明。 【证明】设 AO ? a , OB ? b ,则 OC ? a ,

图 6—6

∵ AB ? a ? b , BC ? a ? b ,而| a |=| b |,

∴ AB · =( a + b )· a - b )=| a |2-| b |2=0, ( BC

故 AB ⊥BC ,即∠ ABC=900。 【点评】本题考查向量数量知识在平面图形中的应用。 【例 7】已知 A(1,2) ,B(3,1) ,C(-1,0) 。 (1)求向量 AB 的坐标,并求它的模; (2)取点 D,使 CD ? AB ,求点 D 的坐标;
6

(3)设向量 AB 与 AC 的夹角为 θ,求 cosθ 的值; (4)求平行四边形 ABCD 的面积。 【解】 (1) AB =(3-1,1-2)=(2,-1) AB |= 5 ; ,| (2)设 D(x,y) ,则 CD ? (x+1,y)= AB =(2,-1), ∴x=1,y=-1,∴D(1,-1) 。 (3) AC =(-2,-2) AC |= 2 2 , ,|

AB · =| AB || AC |cosθ= 2 10 cosθ, AC
∵ AB · =2× (-2)+( -1) × (-2)= -2,∴ cosθ= ? AC

10 。 10
2

(4)SABCD=2S△ABC=| AB || AC |sinθ=| AB || AC | 1? cos

? =6。

【点评】 (1)本题考查向量的坐标形式的加、减法运算公式和向量模的公式; (2)本题考查向量的坐标形式相等概念; (3)本题考查向量的夹角公式; (4)本题考查三角形面积公式。 【例 8】已知|a|=2,|b|=5,ab=-3,求|a+b|和|a-b|。 【分析】先计算|a+b|2 和|a-b|2,利用|a ? b|2=(a ? b)2 就非常方便。 图 6—14 【解】∵ |a+b|2=(a+b)2=a2+2a· 2=|a|2+2ab+|b|2=4-6+5=3,∴ b+b |a+b|= 3 。 ∵ |a-b|2=(a-b)2=a2-2a· 2=|a|2-2a· 2=4+6+5=15,∴ b+b b+|b| |a-b|= 15 。 【点评】本题考查向量数量积的运算律。 【例 9】已知|a|=5,|b|=4,且 a 与 b 的夹角为 600,问当且仅当 k 为何值时,向量 ka-b 与 a+2b 垂 直? 【分析】利用两个向量垂直的充要条件来证。 图 6—14 【证明】∵ (ka-b)⊥ (a+2b)∴ (ka-b)(a+2b)=0,即 ka2+(2k-1)a· · b-2b2=0。 ∴ 52+(2k-1) × 4× k× 5× cos600-2× 2=0。∴ 4 k=

14 。 15

【点评】本题考查向量数量积的运算公式和运算律。 【例 10】已知 e1 与 e2 是夹角为 600 的单位向量,且 a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,求 a· 及 a 与 b 的夹 b 角 α。 【分析】 由于 e1 与 e2 都是单位向量, 且其夹角已知, 故可求得 e1 与 e2 的数量积, 进而可以求得 a· b,
7

再利用模的公式求|a|与|b|,代入夹角余弦公式,可求 a 与 b 的夹角 α。 【解】∵ 1 与 e2 都是单位向量,且其夹角为 600, e ∴ 1·2=|e1||e2|cos600=1× e e 1× =

1 2

1 。 2

∴ b=(2e1+e2)( -3e1+2e2)= -6e12+ e1·2+2e22 a· e =-6|e1|2+ e1·2+2|e2|2=-6+ e

1 1 +2= ? 3 。 2 2

而|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4 e1·2+e22 e =4|e1|2+4 e1·2+|e2|2=4+4× +1=7。 e |b|2=b2=( -3e1+2e2)2=9e12-12e1·2+4e22 e 2 2 =9|e1| -12 e1·2+4|e2| =9-6+4=7, e

1 2

∴ |a|= 7 ,|b|= 7 ,于是, cos? ?

a?b | a || b |

?

?3

1 2

7? 7

??

