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2015-2016学年高中数学 1.1.2余弦定理课件 新人教A版必修5


1.1.2

余弦定理

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掌握余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

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题型1 已知两边及其一角解三角形
例 1 △ABC 中,已知 b=3,c=3 3,B=30°,解此三角形. 解析:方法一 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B. 得 3 =a +(3 3) -2a×3 3×cos 30°, ∴a2-9a+18=0,得 a=3 或 6. 当 a=3 时,A=30°,∴C=120°. asin B 当 a=6 时,由正弦定理 sin A= = =1. b 3 ∴A=90°,∴C=60°. 6× 1 2
2 2 2

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方法二 由 b<c,B=30°; 1 3 3 由 b>csin 30°=3 3× = 知本题有两解. 2 2 由正弦定理 1 3 3× 2 3 csin B sin C= = = , b 3 2 ∴C=60°或 120°.当 C=60°时,A=90°,由勾股定理得: a= b2+c2= 32+(3 3)2=6, 当 C=120°时,A=30°, △ABC 为等腰三角形,∴a=3.
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点评:已知两边及其中一边的对角解三角形的方法: (1)先由正 弦定理求出另一条边所对的角,用三角形的内角和定理求出第三角, 再用正弦定理求出第三边,要注意判断解的情况.(2)用余弦定理列 出关于第三边的等量关系建立方程,运用解方程的方法求出此边 长.这样可免去取舍解的麻烦.
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1. 已知△ABC 中,A=120°,b=3,c=5,则求边 a= ________. 解析:因为 A=120°,b=3,c=5, 所以根据余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=9+25-2×3×5×cos 120°=49, 所以 a =7. 答案:7
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2.在△ABC 中,A=30°,AB=2,BC=1,求 AC. 解析:由余弦定理得: BC =AB +AC -2AB· ACcos 30°, ∴AC2-2 3AC+3=0, ∴AC= 3.
2 2 2

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题型2 已知三边解三角形

例 2 已知△ABC 中,a∶b∶c=2∶ 6∶( 3+1),求△ABC 的各内角度数. 分析:由比例的性质可以引入一个字母 k,用 再由余弦定理求解各角. 解析:∵a∶b∶c=2∶ 6∶( 3+1), ∴令 a=2k,b= 6k,c=( 3+1)k.
栏 目 链 k 表示 a、b、c, 接

由余弦定理,有 b2+c2-a2 6k2+( 3+1)2k2-4k2 2 cos A= = = , 2bc 2 2· 6k·( 3+1)k ∴A=45°. a2+c2-b2 4k2+( 3+1)2k2-6k2 1 cos B= = = , 2ac 2 2×2k( 3+1)k ∴B=60°. ∴C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.
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点评:1.本题已知的是三边的关系,设出三边的大小是解题的关 键. 2.已知三边解三角形的方法:先用余弦定理求出一个角,再用目 正弦定理或余弦定理求出另一角, 最后用三角形的内角和定理求第三 角.
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3.在△ABC 中,已知 a-b=4,a+c=2b,且最大角为 120°, 求三边的长.
? ?a-b=4, ? ?a=b+4. 解析:由? 得? ? ?a+c=2b ? ?c=b-4.

∴a>b>c,∴a2=b2+c2-2bccos 120°,
? 1? 即(b+4) =b +(b-4) -2b(b-4)×?-2?, ? ?
2 2 2

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即 b2-10b=0. 解得 b=0(舍去)或 b=10,此时 a=14,c=6.

题型3 判断三角形的形状
例 2 在△ABC 中,已知 c=acos B,b=asin C,判断三角形形状. a2+c2-b2 解析:由余弦定理知 cos B= , 2ac 代入 c=acos B 得: a2+c2-b2 c=a· ,∴c2+b2=a2, 2ac ∴△ABC 是以 A 为直角的直角三角形. c 又∵b=asin C,∴b=a·,∴b=c, a ∴△ABC 也是等腰三角形. 综上所述,△ABC 是等腰直角三角形.
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点评: 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从 “统一”入手,即用转化思想解决问题,一般有两条思考路线: (1)化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系. (2)化角为边,再进行代数恒等变换,求出三角之间的数量关系. 2.判断三角形的形状时,经常用到以下结论: (1)△ABC 为直角三角形?a2=b2+c2 或 c2=a2+b2 或 b2=a2+c2. (2)△ABC 为锐角三角形?a2+b2>c2 且 b2+c2>a2 且 c2+a2>b2. (3)△ABC 为钝角三角形?a2+b2<c2 或 b2+c2<a2 或 c2+a2<b2.
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π (4)若 sin 2A=sin 2B,则 A=B 或 A+B= . 2

4.在△ABC 中,已知 a2+b2-c2=ab,且 2cos Asin B=sin C, 请确定△ABC 的形状. 解析:方法一 利用边的关系来判断: sin C c 由正弦定理得 = , sin B b 由 2cos Asin B=sin C, sin C c 有 cos A= = . 2sin B 2b b2+c2-a2 又由余弦定理得 cos A= . 2bc c b +c -a ∴ = , 2b 2bc
2 2 2

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即 c2=b2+c2-a2, 所以 a =b ,所以 a=b,又∵a +b -c =ab, ∴2b2-c2=b2,∴b2=c2.∴b=c,∴a=b=c, ∴△ABC 为等边三角形.
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2

2

2

2

2

方法二 利用角的关系来判断: ∵A+B+C=180°, ∴sin C=sin(A+B), 又∵2cos Asin B=sin C, ∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B, ∴sin(A-B)=0. 又∵A 与 B 均为△ABC 的内角, 所以 A=B,又由 a2+b2-c2=ab,
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a2+b2-c2 ab 1 由余弦定理,得 cos C= = = . 2ab 2ab 2 又 0°<C<180°,所以 C=60°, ∴△ABC 为等边三角形.

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