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湖北省黄冈市名校2010年高三数学模拟试题(10)新人教版


年高三年级数学模拟试题(10) 湖北省黄冈市名校 2010 年高三年级数学模拟试题(10) 黄冈市 2010 年高三三月月考
数学试题(文科) 数学试题(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的。 π 1. 不等式 1<x< 成立是不等式(x-1)tanx>0 成立的 2 A.充分不必要条件 C.充要条件


→ →


B.必要不充分条件 D.非充分非必要条件 ) D、 (? 4,?2 ) 或 (4,2 )

2.已知 a = (2,1) , b = 2 5 ,且 a ∥ b ,则 b 为( A、 (? 4,2 ) B、 (4,2 )

C、 (4,?2) 或 (? 4,2 )

3. 设集合 P = {b,1} , Q = {c,1,2} , P ? Q , 若 b, c ∈ {2,3,4,5,6,7,8,9} ,则 b = c 的概率是 A

1 8

B

1 4

C

1 2

D

3 4

4. .向量 V =( a n +1 ? 和 A 5. 50

2 a n a n+1 , ), V 是直线 y=x 的方向向量,a 1 =5,则数列 {a n } 的前 10 项的 2 2a n

B

100

C 150 , 则

D 200

(2 x + 4) 2010 = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + L + a 2010 x 2010
数是 A.0 B.1 C.2

a 0 + a 2 + a 4 + L + a 2010
D.不能确定

被3除的余

5≥0, ?x-y+5≥0, ? y≥0, 6. 已知 x,y 满足条件?x+y≥0, ?x≤3, ?x≤3, 13 A 4 B 6

x+ y+ 2 的最小值( 则 z= 的最小值( x+ 3 C



1 3

D -

2 3
2

3 2 图象如图, 7. 函数 f ( x ) = x + bx + cx + d 图象如图,则函数 y = log 2 ( x +

2 c bx + ) 3 3

y 0 3 x

的单调递减区间为

-2 1 (A) [ ,+∞) (B) [3,+∞) (C) [ ?2,3] (D) ( ?∞,?2] 2 π π 8.若动直线 x = a 与函数 f ( x ) = 3 sin( x + )与g ( x ) = cos( x + ) 的图象分别交于 M、N 12 12 两点,则|MN|的最大值为 A. 3 B 1 C 2 D 3

用心

爱心

专心

9. 直线 MN 与双曲线 C:

x2 y2 ? = 1 的左右支分别交与 M、N 点,与双曲线 C 的右准线相交于 a 2 b2 P 点,F 为右焦点,若 FM = 2 FN ,又 NP = λ PM ( λ ∈ R ),,则实数 λ 的值为
1 2 a 2 ? sin θ + a ? cos θ ?
B 1 C 2 D

A

1 3

10. 已知两个不相等的实数 a、b 满足以下关系式:

π

4

= 0, b 2 ? sin θ + b ? cos θ ?

π
4

= 0 ,则连接 A ( a 2 ,a ) 、 B ( b 2 ,b ) 两

点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 A 相离 B 相交 C 相切

. D 不能确定

二、填空题:本大题共 5 小题,每题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上。 11. 如果函数 f(x)= ?

?1 ?? 1

x ≤1 则不等式 xf(x) ≥ 0 的解集为_______________. x >1

则 12. 设递增等差数列 a n 的公差为 d,若 a 1,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 ,a 6 ,a 7 的方差为 1, d=________. 13. 将A、B、C、D、E五种不同的文件放入一排编号依次为1、2、3、4、5、6的六个抽屉内, 每个抽屉至多放一种文件.若文件A、B必须放入相邻的抽屉内,文件C、D也必须放相邻的抽屉 内,则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有 96 种.

{ }

14. 已知点 M 是抛物线 y 2 =4x 的一点,F 为抛物线的焦点,A 在圆 C:(x-4) 2 +(y-1) 2 =1 上, 则 MA + MF 的最小值为__________ 15. . 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , PA 、 PB 、 PC 两 两 垂 直 , 且
P

PA = 3, PB = 2, PC = 1 . 设 M 是 底 面 ABC 内 一 点 , 定 义 f ( M ) = (m, n, p ) ,其中 m 、 n 、 p 分别是三棱锥 M ? PAB 、三棱锥 1 1 a M ? PBC 、 三棱锥 M ? PCA 的体积.若 f ( M ) = ( , x, y ) ,且 + ≥ 8 2 x y
恒成立,则正实数 a 的最小值为________. 1
A M B
第 15 题

C

用心

爱心

专心

16.已知锐角 ?ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别是 a, b, c, 且(b + c ? a ) tan A =
2 2 2

3bc.