1 1 。∴ b= ? 3 , a· 2 2

α=1200。

【点评】本题考查向量数量积的运算律、运算公式和夹角公式。 【例 11】已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时, (1)ka+b 与 a-3b 垂直? (2)ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们是同向还是反向? 【分析】由已知启发我们先用坐标表示向量 ka+b 与 a-3b,然后用两个向量平行和垂直的充要条 件解答。 【解】 (1)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4). 当(ka+b)· (a-3b)=0 时,这两个向量垂直. 由(k-3)· 10+(2k+2)· (-4)=0, 解得 k=19,即当 k=19 时,ka+b 与 a-3b 垂直. (2)当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数 λ,使 ka+b=λ(a-3b).

8

由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),得 ?

?k ? 3 ? 10? , 。 ?2k ? 2 ? ?4?.
1 1 1

这是一个以 k、 为未知数的二元一次方程组. λ 解这个方程组得 k ? ? , ? ? ? , 即当 k = - 时, 3 图 6—14 3 3 向量 ka+b 与 a-3b 平行,这时 ka+b= - a-b。因为 ? ? ?

1 3

1 1 <0,所以向量 - a+b 与 a-3b 反向。 3 3

【点评】本题考查向量平行、垂直、向量数量积的坐标公式和运算。 【注意】本例也可以根据两个向量平行的充要条件的坐标公式,从(k-3)× (-4)-10× (2k+2)=0,先解 出 k = - ,然后再求 λ。 【例 12】如图 6—7,在以原点 O 和 A(5,2)为两个顶点的等腰直角三角形 OAB 中,∠ B=900, 求点 B 和 AB 的坐标。 【分析】 关键是求出点 B 的坐标, 可用直接法。 B y)由 OB ⊥ AB 设 (x, , 且 | OB |?| AB | ,可列出 x,y 的方程组,解方程组可求出 x,y,再求 y B A x O 图 6—7

1 3

AB 的坐标。
【解】设 B(x,y) ,则 OB =(x,y) AB =(x-5,y-2) , ∵OB ⊥ AB ,所以,x(x-5)+y(y-2)=0, 即 x2+y2-5x-2y=0。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。(1)

又 | OB |?| AB | ,得 x2+y2=(x-5)2+(y-2)2 即 10x+4y=29。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(2) 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

7 ? ? x1 ? 2 ? 联立方程组(1) ,解之得 ? (2) ?y ? ? 3 ? 1 2 ?
所以,B 点坐标为(

3 ? ? x1 ? 2 ? 或? 。 ?y ? 7 ? 1 2 ?

7 3 3 7 3 7 7 3 ,? ) 或( , ) ,即 AB ? (? , ) 或 AB ? (? , ) 。 2 2 2 2 2 2 2 2

【点评】本题考查向量垂直、向量相等、向量数量积的坐标公式和运算。
9

【例 13】已知 a= ( 3,?1) ,b= ( ,

1 3 ) ,且存在实数 k 和 t,使得 x=a+(t2-3)b, 2 2

y=-ka+tb,且 x⊥ y,试求

k ? t2 的最小值。 t

【分析】本题主要考查向量的坐标运算及向量垂直的条件。解题时要注意观察,挖掘题中隐含条 件,根据向量垂直的充要条件得出 k 与 t 之间的关系,转化成二次函数的最小值问题求解。 【解】由题意得:|a|= ( 3 ) ? (?1) ? 2 ,| b |= ( ) 2 ? (
2 2

1 2

3 2 ) ? 1, 2

a· 3 ? b=

1 3 b。 ? 1? ? 0 ,故有 a⊥ 2 2

由 x⊥ 得:[a+(t2-3)b]· y [-ka+tb]=0,即 -ka2+(t3-3t)b2+(t-t2k+3k)ab=0,

t 3 ? 3t ∴ -k|a| +(t -3t)|b| =0 ,将|a|=2,| b |=1 代入得: k ? 。 4
2 3 2

图 6—14



k ? t2 1 2 k ? t2 1 7 7 2 = (t ? 4t ? 3) ? (t ? 2) ? ,即当 t=-2 时, 有最小值为 ? 。 4 4 4 4 t t

【点评】熟练掌握向量的基本概念和运算法则是解答好各类向量综合问题的前提和基础,要善于 识别各种条件形式下的向量问题。 【变题】已知非零向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),其中 α,β∈[0,2p ) ,且 a,b 满足关系式: |ka+b|= 3 |a—kb|(k∈ R)。

