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安徽省淮南二中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷


安徽省淮南二中 2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分) 1.﹣401 是等差数列﹣5,﹣9,﹣13…的第()项. A.98 B.99 C.100

D.101

2.已知等比数列{an}公比 q>1,若 a5﹣a1=15,a4﹣a2=6,则 a3=() A.﹣16 B.﹣4 C. 4 D.﹣4 或 4

3.已知

=



=



=

,则() B. A、B、C 三点共线 D.A、C、D 三点共线

A.A、B、D 三点共线 C. B、C、D 三点共线

4.已知△ ABC 的角 A、B、C 所对边的边为 a,b,c,acosA=bcosB,则该三角形现状为() A.直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形 5.若 a,b,c 成等比数列,则函数 y=ax +bx+c 的零点个数为() A.0 B. 1 C. 2 D.以上都不对 6.首项为﹣4 的等差数列{an}从第 10 项起为正数,则公差 d 的取值范围为() A. B.
n 2

C.

D.

7.若数列{an}的通项公式是 an=(﹣1) (3n﹣2) ,则 a1+a2+…+a10=() A.15 B.12 C.﹣12 D.﹣15 8. 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c, 若 a 是 b, c 的等差中项, 3sinA=5sinB, 则角 C=() A.60° B.120° C.135° D.150°

9.设等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若 A. B. C. 2

,则

=()

D.

10.如图所示,平面内有三个向量 且 ,









夹角为 120°,



夹角为 150°,

,若

(λ,μ∈R) ,则 λ+μ=()

A.1

B.

C.﹣6

D.6

二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分) 11.等差数列{an}中,a3+a9=a5,则 S13=. 12.已知数列{an}中,a1=3,a2=6,an+2=an+1﹣an,则 a2015=.

13.若非零向量 ,

满足

,则 与 的夹角余弦值为.

14.设等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…+log3a10=. 15.设{an}为等比数列,下列命题正确的有(写出所有正确命题的序号) ①设 ,则 {bn}为等比数列;

②若 an>0,设 cn=lnan,则 {an}为等差数列; ③设{an}前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n 成等比数列; ④设{an}前 n 项积为 Tn,则 .

三、解答题(共计 40 分,请将解答过程写在答题卷的相应位置) 16.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 , ,求数列{an}的通项公式.

17.在△ ABC 中,设内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 向量 =(cosA,sinA) ,向量 = ( ﹣sinA,cosA) ,若| + |=2. a,求△ ABC 的面积.

(1)求角 A 的大小; (2)若 b=4 ,且 c=

18.设数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1 (1)求{an}的通项公式; (2)记 bn=log2(an+1) ,求数列{bn?an}的前 n 项和为 Sn.

19.已知数列{an}各项均为正数,其前 n 项和为 Sn 满足 2Sn=(an+3) (an﹣2) (n∈N ) (1)求数列{an}的通项公式. (2)求数列{ }的前 n 项和 Tn.

*

安徽省淮南二中 2014-2015 学年高一下学期期中数学试 卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分) 1.﹣401 是等差数列﹣5,﹣9,﹣13…的第()项. A.98 B.99 C.100 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 等差数列﹣5,﹣9,﹣13…中,a1=﹣5,d=﹣9﹣(﹣5)=﹣4,由此求出 an=﹣4n ﹣1,令﹣401=﹣4n﹣1,得到﹣401 是这个数列的第 100 项. 解答: 解:等差数列﹣5,﹣9,﹣13…中,a1=﹣5,d=﹣9﹣(﹣5)=﹣4 ∴an=﹣5+(n﹣1)×(﹣4)=﹣4n﹣1 令﹣401=﹣4n﹣1,得 n=100 ∴﹣401 是这个数列的第 100 项. 故选:C. 点评: 本题考查等差数列的通项公式,是基础题.解题时要认真审题,注意熟练掌握基本 概念. 2.已知等比数列{an}公比 q>1,若 a5﹣a1=15,a4﹣a2=6,则 a3=() A.﹣16 B.﹣4 C. 4 D.﹣4 或 4 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据题意和等比数列的通项公式列出方程组,求出公比 q 和首项的值,再求出 a3 的值. 解答: 解:∵a5﹣a1=15,a4﹣a2=6,且公比 q>1, ∴ ,解得 ,

D.101

∴a3= 故选:C.