(1)求角 A 的大小; (2)求 sin( A + 10°) ? [1 ? 3 tan( A ? 10°)] 的值。

17. .某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行 5 次统一测试,学生如果通过其中 2 次 测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只能参 加 5 次测试. 假设某学生每次通过测试的概率都是

1 ,每次测试通过与否互相独立. 规定: 3

若前 4 次都没有通过测试,则第 5 次不能参加测试. (Ⅰ) 求该学生考上大学的概率. (Ⅱ) 如果考上大学或参加完 5 次测试就结束,记该生参加测试的次数为ξ,求 P( ξ > 3 )

18.如图,在 Rt△ AOB 中, ∠OAB =

π ,斜边 AB = 4 . Rt△ AOC 可以通过 Rt△ AOB 以 6

直线 AO 为轴旋转得到,且二面角 B ? AO ? C 是直二面角.动点 D 的斜边 AB 上. (1)求证:平面 COD ⊥ 平面 AOB ; (2)当 D 为 AB 的中点时,求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小; (3)求 CD 与平面 AOB 所成角的最大值.

A

D

O C

B

用心

爱心

专心

19. 如图,已知直线 L : x = my + 1过椭圆C :

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的右焦点 F,且交椭圆 a2 b2

C 于 A, 两点, A,, 在直线 G : x = a 2 上的射影依次为点 D,,, B 点 F B K E 若抛物线 x 2 = 4 3 y
的焦点为椭圆 C 的上顶点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 L 交 y 轴于点 M,且 MA = λ1 AF , MB = λ2 BF ,当 m 变 化时,求 λ1 + λ2 的值;

20.已知函数 f(x)=ax 3 +bx 2 +cx 在 x=x 0 处取得极小值-4,使其导数 f ' (x)>0 的 x 的取值范围 (1,3) 。 (1)求 f(x)的解析式; (2)若过点 A(-1,m)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围。

21.已 知数列 {an } 满 足 a1 = 2,a 2 = 3 , a n +1 -a n

2an+1 = 3an ? an ?1 ( n ∈ N* 且n ≥ 2 ) , 若 b n +1 =

(I)证明:数列 {bn } 为等比数列,并求数列 {an } 的通项公式. (II)求使不等式

an ? m 2 < 成立的所有正整数 m,n 的值. an +1 ? m 3

用心

爱心

专心

黄冈市 2010 年 3 月份高三年级质量检测

数学试题参考答案(文科) 数学试题参考答案(文科)
1-10 ADCAC CDCAB

11. x x < ?1, 或0 ≤ x ≤ 1

{

}

12.

1 2

13.96

14.4

15.1

解: (1)由已知条件及余弦定理得 tan A =

3bc sin A 3 ,∴ = , 2bc cos A cos A 2 cos A

∴ sin A = ∵ A ∈ (0,

3 . 2

π
2

) , 故A =

π
3

.

……………………6 分

(2) sin( A + 10°)[1 ? 3 tan( A ? 10°)] = sin 70°(1 ? 3 = sin70 o

sin 50° ) cos 50°

cos 50 o ? 3 sin 50 o cos 50 o
o

sin(30 o ? 50 ) =2sin70 = cos 50 o
=-

2 sin 20 o cos 20 o =-1 sin 40 o

……….12

17. 解 : Ⅰ ) 记 “ 该 生 考 上 大 学 ” 的 事 件 为 事 件 A , 其 对 立 事 件 为 A , 则 (

2 2 64 16 112 1 1 2 P ( A) = C 4 ( )( ) 3 ( ) + ( ) 4 = + = . 3 3 3 3 243 81 243
∴ P ( A) = 1 ? P ( A) = 1 ?

112 131 = . ……6 分 243 243

(Ⅱ)该生参加测试次数ξ的可能取值为 2,3,4,5.

1 ?2? 1 2 4 16 28 , 32 1 ?1? ? 2? P (ξ = 4) = C ? ? ? ? ? + ( ) 4 = + = P(ξ = 5) = C4 ? ? ? ? ? ? = . 3 ?3? 3 3 27 81 81 81 ?3? ? 3?
1 3

2

3



P( ξ > 3 )=P( ξ =4)+P( ξ =5)

=

18.解: (I)由题意, CO ⊥ AO , BO ⊥ AO , ∴∠BOC 是二面角 B ? AO ? C 的平面角, 又Q 二面角 B ? AO ? C 是直二面角, ∴ CO ⊥ BO ,又Q AO I BO = O ,

20 27

………………12

∴ CO ⊥ 平面 AOB ,
用心 爱心 专心

又 CO ? 平面 COD . ∴ 平 面 COD ⊥ 平 面 AOB .--------------------------------------------------------4 分 (II)作 DE ⊥ OB ,垂足为 E ,连结 CE ,则 DE ∥ AO , ∴∠CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角. - -------------------------5 分 在 Rt△COE 中, CO = BO = 2 , OE =