10

【例 14】已知 c=ma+nb=( ? 2 3,2) ,a 与 c 垂直,b 与 c 的夹角为 1200,且 b· c=-4,|a|= 2 2 , 求实数 m,n 的值及 a 与 b 的夹角。 【分析】本题考查向量数量积的坐标运算和综合运用向量知识的能力。 【解】∵c=ma+nb=( ? 2 3,2) ,∴ c |=4。 |
11

由 bc=-4=|b||c|cos1200=-2| b|,得:| b|=2。 ∵ c=ma+nb ,∴ c· c=ma· c+nb· c, ∵ a 与 c 垂直,∴a· c=0,又 b· c=-4,c· c|2=16,∴ n=-4。 c=| 由 c=ma+nb 得:c· a=ma· a+nb· a,即 0=8m-4b· a。∴ 2m= b· a。 ∴ c· ma· b= b+nb· b,即 -4= m b· a-16。 ∴m b· a=12。解得:m= ? 6 ,b· ? 2 6 。 a= 由 ? 2 6 = b· a=|b||a|cosθ= 4 2 cosθ,得:cosθ= ? ∴ n=-4 ,m= ? 6 , θ=300 或 1500。 【点评】在 c=ma+nb 两边―点乘‖同一个向量,构造应用已知条件的形式,这是一种解题技巧。 【例 15】在风速为 75( 6 ? 2 ) km/h 的西风中,飞机以 150km/h 的航速向西北方向飞行,求没 有风时飞机的航速和方向。 【分析】设 W=风速,Va=有风时飞机的航行速度, Vb=无风时飞机的航行速度,则 Vb =Va--W 【解】如图 6—9,因为 Vb =Va—W,所以 Vb、Va、W 构成了 一个三角形,设| AB |? |Va|,| BC | =| W |,| CA |? | Vb |。 作 AD∥ BC,CD⊥ 于 D,BE⊥ 于 E,则∠ AD AD BAD=45 。 则| AB |? 150,| BC | = 75( 6 ? 2 ) ,则 |CD|=|BE|=|EA|=|BC|= 75 2 ,|DA|= 75 6 , 图 6—14
0

3 ,∴ θ=300 或 1500。 图 6—14 2

C

w vb

B va

D

E 图 6—9

A

从而|AC|= 150 2 ,∠ CAD=300。所以,Vb= 150 2 km/h,方向为西偏北 300 方向。 【点评】本题是向量的一个应用问题,数形结合是处理这类问题的常用方法。

【例 16】求证:以原点为始点的三个向量 a, b, c 的终点 A、B、C 在同一条直线上的充要条件是 ( 。 c ? ? a ? ? b , ? , ? ? R,? ? ? ? 1 ) 【分析】由于 A、B、C 三点中任意两点构成的向量一定可以用 a, b, c 来表示,利用两个向量平行 的充要条件适当变形就可以证明结论。 【证明】 (1)必要性:若 A、B、C 在同一直线上,则存在实数 ? ,使得 AC ? ? AB ,
12

所以, OC ? OA ? ?(OB ? OA) ,即 c ? a ? ? (b ? a ) 。 整理得: c ? (1 ? ? )a ? ?b 。令 1 ? ? = ? ,由 α+β=1,有 λ=β。 则 c ? ?a ? ?b。 (2)充分性: 若 c ? ? a ? ? b , ? , ? ? R,? ? ? ? 1 ) ( 则 c ? (1 ? ? )a ? ?b ,所以: c ? a ? ? (b ? a) , 即: OC ? OA ? ? (OB ? OA) ,所以 AC ? ? AB ,故 A、B、C 在同一直线上。 【点评】本题考查运用向量知识论证问题的能力,有一定的运算要求。本题也是平面上三点共线 的一个常用结论。 【例 17】如图 6—11,在△ABC 中,D、E、F 分别是边 BC,CA, A F

BD CE AF ? ? AB 上的点,且使 ,求证:△ABC 和△DEF 的 DC EA FB
重心相同。 【分析】要证明△ABC 和△DEF 的重心相同,一种方法是利用向 量相等,另一种方法是证明两个重心的坐标相同。 【证法一】设△ABC 的重心为 G,△DEF 的重心为 G ? ,且设 B

E

BD CE AF ? ? =λ, ? ? R, ? ? 0) , 则对于平面内任意一点 O, ( DC EA FB 1 有: OG ? (OA ? OB ? OC ) , 3 1 BD CE AF OG ? ? (OD ? OE ? OF ) ,因为 ? ? =λ, 3 DC EA FB
所以, OD ?

