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2016-2017学年人教版高中数学选修2-2 模块综合测评


模块综合测评
(时间 150 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若复数 z=a+i 的实部与虚部相等,则实数 a=( A.-1 C.-2 【解析】 【答案】 B.1 D.2 z=a+i 的虚部为 1,故 a=1,选 B. B 1 ,则 z · i 在复平面内对应的点位于( 1+i B.第二象限 D.第四象限 1-i 1 1 1 = 2 ,∴ z =2+2i, 1+i ) )

2.已知复数 z= A.第一象限 C.第三象限 【解析】

∵z=

1 1 ∴z· i=- + i. 2 2 【答案】 B 17+ 2

3 . 观 察 : 6 + 15 <2 11 , 5.5 + 15.5 <2 11 , 4- 2 +

<2 11,?,对于任意的正实数 a,b,使 a+ b<2 11成立的一个条件可以是 ( ) A.a+b=22 C.ab=20 【解析】 【答案】 B.a+b=21 D.ab=21 由归纳推理可知 a+b=21.故选 B. B

4.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x,则 f′(1) =( ) 【导学号:60030088】 A.-e C.1 【解析】 ∵f(x)=2xf′(1)+ln x,
1

B.-1 D.e

1 ∴f′(x)=2f′(1)+x , ∴f′(1)=2f′(1)+1, ∴f′(1)=-1. 【答案】 B

5.由①y=2x+5 是一次函数;②y=2x+5 的图象是一条直线;③一次函数 的图象是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理,则作为大前提、小前提 和结论的分别是( A.②①③ C.①②③ 【解析】 ) B.③②① D.③①② 该三段论应为:一次函数的图象是一条直线(大前提),y=2x+5

是一次函数(小前提),y=2x+5 的图象是一条直线(结论). 【答案】 D )

6.已知函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图 1 所示,则(

图1 A.函数 f(x)有 1 个极大值点,1 个极小值点 B.函数 f(x)有 2 个极大值点,2 个极小值点 C.函数 f(x)有 3 个极大值点,1 个极小值点 D.函数 f(x)有 1 个极大值点,3 个极小值点 【解析】 根据极值的定义及判断方法, 检查 f′(x)的零点左右的值的符号, 如果左正右负,那么 f(x)在这个点处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这 个点处取得极小值;如果左右都是正,或者左右都是负,那么 f(x)在这个点处不 是极值.由此可见,x2 是函数 f(x)的极大值点,x3 是极小值点,x1,x4 不是极值 点. 【答案】 A )

7.曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( 9 A.4e2 B.2e2
2

C.e2 【解析】

e2 D. 2 ∵f′(x)=ex,∴曲线在点(2,e2)处的切线的斜率为 k=f′(2)=

e2,切线方程为 y-e2=e2(x-2),即 e2x-y-e2=0,切线与 x 轴和 y 轴的交点坐 1 标分别为 A(1,0),B(0,-e2),则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为2×1×e2 e2 =2. 【答案】 D

8.已知数列 1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,?,则数列的第 k 项 是( ) A.ak+ak+1+?+a2k B.ak-1+ak+?+a2k-1 C.ak-1+ak+?+a2k D.ak-1+ak+?+a2k-2 【解析】 由归纳推理可知,第 k 项的第一个数为 ak-1,且共有 k 项.故选 D. 【答案】 D )

9.函数 f(x)=ax3-x 在 R 上为减函数,则( A.a≤0 C.a<2 【解析】 【答案】 B.a<1 1 D.a≤3

由题意可知 f′(x)=3ax2-1≤0 在 R 上恒成立,则 a≤0. A )

1 1 10.设 a=?1x-3dx,b=1-?1x2dx,c=?1 x3dx 则 a,b,c 的大小关系( ?0 ?0 ?0

A.a>b>c C.a>c>b 【解析】

B.b>a>c D.b>c>a
1 3 2 3 由题意可得 a=?1x-3dx=2x3| 1 0= ; 2 ?0

1 2 3 1 ?2 ? 1 b=1-?1x2dx=1-3x2| 0 =1-?3-0?=3; ? ? ?0

3

x4 1 c=?1x3dx= 4 | 1 0= .综上,a>b>c. 4 ?0 【答案】 A

11.在数学归纳法的递推性证明中,由假设 n=k 时成立推导 n=k+1 时成 1 1 1 立时,f(n)=1+2+3+?+ n 增加的项数是( 2 -1 A.1 C.2k-1 【解析】 B.2k+1 D.2k 1 1 1 ∵f(k)=1+ + +??+ k , 2 3 2 -1 )

1 1 1 1 1 1 又 f(k+1)=1+2+3+?+ k +2k+ k +?+ k+1 . 2 -1 2 +1 2 -1 从 f(k)到 f(k+1)是增加了(2k 1-1)-2k+1=2k 项.


