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15讲三角函数、平面向量综合题六类型


第 15 讲三角函数与平面向量综合题
题型一:三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例 1】 已知 A、B、C 为三个锐角,且 A+B+C=π.若向量→=(2-2sinA,cosA+sinA) p C-3B 与向量→=(cosA-sinA, q 1+sinA)是共线向量 (Ⅰ) 求角 A;Ⅱ) ( 求函数 y=2sin2B+cos 2 的最大值. 2 【题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 0 3? 【例2】 已知向量→=(3sinα,cosα),→ =(2sinα,5sinα-4cosα),α∈( ,2π),且→ ⊥ a b a 2 0 9 α ? →. b (Ⅰ)求 tanα 的值; (Ⅱ)求 cos( + )的值. 2 3 0 3 题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 1 2 【例 3】 已知向量→=(cosα,sinα),→=(cosβ,sinβ),|→-→|= 5.(Ⅰ)求 cos(α-β)的值; a b a b 5 8 5 ? ? (Ⅱ)若- <β<0<α< ,且 sinβ=- ,求 sinα 的值. 2 2 13 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 ? 【例 4】设函数 f(x)=→· .其中向量→=(m,cosx),→=(1+sinx,1),x∈R,且 f( )=2. a → b a b 2 (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的最小值. 题型五:结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例 5】(山东卷)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , tan C ? 3 7 . (1)求 cos C ;(2)若 CB ? CA ?

??? ??? ? ?

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 ,? c ? 6 .
题型六:结合三角函数的有界性,考查三角函数的最值与向量运算 【例 6】 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (m,cos 2 x) , b ? (1 ? sin 2x,1) , x ? R ,且函数

? ?

?

?

y ? f ( x) 的图象经过点 ( , 2) . 4
(Ⅰ)求实数 m 的值;? Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合。 题型七:结合向量的坐标运算,考查与三角不等式相关的问题

?

【例 7】设向量 a ? (sin x,cos x), b ? (cos x,cos x), x ? R ,函数 f ( x) ? a ? (a ? b ) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值与最小正周期; (Ⅱ)求使不等式 f ( x ) ? 【跟踪训练】 三角函数与平面向量训练反馈 1、已知向量 a =( x ? 5 x,3x ) b =(2, x ) , ,且 a ? b ,则由 x 的值构成的集合是(
2

?

?

? ?

?

3 成立的 x 的取值集. 2



A、 {0,2,3}

B、 {0,2}

C、 {2}
1

D、 {0,-1,6}

2、设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x ,则 A. 0 ? x ? ? B.





?
4

?x?

7? 4

C.

?
4

?x?

5? 4

D.

?
2

?x?


3? 2

3、函数 f ( x) ? sin 2 x ? tan x ? 4 cos x ? 1 的值域是 4、在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且

cos B b ?? . cos C 2a ? c

(1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13 ,a+c=4,求 a 的值.

5、已知向量

a ? (cos( x ?

?
3

),1) , b ? (cos( x ?

?

1 ? ), ? ) , c ? (sin( x ? ), 0) 3 2 3

函数 f ( x) ? a ? b , g ( x) ? a ? c , h( x) ? a ? b ? b ? c (1)要得到 y ? f (x) 的图象,只需把 y ? g (x) 的图象经过怎样的平移或伸缩变换? (2)求 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最大值及相应的 x. 6.设函数 f ( x) ? a ? (b ? c ) ,其中向量 a ? (sin x, ? cos x), b ? (sin x, ?3cos x) ,

? ? ?

?

?

? c ? (? cos x,sin x), x ? R . (Ⅰ)求函数 f ?x ? 的最大值和最小正周期;
(Ⅱ)将函数 y ? f ?x ? 的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心 对称,求长度最小的 d . 7.已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ?

?

?

?

?

?
2

?? ?