D 图 6—11

C

OB ? ? OC OC ? ? OA OA ? ? OB , OE ? , OF ? 1? ? 1? ? 1? ? (OB ? OC ? OA) ? ? (OC ? OA ? OB) 1? ?

即: OD ? OE ? OF ?

=

(1 ? ? )(OA ? OB ? OC) 。 1? ?

所以, OD ? OE ? OF ? OA ? OB ? OC ,所以,G 与 G ? 重合。
13

【证法二】设△ABC 三点的坐标分别为 A(a1,a2) ,B(b1,b2) ,C(c1,c2) ,其重心 G 的坐标 为(g1,g2) 。设△DEF 三点的坐标分别为 D(d1,d2) ,E(e1,e2) ,F(f1,f2) ,其重心 G ? 的坐 / / 标为(g 1,g 2) 。

1 1 (a1 ? b1 ? c1 ) , g 2 ? (a 2 ? b2 ? c 2 ) 3 3 1 1 ? ? g1 ? (d1 ? e1 ? f1 ) , g 2 ? (d 2 ? e2 ? f 2 ) , 3 3 BD CE AF ? ? 因为 =λ,所以, BD ? ? DC , CE ? ? EA , AF ? ? FB DC EA FB
则 g1 ? 所以, d1 ?

b1 ? ?c1 b ? ?c 2 c ? ?a1 c ? ?a 2 , d2 ? 2 , e1 ? 1 , e2 ? 2 , 1? ? 1? ? 1? ? 1? ?

f1 ?

a ? ?b2 a1 ? ?b1 , f2 ? 。 1? ? 1? ?

d1 ? e1 ? f1 ?

(b1 ? c1 ? a1 ) ? ? (c1 ? a1 ? b1 ) = a1 ? b1 ? c1 。 1? ?

同理, d 2 ? e2 ? f 2 ? a2 ? b2 ? c2

? 所以, g1 ?

故 G 与 G ? 重合。 【点评】本题考查综合运用向量知识解决问题的能力,有一定的运算要求。 【例 18】

1 1 ? (a1 ? b1 ? c1 ) , g 2 ? (a 2 ? b2 ? c 2 ) , 3 3

14

【点评】本题是平面向量的概念和运算问题,最终体现三角函数的恒等变换及其图像变换的基本 技能,有一定的运算要求。 【例 19】

图 6—12

图 6—13

15

图 6—14

【点评】本题考查向量的概念、向量的形式、向量的运算及综合运用向量知识解决问题的能力, 有一定的运算要求。 【例 20】已知点 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动

图 6—15

16

六、跟踪练习
一、选择题 1.下列说法:① 零向量是没有方向的向量;② 零向量的方向是任意的;③ 零向量与任一向量 平行;④ 零向量只能与零向量平行。 其中正确的有 A.1 B.2 C.3 ( C )个。 ⑤ 加速度 C.2 ⑥ 路程 D.3 ( B )个。 D.以上都不对

2.下列物理量中,不是向量的有 ① 质量 A.0 ② 速度 ③ 位移 B.1 ④ 力

3.已知正方形 ABCD 的边长为 1, AB = a, BC = b, AC = c,则| a+b+c|等于 A.0 B.3 C.2 D.2 2

??? ?

??? ?

??? ?

( D )

4.a=-b 是|a| = |b|的 A.充分非必要条件 C.充要条件 5.若 AB ? BC+AB =0 ,则 ΔABC 为 A.直角三角形 B.钝角三角形 B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件 ( A )

( A )

??? ??? ??? 2 ? ? ?

C.锐角三角形

D.等腰直角三角形

6.已知平面内三个点 A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),且 AB ∥ BC ,则 x 的值是( B )
A。5 B。1 C。-1 D。-5

7.点 A(2,0),B(4,2),若| AB |=2| AC |, 则 C 点的坐标为 A.(-1,1) B.(-1,1)或(5,-1) C.(-1,1)或(1,3)

??? ?

??? ?