【答案】

D

12.已知函数 f(x)=x3-ln( x2+1-x),则对于任意实数 a,b(a+b≠0),则 f?a?+f?b? 的值为( a+b A.恒正 C.恒负 【解析】 x)=0, 所以函数为奇函数,同时, f′(x) = 3x2 + f?a?+f?b? f?a?-f?-b? 1 >0 , f ( x ) 是递增函数, = ,所以 a+b a-?-b? x2+1 ) B.恒等于 0 D.不确定 可知函数 f(x)+f(-x)=x3-ln( x2+1-x)+(-x)3-ln( x2+1+

f?a?+f?b? >0,所以选 A. a+b 【答案】 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横 线上) 3+i 13.复数 i2 (i 为虚数单位)的实部等于________.

4

【解析】 【答案】

3+i ∵ i2 =-3-i,∴其实部为-3. -3

14.观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,?,根 据上述规律,第五个等式为________. 【解析】 第 n 个等式左边为 1 到 n+1 的立方和, 右边为 1+2+3+?+(n +1)的平方,所以第五个等式为 13+23+33+43+53+63=212. 【答案】 13+23+33+43+53+63=212

1 15. 曲线 y=sin x(0≤x≤π)与直线 y=2围成的封闭图形的面积为__________. 【导学号:60030089】 【解析】 1 由于曲线 y=sin x(0≤x≤π)与直线 y=2的交点的横坐标分别为 x

?5π ? 1? 1 ? π 5π ? ? ? ? ? 6 sin x cos x - - - x d x =6及 = 6 , 因此所求图形的面积为 ∫ 2? =? 2x? ? ?π ? ? 6 π -3. 【答案】 π 3-3

= 3

16.已知函数 f(x)=x3+3mx2+nx+m2 在 x=-1 时有极值 0,则 m+n= ________ . 【解析】 ∵f′(x)=3x2+6mx+n,

∴由已知可得
3 2 2 ?f?-1?=?-1? +3m?-1? +n?-1?+m =0, ? 2 ?f′?-1?=3×?-1? +6m?-1?+n=0,

?m=1, ?m=2, ∴? 或? ?n=3 ?n=9, ?m=1, 当? 时,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0 恒成立与 x=-1 是极值 n = 3 ? 点矛盾,

5

?m=2, 当? 时,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3), ?n=9 显然 x=-1 是极值点,符合题意,∴m+n=11. 【答案】 11

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤) ?1+i?2+3?1-i? 17.(本小题满分 10 分)设复数 z= ,若 z2+az+b=1+i,求 2+i 实数 a,b 的值. 【解】 = ?1+i?2+3?1-i? 2i+3-3i 3-i z= = = 2+i 2+i 2+i

?3-i??2-i? 5-5i = 5 =1-i. 5

因为 z2+az+b=(1-i)2+a(1-i)+b =-2i+a-ai+b=(a+b)-(2+a)i=1+i, ?a+b=1, ?a=-3, 所以? 解得? ?-?2+a?=1, ?b=4. 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x3+3ax2+3x+1. (1)当 a=- 2时,讨论 f(x)的单调性; (2)若 x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求 a 的取值范围. 【解】 (1)当 a=- 2时,f(x)=x3-3 2x2+3x+1,

f′(x)=3x2-6 2x+3. 令 f′(x)=0,得 x1= 2-1,x2= 2+1. 当 x∈(-∞, 2-1)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞, 2-1)上是增函数; 2+1)上是减函数;

当 x∈( 2-1, 2+1)时,f′(x)<0,f(x)在( 2-1,

当 x∈( 2+1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在( 2+1,+∞)上是增函数. 5 (2)由 f(2)≥0,得 a≥-4. 5 当 a≥-4,x∈(2,+∞)时, 5 ? ? f′(x)=3(x2+2ax+1)≥3?x2-2x+1? ? ?
6

? 1? =3?x-2?(x-2)>0, ? ? 所以 f(x)在(2,+∞)上是增函数,于是当 x∈[2,+∞)时,f(x)≥f(2)≥0. ? 5 ? 综上,a 的取值范围是?-4,+∞?. ? ? 19.(本小题满分 12 分)设等差数列{an}的公差为 d,Sn 是{an}中从第 2n-1 项 开始的连续 2n-1 项的和,即 S1=a1, S2=a2+a3, S3=a4+a5+a6+a7, ?? Sn=a2n-1+a2n-1+1+?+a2n-1, ?? 若 S1,S2,S3 成等比数列,问:数列{Sn}是否成等比数列?请说明你的理由. 【解】 ∵S1,S2,S3 成等比数列,

