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辽宁省实验中学分校2013-2014学年高二上学期期末考试数学(文)试题


一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 60 分)。 1.命题“若 x 2 ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是( A.若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1 C. 若x ? 1或x ? ?1, 则x ? 1
2



B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x 2 ? 1 D. 若x ? 1或x ? ?1, 则x ? 1
2

2.若 a ? b ? 0 ,则下列结论不成立的是( A. b ? a
2 2


2

1 1 B. ? a ?b a
2

C. ab ? a

?1? ?1? D. ? ? ? ? ? ?2? ?2?

b

a

3.在抛物线 y ? 2 px 上,横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5,则 p 的值为( A.



1 2

B.1

C.4

D.2 )

4.设 S n 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S 2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? ( A.3
?

B.4

C.5

D.6 )

5.设 x, y ? R 且 A.12
x

1 9 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值为( x y
C.16 D.-16 ) D.

B.15

6.曲线 y ? e 在点 A(0,1) 处的切线的斜率( A.1 B.2 C. e

1 e

7.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是( 9 4
B. 3 x ? 2 y ? 0

) C. 9 x ? 4 y ? 0 D. 4 x ? 9 y ? 0

A. 2 x ? 3 y ? 0

8.已知数列 ?an ? ,如果 a1 , a2 ? a1 , a3 ? a2 ,? , an ? an ?1 ,? ( n ? 2 )是首项为 1 公比为 比数列,那么 an 等于( A. ) C.

1 的等 3

3 1 (1 ? n ) 2 3

B.

3 1 (1 ? n ?1 ) 2 3

2 1 (1 ? n ) 3 3

D.

2 1 (1 ? n ?1 ) 3 3

9. 对于曲线 C ∶

x2 y2 =1,给出下面四个命题: ? 4 ? k k ?1

(1)曲线 C 不可能表示椭圆; (2)若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1< k < (3) 若曲线 C 表示双曲线,则 k <1 或 k >4; (4)当 1< k <4 时曲线 C 表示椭圆,其中正确的是 ( A .(2)(3) 10. B. (1)(3) C. (2)(4) ) D.(3)(4)

5 ; 2

f ( x) 、 g ( x) 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 与 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 ,


f ' ( x) g ( x) ? f (x)g ' ( x) ? 0 ,且 f (?2) ? 0 ,则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集为(
A. (?2, 0) ? (2, ??) C. (??, ?2) ? (2, ??) 11. 已知抛物线 y ? 2 px
2

B. (?2, 0) ? (0, 2) D. (??, ?2) ? (0, 2)

( p ? 0) 的焦点 F 恰好是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,且两条曲线的交点的连线过 F,则该双 a2 b2
曲线的离心率是( A. 2 C. 12. 已 ) B. 2 D. 函 数

2 ?1


2 ?1
, 且

f ( x )的定义域为[ ?3,??)

f (6) ? f ( ?3) ? 2 . f ' ( x) 为 f ( x) 的导函数, f ' ( x) 的图像
如右图所示.若正数 a, b 满足 f (2a ? b) ? 2 ,则 值范围是( A.(? ) B.(??, ? ) ? (3, ??)

b?3 的取 a?2 9 ,3) 2 9 2

3 ,3) 2

3 2

C.(?

D.(??, ? ) ? (3, ??)

二、填空题:(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.已知 ?an ? 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105, a2 ? a4 ? a6 ? 99 ,则 a20 等于___________

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 14. 已知实数 x, y ,满足约束条件 ?3 x ? 5 y ? 25 则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ?x ? 1 ?
15. 下列四个命题中①不等式 x ? 1(2 x ? 1) ? 0 的解集为 ? x | x ?

? ?

1? ② “ x ?1且 y ? 2 ” ?; 2?
的最小值为 2 ;④命

是“ x ? y ? 3 ”的充分不必要条件;③ 函数 y ?

x2 ? 2 ?
2

1 x ?2
2

题 " ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0" 的否定是: “ ?x ? R, 均有x ? x ? 1 ? 0 ”其中真命题的为
2

_________(将你认为是真命题的序号都填上) 16.直线 y ? kx ? 2 交抛物线 y ? 8 x 与 A, B 两点,若 AB 的中点的横坐标是 2,
2

则 AB ? 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分)已知命题 p : x ? 8 x ? 20 ? 0 ,命题 q :1 ? m ? x ? 1 ? m , ?p 是
2 2

q 的充分而不必要条件,求实数 m 的取值范围。

x2 y 2 18.(本小题满分 12 分)已知双曲线与椭圆 ? ? 1 有公共焦点 F1 , F2 ,它们的离心率之 9 25
和为 2

4 . 5

(1)求双曲线的标准方程; (2)设 P 是双曲线与椭圆的一个交点,求 cos ?F1 PF2 .