( D ) D.无数多个

8.已知矩形 ABCD,PA⊥ 平面 ABCD,连结 AC、BD、PB、PC、PD,则下列各组向量中,数量 积不恒为零的是( A ) → → A. PC 与 BD → → B. DA 与 PB
17

→ → C. PD 与 AB

→ → D. PA 与 CD

9.如图,在平面四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是 A. AB ? DC C. AB ? AD ? BD B. AD ? AB ? AC D. AD ? CB ? 0

(

C

)

10.G 为△ABC 内一点,且满足 AG ? BG ? CG ? 0 ,则 G 为△ABC 的( D ) A. 外心 B. 内心 C. 垂心 D. 重心

?

?

?

?

11.等边△ABC 的边长为 1, AB =a, BC =b, CA =c,那么 a· b· a· b+ c+ c=(

D )

A.0

B.1

C. ?

1 2

D. ?

3 2

12.若|a|=|b|=|a-b|,则 b 与 a+b 的夹角为
A.30° B.60°



A )
D.120° ( C ) D. 65 ( C ) D.-3 或 1

C.150°

13.已知 a=(2,3) ,b=(-4,7) ,则 a 在 b 上的投影值为 A. 13 B.

13 5

C.

65 5

14.已知 a=(2,1) , b =(3,x), 若(2a-b)⊥ b,则 x 的值为 A.3 B.-1 C.-1 或 3

15. 设 e1 和 e2 是互相垂直的单位向量,且 a ? 3e1 ? 2e2 , b ? ?3e1 ? 4e2 ,则 a ? b 等 ( C ) A. 1 B. 2 C. –1 D. –2

?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

16.若向量 a ? ?11? b ? ?1 ? 1? c ? ?? 2, ,则 c =( B ) , , , , 4?

A. ? a ? 3b

B. a ? 3b

C. 3a ? b

D. ? 3a ? b

17.已知向量 OB ? 2,0 , OC ? 2,2 , CA ? 的范围是( C ) A. ?0,

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? 2 cos?, 2 sin ? ,则 OA 与 OB 夹角

?

? ?

??
4? ?

B. ? , 12 ? ?4 ?
18

??

5? ?

C. ? , ?12 12 ? ?

??

5? ?

D. ? , ? 2? ? 12

? 5?

??
15 , AB =3, AC =5,则 ?BAC ? ( 4
D.30 或 150
? ?

18.在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 0 , SD ABC = A.30
?

C

)

B.60

?

C.150

?

19.已知 a 、 b 均为非零向量,有下列四个命题: (1)― a ? b ? a ? b ‖是― a ? b ‖的充要条件; (2)― a ? b ‖是― a ? b ‖的必要且不充分条件; (3)― a // b ‖是― a与b 同向‖的充分且不必要条件; (4)― a // b ‖是―
2 2

a a

?

b b

‖的既不充分也不必要条件。

其中正确的命题是 ( A ) A. (1)和(2) B.(1)和(3) C.(2)和(4) D.(3)和(4) 20.在平面上,已知点 A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0).给出下面的结论: ① AB ? CA ? BC ②OA ? OC ? OB 其中正确结论的个数是 .. A.1 个 二、填空题 B.2 个 ③AC ? OB ? 2OA ( B C.3 个 D.0 个 )

21. 若 a=―向东走 8 公里‖,b=―向北走 8 公里‖,则| a+ b|=___,a+b 的方向是_ 21. 8 2 千米、东偏北 45° 22.|a|=5, |b|=3,|a-b|=7,则 a、b 的夹角为__________。 22.120° 23.已知 a=(2,-1), b=(λ,3)。 (1)若 a 与 b 的夹角为锐角,则 λ 的取值范围是________; (2)若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是_________; (3)若 a⊥ b,则 λ 的取值范围是_________; (4)若 a∥ b,则 λ 的取值范围是_________。
19

____。

3 23. (1) ? ? 3 (2) ? ? ,且 ? ? ?6 2 2

(3) ? ? 3
2

(4) ? ? ?6

24. 若平面向量 b 与向量 a ? (1, ? 2) 的夹角是 180 ? ,且 | b |? 3 5 ,则 b ? ______________。 24. (?3, 6) 25.如果向量 a 与 b 的夹角为 θ,那么我们称 a× 为向量 a 与 b 的―向量积‖,a× 是一个向量,它 b b 的长度为|a× b|=|a||b|sinθ,如果|a|=3,|b|=2,a· b=-2,则 a× b=_________。 25. 4 2 26. 已知点 A(1, -2), 若向量 AB 与 a ={2, 3}同向,AB =2 13 , 则点 B 的坐标为 (04 上海理) 26.B(5,4) 。

? ? ? 27. 若向量 a、b 的夹角为 150? , a ? 3 ,
27.2

? ? ? b ? 4 ,则 2a ? b ?