?
2



(Ⅰ)若 a ? b ,求 ? ; (Ⅱ)求 a ? b 的最大值. 8、已知向量, n ? ( , cos ? ) .
? ? ? ? 2 ,且 m ? n 时,求 sin 2? 的值; (2)当 a ? 0 ,且 m ∥ n 时,求 tan ? 的值. 2 【专题训练】 一、选择题 1.已知→=(cos40?,sin40?),→=(cos20?,sin20?),则→· = a b a → b ( )

?

?

?

?

?

1 2

(1)当 a ?

A.1

B.

3 2

1 C. 2

D.

2 2 ( )

π π π 2.将函数 y=2sin2x- 的图象按向量( , )平移后得到图象对应的解析式是 2 2 2 A.2cos2x B.-2cos2x C.2sin2x D.-2sin2x → → → → →→ 3.已知△ABC 中,AB= a ,AC= b ,若 a · <0,则△ABC 是 b
2





A.钝角三角形

B.直角三角形

C.锐角三角形

D.任意三角形 ( D.75? ) )

3 1 4.设→=( ,sin?),→=(cos?, ),且→∥→,则锐角?为 a b a b 2 3 A.30? B.45? C.60?

3? 5.已知→=(sinθ, 1+cosθ),→=(1, 1-cosθ),其中 θ∈(π, ),则一定有 ( a b 2 A.→∥→ a b B.→⊥→ a b C.→与→夹角为 45° a b D.|→|=|→| a b

π 6.已知向量→=(6,-4),→=(0,2),→=→+?→,若 C 点在函数 y=sin x 的图象上, a b c a b 12 实数?= 5 A. 2 3 B. 2 5 C.- 2 3 D.- 2 ( )

→ → → 7.设 0≤θ≤2π 时,已知两个向量OP1=(cosθ,sinθ),OP2=(2+sinθ,2-cosθ),则向量P1P2长 度的最大值是 A. 2 B. 3 C.3 2 →=(cos?,sin?),→=(cos?,sin?),则→与→一定满足 8.若向量 a b a b A.→与→的夹角等于?-? a b →∥→ C. a b D.2 3 ( ) ( )

B.→⊥→ a b →+→)⊥(→-→) D.( a b a b

9.已知向量→=(cos25?,sin25?),→=(sin20?,cos20?),若 t 是实数,且→=→+t→,则|→| a b u a b u 的最小值为 A. 2 B.1 C. 2 2 1 D. 2 ( )

→ → 10.O 是平面上一定点,A、B、C 是该平面上不共线的 3 个点,一动点 P 满足:OP=OA+ → → ?(AB+AC),?∈(0,+∞),则直线 AP 一定通过△ABC 的 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 ( )

1 11.已知向量→=(sin?,2cos?),→=( 3,- ).若→∥→,则 sin2?的值为____________. m n m n 2 → → → OB= → 12.已知在△OAB(O 为原点)中,OA=(2cos?,2sin?),OB=(5cos?,5sin?),若OA· -5,则 S△AOB 的值为_____________. 3π → → → →→ → 13.已知向量 m =(1,1)向量 n 与向量 m 夹角为 ,且 m · =-1.则向量 n =__________. n 4 14.已知向量→=(sinA,cosA),→=( 3,-1),→· =1,且 A 为锐角. m n m→ n (Ⅰ)求角 A 的大小;(Ⅱ)求函数 f(x)=cos2x+4cosAsinx(x∈R)的值域. 在△ABC 中,A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知向量→=(1,2sinA),→=(sinA, m n ? 1+cosA),满足→∥→,b+c= 3a.(Ⅰ)求 A 的大小;(Ⅱ)求 sin(B+ )的值. m n 6

3

16.△ABC 的角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,→=(2b-c,a),→=(cosA,-cosC), m n 且→⊥→. (Ⅰ)求角 A 的大小; m n ? (Ⅱ)当 y=2sin2B+sin(2B+ )取最大值时,求角 B 的大小. 6 17.已知→=(cosx+sinx,sinx),→=(cosx-sinx,2cosx), a b (Ⅰ)求证:向量→与向量→不可能平行; a b ?? (Ⅱ)若 f(x)=→· ,且 x∈[- , ]时,求函数 f(x)的最大值及最小值. a → b 44

4


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