=4,

点评: 本题考查等比数列的通项公式,以及方程思想,属于基础题.

3.已知

=



=



=

,则() B. A、B、C 三点共线 D.A、C、D 三点共线

A.A、B、D 三点共线 C. B、C、D 三点共线

考点: 向量的共线定理;平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用三角形法则可求得 解答: 解: 又 又 = 与 ,所以 有公共点 B, =( ,则 与 ,由向量共线条件可得 )+3( 共线, 与 共线,从而可得结论.

)= +5 ,

所以 A、B、D 三点共线. 故选 A. 点评: 本题考查向量共线的条件, 属基础题, 熟记向量共线的充要条件是解决问题的关键. 4.已知△ ABC 的角 A、B、C 所对边的边为 a,b,c,acosA=bcosB,则该三角形现状为() A.直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: acosA=bcosB,利用正弦定理可得 sinAcosA=sinBcosB,利用倍角公式可得 sin2A=sin2B,可得 2A=2B 或 2A+2B=π,即可得出. 解答: 解:∵acosA=bcosB, 由正弦定理可得 sinAcosA=sinBcosB, ∴sin2A=sin2B, ∴2A=2B 或 2A+2B=π, 化为 A=B 或 A+B+ .

∴哎三角形为直角三角形或等腰三角形. 故选:D. 点评: 本题考查了正弦定理、倍角公式、正弦函数的单调性,属于基础题. 5.若 a,b,c 成等比数列,则函数 y=ax +bx+c 的零点个数为() A.0 B. 1 C. 2 D.以上都不对 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列.
2

分析: 根据等比中项的性质得 b =ac>0, 再判断出方程 ax +bx+c=0 的判别式△ =b ﹣4ac= ﹣3ac<0,即可得到结论. 解答: 解:因为 a,b,c 成等比数列,所以 b =ac>0, 2 2 则方程 ax +bx+c=0 的判别式△ =b ﹣4ac=﹣3ac<0, 所以此方程没有实数根, 2 即函数 y=ax +bx+c 的零点个数为 0 个, 故选:A. 点评: 本题考查等比中项的性质,函数的零点与方程的根的关系,注意判断式子的符号. 6.首项为﹣4 的等差数列{an}从第 10 项起为正数,则公差 d 的取值范围为() A. B. C. D.
2

2

2

2

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 ,解关于 d 的不等式组可得.

解答: 解:由题意可得



解不等式组可得 <d≤ , 故选:C. 点评: 本题考查等差数列的通项公式,属基础题. 7.若数列{an}的通项公式是 an=(﹣1) (3n﹣2) ,则 a1+a2+…+a10=() A.15 B.12 C.﹣12 D.﹣15 考点: 数列的求和. 专题: 计算题. 分析: 通过观察数列的通项公式可知,数列的每相邻的两项的和为常数,进而可求解. 解答: 解:依题意可知 a1+a2=3,a3+a4=3…a9+a10=3 ∴a1+a2+…+a10=5×3=15 故选 A. 点评: 本题主要考查了数列求和.对于摇摆数列,常用的方法就是隔项取值,找出规律. 8. 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b,c, 若 a 是 b, c 的等差中项, 3sinA=5sinB, 则角 C=() A.60° B.120° C.135° D.150° 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 3sinA=5sinB,根据正弦定理,可得 3a=5b,再利用余弦定理,即可求得 C
n

解答: 解:∵3sinA=5sinB,∴由正弦定理,可得 3a=5b, ∴a= b, ∵b+c=2a, ∴c= b,

∴由余弦定理可解得:cosC=

=﹣ ,

∵C∈(0,180°) , ∴C=120°. 故选:B. 点评: 本题考查正弦、余弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于基础题.

9.设等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若 A. B. C. 2

,则

=()

D.

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质和求和公式可得 = ,代入已知式子计算可得.

解答: 解:由题意和等差数列的性质和求和公式可得:

=

=

=

=

=

=

故选:B 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题.

10.如图所示,平面内有三个向量 且 ,









夹角为 120°,



夹角为 150°,

,若

(λ,μ∈R) ,则 λ+μ=()

A.1

B.