∴S1=a1≠0,且 S1· S3=S2 2,
2 由 S1· S3=S2 2,得 a1(a4+a5+a6+a7)=(a2+a3) ,

3 即 a1(4a1+18d)=(2a1+3d)2,2a1d=3d2.∴d=0 或 a1=2d. 当 d=0 时,Sn=2n-1a1≠0, Sn+1 2na1 * Sn =2n-1a1=2(常数),n∈N ,{Sn}成等比数列; 3 当 a1=2d 时, Sn=a2n-1+a2n-1+1+a2n-1=2 =2n-1[a1+(2n-1-1)d]+
n-1

2n-1?2n-1-1? a2n-1+ d 2

2n-1?2n-1-1? d 2

3 ? 3 n-1 ?3 n-1 2 +a1-2d?= d· =2n-1?2d· 4 ≠0, ? ? 2 3 n d· 4 Sn+1 2 * Sn =3 n-1=4(常数),n∈N ,{Sn}成等比数列. 4 2d·
7

综上所述,若 S1,S2,S3 成等比数列,则{Sn}成等比数列. 20. (本小题满分 12 分)已知幂函数 f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数, 且 在区间(0,+∞)上是单调增函数. (1)求函数 f(x)的解析式; 1 9 (2)设函数 g(x)=4f(x)+ax3+2x2-b(x∈R),其中 a,b∈R,若函数 g(x)仅在 x=0 处有极值,求 a 的取值范围. 【导学号:60030090】 【解】 (1)因为 f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,

所以-m2+2m+3>0,即 m2-2m-3<0, 所以-1<m<3,又 m∈Z,所以 m=0,1,2. 而 m=0,2 时,f(x)=x3 不是偶函数,m=1 时, f(x)=x4 是偶函数, 所以 f(x)=x4. 1 9 (2)由(1)知 g(x)=4x4+ax3+2x2-b, 则 g′(x)=x(x2+3ax+9),显然 x=0 不是方程 x2+3ax+9=0 的根. 为使 g(x)仅在 x=0 处有极值, 必须 x2+3ax+9≥0 恒成立, 即有 Δ=9a2-36≤0,解不等式得 a∈[-2,2]. 这时,g(0)=-b 是唯一极值,所以 a∈[-2,2]. 21.(本小题满分 12 分)在各项为正的数列{an}中,数列的前 n 项和 Sn 满足 1? 1? Sn=2?an+a ?. ? n? (1)求 a1,a2,a3; (2)由(1)猜想到数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想. 【解】 1? 1? (1)由 S1=a1=2?a1+a ?,得 a2 1=1, ? 1?

因为 an>0,所以 a1=1. 1? 1? 2 由 S2=a1+a2=2?a2+a ?,得 a2 +2a2-1=0,所以 a2= 2-1, ? 2? 1? 1? 由 S3=a1+a2+a3=2?a3+a ?, ? 3?

8

得 a2 3+2 2a3-1=0,所以 a3= 3- 2. (2)猜想 an= n- n-1(n∈N*). 证明:①当 n=1 时, a1= 1- 0=1,命题成立; ②假设 n=k(k≥1,k∈N*)时, ak= k- k-1成立, 则 n=k+1 时, ak+1=Sk+1-Sk 1 ? 1? 1? 1? =2?ak+1+a ?-2?ak+a ?,即 ak+1 ? k? ? k+1? 1 ? 1? =2?ak+1+a ? ? k+1? 1 ? 1? ? -2? k- k-1+ k- k-1? ? 1 ? 1? =2?ak+1+a ?- k, ? k+1? 所以 a2 k+1+2 kak+1-1=0. 所以 ak+1= k+1- k, 则 n=k+1 时,命题成立. 则①②知,n∈N*,an= n- n-1. bex-1 22. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)=aexln x+ x , 曲线 y=f(x)在点(1, f(1)) 处的切线方程为 y=e(x-1)+2. (1)求 a,b; (2)证明:f(x)>1. 【解】 (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),

a b b f′(x)=aexln x+ xex-x2ex-1+xex-1. 由题意可得 f(1)=2,f′(1)=e.故 a=1,b=2. 2 (2)证明:由(1)知,f(x)=exln x+x ex-1,

9

2 - 从而 f(x)>1 等价于 xln x>xe x-e . 设函数 g(x)=xln x,则 g′(x)=1+ln x. 1? ? 所以当 x∈?0,e?时,g′(x)<0; ? ? ?1 ? 当 x∈?e,+∞?时,g′(x)>0. ? ? 1? ? ?1 ? 故 g(x)在?0, e?上单调递减,在? e,+∞?上单调递增,从而 g(x)在(0,+∞) ? ? ? ? 上的最小值为 1 ?1? g? e?=- e. ? ? 2 设函数 h(x)=xe-x-e ,则 h′(x)=e-x(1-x). 所以当 x∈(0,1)时,h′(x)>0; 当 x∈(1,+∞)时,h′(x)<0. 故 h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 1 从而 h(x)在(0,+∞)上的最大值为 h(1)=-e . 综上,当 x>0 时,g(x)>h(x),即 f(x)>1.

10



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