。 (06 上海春)

28.直角坐标平面 xoy 中,若定点 A(1,2) 与动点 P( x, y) 满足 OP ? OA ? 4 ,则点 P 的轨迹方程 是__________。 (05 上海理) 28.x+2y-4=0 三、解答题 29. 在直角坐标系 xOy 中,已知点 P( 2 cos x ? 1 , 2 cos 2 x ? 2 ) 和点 Q( cos x , ? 1 ) ,其中

x ?[ 0 , ? ] 。 若向量 OP 与 OQ 垂直,求 x 的值。 (04 上海春季)
29.解:由若向量 OP 与 OQ 垂直,得 OP ? OQ ? ?2 cos x ? 1?? cos x ? ?2 cos2x ? 2?? ?? 1? ? 0 ,

? 2 cos 2 x ? cos x ? 0, cos x ? 0或 cos x ?
30.已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= 21 ,求: (1) a· b

1 ? ? , 又x ? ?0, ? ?? x ? 或x ? 。 2 2 3

(2) (2a-b)· (a+3b)

2 2 2 30.解: (1)|a+b|2=(a+b)2=a2+2a· 2=|a|2+2a· 2,? a ? b ? | a + b | ? | a | ? | b | b+b b+|b| 2

= 21 ? 16 ? 25 ? ?10 。 2 (2) (2a-b)· (a+3b)=2a2+5a· b-3b2=2|a|2+5a· b-3|b|2=2× 2+5× 4 (-10)-3× 2=-93。 5 31.已知向量 a= (4,3), b=(-1,2),

20

① a、b 的夹角; 求

② 若向量 a-λb 与 2a+b 垂直,求 λ 的值。

31.解:①a ? b ? 4 ? (?1) ? 3 ? 2 ? 2,| a |? 42 ? 32 ? 5,| b |? (?1) 2 ? 2 2 ? 5 ,

? cos ? ?

a?b 2 5 2 5 ? ,?? ? arccos . | a | ? | b | 25 25

? ② a ? ? b 与 2a+b 垂直,? (a ? ?b) ? (2a ? b) ? 0 ,又? 2a ? b ? (4 ? ? ,3 ? 2? ), 2a ? b ? (7,8) ,
? (4 ? ? ) ? 7 ? (3 ? 2? ) ? 8 ? 0 ,解得 ? ?

25 。 9

32.设向量 OA =(3,1) , OB =( -1,2),向量 OC ⊥OB ,

BC ∥OA ,又 OD + OA = OC

,求

OD 。
32.解:∵ BC ∥ OA ,∴ BC =k OA (k ? 0, k ? R) ? BC ? (3k , k ) 。 又设 OC ? ( x, y) ? OC ? OB ? OC ? OB ? 0 ? ? x ? 2 y ? 0 ……① 又 BC ? OC ? OB ?

? x ? 1 ? 3k ? x ? 3k ? 1 ? x ? 14 代入① k=5,? ? 得 ( x ? 1, y ? 2) ,于是有 ? ?? ? OC ? (14,7) ?y ? 2 ? k ?y ? k ? 2 ?y ? 7

OD ? (11,6) 。
注:可以直接设 OD ? ( x, y) 求解。

33.已知 AB =a+b, AD =a-b,其中|a|=2,|b|=1,a 与 b 的夹角为 面积。 33.解:

? ,求平行四边形 ABCD 的 3

21

34.已知向量 a= (cosα, sinα),b= (cosβ, sinβ),a 与 b 之间具有关系|ka+b|= 3 |a-kb|, k>0。 (1)将数量积 a· 用 k 表示; b (2)试比较数量积 a· 与 b

1 的大小。 2
2 2

34.解:由|ka+b|= 3 |a-kb|,得|ka+b| =3|a-kb| ,即

35.设两向量 e1,e2,满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2 的夹角为 角为钝角,求实数 t 的取值范围。 35.