C.﹣6

D.6

考点: 专题: 分析: 解答:

平面向量的基本定理及其意义. 平面向量及应用. 建立直角坐标系,利用向量的坐标运算、向量基本定理即可得出. 解:如图所示,建立直角坐标系. ,C (λ,μ∈R) , =λ(1,0)+μ , .

A(1,0) ,B ∵ ∴



,解得 μ=﹣2,λ=﹣4.

∴λ+μ=﹣6. 故选:C.

点评: 本题考查了向量的坐标运算、向量基本定理,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题. 二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分) 11.等差数列{an}中,a3+a9=a5,则 S13=0. 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列的前 n 项和公式进行求解即可.

解答: 解:∵a3+a9=a5, ∴2a1+10d=a1+4d, 即 a1+6d=0,即 a7=0, 则 S13= = =13a7=0,

故答案为:0. 点评: 本题主要考查等差数列的求和的计算,根据等差数列的性质是解决本题的关键. 12.已知数列{an}中,a1=3,a2=6,an+2=an+1﹣an,则 a2015=﹣6. 考点: 数列递推式. 专题: 计算题;函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: 由 a1=3,a2=6,an+2=an+1﹣an 可判断数列{an}的周期为 6,从而求得. 解答: 解:∵a1=3,a2=6,an+2=an+1﹣an, ∴a3=a2﹣a1=6﹣3=3, a4=a3﹣a2=3﹣6=﹣3, a5=a4﹣a3=﹣3﹣3=﹣6, a6=a5﹣a4=﹣6﹣(﹣3)=﹣3, a7=a6﹣a5=﹣3﹣(﹣6)=3, a8=a7﹣a6=3﹣(﹣3)=6, ∴数列{an}的周期为 6,且 2015=335×6+5, ∴a2015=a5=﹣6; 故答案为:﹣6. 点评: 本题考查了数列的递推公式的应用及数列周期性的应用,属于中档题.

13.若非零向量 , 满足

,则 与 的夹角余弦值为



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 先设出其夹角,根据已知条件整理出关于夹角的等式,解方程即可 解答: 解:设向量 、 的夹角为 θ; 因为 ∴| | =9| | =( 即4 | |= ∴
2 2 2

, )= cosθ=0, , +| |? | |cosθ=0
2 2



cosθ=﹣ . 故答案为:﹣ . 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义以及计算能力, 属于基础题, 考察了基本的 数学知识的掌握. 14.设等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…+log3a10=10. 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 a4a7=a5a6,解之可得 a5a6,由对数的运算可得 5 log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log3(a5a6) ,代入计算可得. 解答: 解:由题意可得 a5a6+a4a7=2a5a6=18,解得 a5a6=9, ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10) 5 5 10 =log3(a5a6) =log39 =log33 =10 故答案为:10 点评: 本题考查等比数列的性质和通项公式,涉及对数的运算,属中档题. 15.设{an}为等比数列,下列命题正确的有①②④(写出所有正确命题的序号) ①设 ,则 {bn}为等比数列;

②若 an>0,设 cn=lnan,则 {an}为等差数列; ③设{an}前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n 成等比数列; ④设{an}前 n 项积为 Tn,则 .

考点: 等比数列的通项公式;等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等比数列的通项公式和求和公式,逐个选项验证即可. 解答: 解:①设等比数列{an}的公比为 q,
2 2





=

=(
2

) =q ,为常数

∴{bn}是公比为 q 的等比数列,正确; ②当 an>0,cn=lnan 时,cn+1﹣cn =lnan+1﹣lnan=ln =lnq,为常数

∴{an}是公差为 lnq 的等差数列,正确; ③举反例,an=﹣1,则 S2=0,显然不能成等比数列,错误; ④设{an}前 n 项积为 Tn,则 Tn=a1a2a3…an,

∴Tn =(a1a2a3…an) =[

2

2

] =(a1an) ,正确.

2

n

故答案为:①②④ 点评: 本题考查等比数列的通项公式和求和公式,属基础题. 三、解答题(共计 40 分,请将解答过程写在答题卷的相应位置) 16.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 , ,求数列{an}的通项公式.