1 BO = 1 , 2

∴ CE = CO 2 + OE 2 = 5 .
又 DE =

1 AO = 3 . 2

∴ 在 Rt△CDE 中, tan CDE =


CE 5 15 = = . DE 3 3

-

--------------------7

∴ 异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arctan
分 (III)由(I)知, CO ⊥ 平面 AOB ,

15 .3

----------------------8

∴∠CDO 是 CD 与平面 AOB 所成的角,且 tan CDO =
当 OD 最小时, CDO 最大 ∠ 这时, OD ⊥ AB ,垂足为 D , OD =

OC 2 = . OD OD
------------------10 分

OA ? OB 2 3 = 3 , tan ∠CDO = , AB 3
的 最 大 值 为

∴ CD



平 面

AOB

所 成 角

arctan

2 3 3



-

----------------------12 19. 解: (1)易知 b =

3

∴ b 2 = 3, 又F (1,0)

∴c = 1

a2 = b2 + c2 = 4 x2 y2 + =1 4 3 1 ) m
…………………4 分

∴ 椭圆C的方程为

Q l与y轴交于M (0,?

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 )

? x = my + 1 由? 2 2 ?3x + 4 y ? 12 = 0
? = 144(m 2 + 1) > 0
用心 爱心 专心

∴ (3m 2 + 4) y 2 + 6my ? 9 = 0



1 1 2m + = (*) y1 y 2 3
∴ ( x1 , y1 + 1 ) = λ1 (1 ? x1 ,? y1 ) m 1 my 2

…………………………8分

又由 MA = λ1 AF

∴ λ1 = ?1 ?

1 my1

同理 λ 2 = ?1 ?

∴ λ1 + λ 2 = ?2 ? ∴ λ1 + λ 2 = ? 8 3

1 1 1 2 8 ( + ) = ?2 ? = ? m y1 y 2 3 3
…………………………………12分

20.解: (1)f ' (x)=3ax 2 +2bx+c,依题意有 a>0, 1,3 分别为 f(x)的极值小,极大值点…2 分
' ? f (1) = 0 ? ∴ ? f ' (3) = 0 ? f (1) = 4 ?

解得 a=-1

b=6 c=-9

……………………6 分

(2)设过 P 点的切线切曲线(x 0 ,y 0 ),则切线的斜率 k=-3 x 0 2 +12 x 0 -9 切线方程为 y=(-3 x 0 2 +12 x 0 -9)(x+1)+m, 故 y 0 =(-3 x 0 2 +12 x 0 -9) 0 +1)+m=- x 0 3 +6 x 0 2 -9 x 0 (x ………………..8 分

要使过 P 可作曲线 y=f(x)三条切线, 则方程关于 (-3 x 0 2 +12 x 0 -9) x 0 +1) ( +m=- x 0 3 +6 x 0 2 -9 x 0 有三解。m=2 x 0 3 -3 x 0 2 -12 x 0 +9,令 g(x)= 2 x 3 -3 x 2 -12 x+9, g ' (x)=6x 2 -6x-12=6(x+1)(x-2)=0,易知 x=-1,2 为 g(x)的极值大、极小值点 故 g(x) 极小值 =-11,g(x) 极大值 =16, 故满足条件的 m 的取值范围-11<m<16 …13 分 …10 分

21. 解(1)由 2an+1 = 3an ? an ?1 变形得 2a n +1 -2a n = a n -a n ?1 (n ≥ 2 ),故 2b n +1 =b n 故 {bn } 是以 a 2 -a 1 为首项, a n +1 -a n = ( )

1 为公比的等比数列。 2

…………….3 分

1 2

n ?1

用心

爱心

专心

1 1 ? ( ) n ?1 1 n? 2 2 由累加法得 a n - a 1 = ,故 a n =4- ( ) ……………………….6 分 1 2 1? 2
(2)要使不等式

a ?m 2 3a ? 3m ? 2a n +1 + 2m an ? m 2 - <0, ∴ n <0 < 则 n an +1 ? m 3 a n +1 ? m 3 3(a n +1 ? m)
an ?1 ? m <0,(n ≥ 2) an +1 ? m
…………8 分

又 2an+1 = 3an ? an ?1 ,则有 又 a n =4- ( )

1 2

n? 2

是单调递增数列,故 a n +1 >a n ?1

∴a n +1 >m>a n ?1 ( n ≥ 2), 即 ?

? m > a n?1 当 n=2,解得 2<m<3.5.即 m=3 ?m < a n +1

……..10 分

当 n ≥ 3 时, ?

? m > a n ?1 ≥ 3 ,即 3<m<4,不合题意 ?m < a n +1 < 4

……….12 分

另当 n=1,

an ? m a ?m 2 <0,解得 0<m<3,即得 m=1,2 < , 1 an +1 ? m 3 a 2 ? m
………….14 分

总上所述:满足条件的正整数 m,n 为: 当 n=1,m=1 或 2,当 n=2 时,m=3

用心

爱心

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