? ,若向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 的夹 3

22

36. 设平面内的向量 OA ? (1,7) , OB ? (5,1) , OM ? (2,1) ,点 P 是直线 OM 上的一个动点, 求当 PA? PB 取最小值时, OP 的坐标及 ?APB 的余弦值. 36.解: 设 OP ? ( x, y) . ∵ 点 P 在直线 OM 上, ∴ OP 与 OM 共线,而 OM ? (2,1) , ∴ x-2y=0 即 x=2y,有 OP ? (2 y, y) . ∵ PA ? OA ? OP ? (1 ? 2 y,7 ? y) , PB ? OB ? OP ? (5 ? 2 y,1 ? y) , ∴ PA? PB ? (1 ? 2 y)(5 ? 2 y) ? (7 ? y)(1 ? y) = 5y2-20y+12 = 5(y-2)2-8. 从而,当且仅当 y=2,x=4 时, PA? PB 取得最小值-8,此时 OP ? (4,2) , PA ? (?3,5) ,

PB ? (1,?1) .于是 | PA |? 34 , | PB |? 2 , PA? PB ? (?3) ?1 ? 5 ? (?1) ? ?8 ,
∴ cos ?APB ?

PA ? PB

34 ? 2 | PA | ? | PB | ? ? ? ? ? 1 37.已知向量 a ? (sin x, 2), b ? (2sin x, ) , c ? (cos 2 x,1), d ? (1, 2) ,又二次函数 f ( x ) 的开口 2 ? ? ? ? ? 向上,其对称轴为 x ? 1 ,当 x ? [0, ? ] 时,求使不等式 f (a ? b) ? f (c ? d ) 成立的 x 的范围。
37.依题意有,当 x≥1 时,f(x)是增函数。
2 ∵a ? b ? (sin x, 2) ? (2sin x, ) ? 2sin x ? 1 ? 1,

?

?8

??

4 17 . 17

? ?

1 2

? ? ? c ? d ? (cos 2x,1) ? (1, 2) ? cos 2x ? 2 ? 1 ,

23

∴ f (a ? b) ? f (c ? d ) ? f (2sin 2 x ? 1) ? f (cos 2x ? 1) ∵ ? 2sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 ? cos 2 x ? 0 。 0≤x≤π 即为所求 。

? ?

? ? ?

?
4

?x?

3? 4

38.如图,已知三角形 PAQ 顶点 P(-3,0) ,点 A 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴正半轴上,

PA? AQ ? 0, QM ? 2 AQ.
(1)当点 A 在 y 轴上移动时,求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2)设直线 l : y ? k ( x ? 1) 与轨迹 E 交于 B、C 两点,点 D(1,0) ,若∠ BDC 为钝角,求 k 的 取值范围。

38.解(1) 设OM ? ( x, y),OA ? (0, a)(a ? 0),OQ ? (b,0)(b ? 0) ,
则PA ? (3, a), AQ ? (b,?a),又PA? AQ ? 0,? a 2 ? 3b ①

又 ? QM ? ( x ? b, y), AQ ? (b,?a), QM ? 2 AQ

? x ? 3b ② ?? ? y ? ?2a

由① ? y ? 4x( x ? 0) 。 ②
2

(2) 设OB ? ( x1, y1 ), OC ? ( x2 , y2 ), DB ? ( x1 ? 1, y1 ), DC ? ( x2 ? 1, y2 ) ,
DB ? DC ?| DB | ? | DC | ? cos ?BDC ,? ?BDC 为钝角,? cos ?BDC ? DB ? DC | DB ? | ? | DC | ? 0,? DB ? DC ? 0 ,

, ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? y1 y2 ? 0 ……③
? y 2 ? 4x 4 ? 2k 2 ……④ , 由? 消去y得k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0(k ? 0) , 则x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 1 k2 y ? k ( x ? 1) ?

y1y2=k(x1+1)· 2+1)=k2[x1x2+(x1+x2)+1]……⑤ k(x , ④ 代入③ k 2 ? 1 ? ? 2 ? k ? 2 , 此时? ? 0 , ? k ? 0,? k的范围是(? 2 ,0) ? (0, 2 ) 。 ⑤ 得
2 2 2
2 2

24


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