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设等比数列{an}的公比为 q, (法一)对 q 进行分类同理,分别利用等比数列的通项公式、前 n 项和公式化简,求出 q 和首项的值,再求出 an; (法二)根据数列的前 n 项的定义和等比数列的通项公式化简,列出关于 q 的方程求出 q 的值,再求出 an. 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q, 法一:当 q=1 时,∵ ∴ ; , , ,

当 q≠1 时,∵









法二:∵



,且





,解得 q=1 或 q=



∴ 综上可得,

; ; .

点评: 本题考查等比数列的通项公式、 前 n 项和公式, 注意利用等比数列的前 n 项和公式 时需要对 q 进行分类讨论,考查化简、计算能力.

17.在△ ABC 中,设内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 向量 =(cosA,sinA) ,向量 = ( ﹣sinA,cosA) ,若| + |=2. a,求△ ABC 的面积.

(1)求角 A 的大小; (2)若 b=4 ,且 c=

考点: 余弦定理的应用. 专题: 综合题. 分析: (1)先根据向量模的运算表示出 式,再根据正弦函数的性质和| ,然后化简成 y=Asin(wx+ρ)+b 的形

|=2 可求出 A 的值.

(2)先根据余弦定理求出 a,c 的值,再由三角形面积公式可得到最后答案. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ∴ = = ∵ ∴ ∴ , =

又∵0<A<π∴ ∴ (Ⅱ)由余弦定理,

, 即 ∴ ∴c=8

点评: 本题主要考查向量的求模运算、 余弦定理和三角形面积公式的应用. 向量和三角函 数的综合题是 2015 届高考的热点问题,每年必考,要给予充分重视. 18.设数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1 (1)求{an}的通项公式; (2)记 bn=log2(an+1) ,求数列{bn?an}的前 n 项和为 Sn.

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)通过对 an+1=2an+1 变形可得(an+1+1)=2(an+1) ,进而可得{an+1}是以 2 为 公比、2 为首项的等比数列,计算即得结论; (2)通过 ,可得 bn?an=n?2 ﹣n,记 A=1×2 +2×2 +…+n?2 ,利用错位相减法计
n 1 2 n

算 A﹣2A 的值,进而计算可得结论. 解答: 解: (1)∵an+1=2an+1, ∴(an+1+1)=2(an+1) ∵a1+1=2≠0,∴an+1≠0, ∴ ,

∴{an+1}是以 2 为公比、2 为首项的等比数列, ∴ ∴ (2)∵ ∴ ∴ 记 A=1×2 +2×2 +…+n?2 , 2 n n+1 ∴2A=1×2 +…+(n﹣1)?2 +n?2 , ∴﹣A=A﹣2A 2 n n+1 =2+2 +…+2 ﹣n?2 =
n+1 1 2 n

, ; , , ,

﹣n?2

n+1

=(1﹣n)?2 ﹣2, n+1 ∴A=(n﹣1)?2 +2, 故 .

点评: 本题考查求数列的通项及求和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中 档题. 19.已知数列{an}各项均为正数,其前 n 项和为 Sn 满足 2Sn=(an+3) (an﹣2) (n∈N ) (1)求数列{an}的通项公式. (2)求数列{ }的前 n 项和 Tn.
*

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)2Sn=(an+3) (an﹣2) (n∈N ) ,即 2Sn=
﹣1

*

,利用递推式化为: (an+an

) (an﹣an﹣1﹣1)=0,由于 an>0,可得 an﹣an﹣1=1,利用等差数列的通项公式即可得出; =
*

(2)由(1)可得:

.利用“裂项求和”即可得出. ,

解答: 解: (1)∵2Sn=(an+3) (an﹣2) (n∈N ) ,即 2Sn= ∴当 n=1 时, 当 n≥2 时,2Sn﹣1= ∴2an= ﹣ ﹣6,a1>0,解得 a1=3. ﹣6, ﹣an﹣1,化为(an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣1)=0,

∵an>0,∴an﹣an﹣1=1,∴数列{an}是等差数列,首项为 3,公差为 1, ∴an=3+(n﹣1)=n+2, ∴an=n+2. (2)由(1)可得: ∴数列{ Tn= }的前 n 项和 +…+ = = = = .

. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.



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