19.(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 满足前 n 项和 S n ? 2n ?1 ? 2 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 满足 bn ? (2n ? 1) ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? b(a, b ? R ). 3

(1)若 x ? 1 为 f ( x) 的极值点,求 a 的值; (2)若 y ? f ( x) 的图象在点(1, f (1) )处的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,求 f ( x) 在区间 [-2,4]上的最大值

21.(本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? x ln x (1)求 g ( x) ?

f ( x) ? k (k ? R) 的单调区间; x

(2)证明:当 x ? 1 时, 2 x ? e ? f ( x) ?

x2 ?1 恒成立。 2

22.(本小题满分 12 分)已知点 A1 (-2,0), A2 (2,0),过点 A1 的直线 l1 与过点 A2 的直线 l 2 相交于点 M ,设直线 l1 斜率为 k1 ,直线 l 2 斜率为 k 2 ,且 k1 k 2 = ? (1)求直线 l1 与 l 2 的交点 M 的轨迹方程; (2) 已知 F2 (1,0) , 设直线:y ? kx ? m 与 (1) 中的轨迹 M 交于 P 、 直线 F2 P 、 Q 两点,

3 。 4

F2 Q 的倾斜角分别为 ?、? ,且 ? ? ? ? ? ,求证:直线过定点,并求该定点的坐标

辽宁省实验中学分校 2013-2014 学年度上学期期末考试高二数学(文)答案
二、 填空题 13.1 14.3 15.2 16.

2 15
三、解答题

19. (1)当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2 因为数列 ?a n ? 为等比数列 当 n ? 1 时, a1 ? 4 ? c 满足 an ? 2n 所以, c ? ?2 , an ? 2n (2)? bn ? (2n ? 1) ? a n 所以 c ? ?2 , an ? 2n
n ?1

? c ? (2n ? c) ? 2n ?1 ? 2n ? 2n

(n ? N ? ) -----------------------4 分

?Tn ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ? ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n ? 2Tn ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? (2n ? 3) ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n ? (2n ? 1) ? 2 n ?1

4(1 ? 2n ?1 ) ??Tn ? 6 ? 2 ? ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ? ?2 ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 1? 2
?Tn ? 2 ? (2n ? 1) ? 2n ?1
----------------------------12 分

20.(1) a ? 2 或 a ? 0 ---------------------------3 分

(2) a ? 1, b ?

8 --------------------6 分 3

f ( x)在(-2, 0)增函数,(0,2)减函数,(2,4)增函数 -----------10 分
8 f (0) ? , f (4) ? 8 ,最大值为 8----------------------------12 分 3 k 21. (1)g(x)=lnx+ x ? 令g ?( x) ? x?k ? 0 得 x=k x2

?x ? 0

? k ? 0 时 g ?( x) ? 0 所以函数 g(x)的增区间为 (0,??) ,无减区间;
当 k>0 时 g ?( x) ? 0 得 x>k ; g ?( x) ? 0 得 0<x<k

? 增区间为 (k ,??) , 减区间为(0,k)————————————4 分
(2)设 h(x)=xlnx-2x+e(x ? 1) 令 h ?( x) ? ln x ? 1 ? 0 得 x=e 所以 x 1 (1,e) e-2 e 0 0 (e,+ ? ) +

h ?( x)
h(x) 所以 h(x) ? 0

?

?

? f(x) ? 2x-e——————————-————8 分

x2 ?1 设 G(x)=lnx( x ? 1) 2x
1 1 1 ? ( x ? 1) 2 ? (1 ? 2 ) ? ?0 x 2 x 2x 2 当且仅当x ? 1时G ?( x) ? 0 G ?( x) ?
所以 G(x)为增函数,所以 G(x) ? G (1) ? 0

x2 ?1 x2 ?1 ? 0,所以x ln x ? ( x ? 1)成立 所以 lnx2x 2
所以 f ( x) ?

x2 ?1 2

综上:当 x ? 1 时,2x-e ? f ( x) ?

x2 ?1 恒成立_________12 分 2

y y , k2 ? x?2 x?2 2 x y2 y y 3 由 k1 ? k 2 ? 整理得 ???3分 ? ?1 ? ?? 4 3 x?2 x?2 4 ∵由题意点M不与 A1 (?2, 0), A2 (2, 0) 重合 ∴点 A1 (?2, 0), A2 (2, 0) 不在轨迹上
22. (Ⅰ)设点 M(x,y), 则 k1 ? ∴点M的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? 1 ( x ? ?2 ) 4 3

???4分

(Ⅱ)由题意知,直线的斜率存在且不为零, 联 立 方 程 ? x2

? y ? kx ? m ? 2 2 2 , 消 y , 得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 设 y2 ? ? 1 ? 3 ?4


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