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高中数学选修2-3人教A教案导学案3.2.1独立性检验的基本思想及其初步应用


3. 2.1 独立性检验的基本思想及其初步应用
教学目标 (1)通过对典型案例的探究,了解独立性检验(只要求 2 ? 2 列联表)的基本思想、方 法及初步应用; (2)经历由实际问题建立数学模型的过程,体会其基本方法。 教学重点:独立性检验的基本方法 教 学难点:基本思想的领会及方法应用 教学过程 一、问题情境 5 月 31 日是世界无烟日。有关医学研究表明,许多疾病,例如:心脏病、癌症、脑血 管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关,吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。这些 疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢?我们看一下问题: 某医疗机构为了了解肺癌与吸烟是否有关, 进行了一次抽样调查, 共调查了 9965 个人, 其中吸烟者 2148 人, 不吸烟者 7817 人。 调查结果是: 吸烟的 2148 人中有 49 人患肺癌, 2099 人未患肺癌;不吸烟的 7817 人中有 42 人患肺癌,7775 人未患肺癌。 问题:根据这些数据能否断定“患肺癌与吸烟有关”? 二、学生活动 (1)引导学生将上述数据用下表(一)来表示: (即列联表) 不患肺癌 不吸烟 吸烟 总计 7775 2099 9874 患肺癌 42 49 91 总计 7817 2148 9965

(2)估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异: 42 在不吸烟者中,有 ≈0.54%的人患肺癌; 7817 在吸烟的人中,有 49 ≈2.28%的人患肺癌。 2148

问题:由上述结论能否得出患肺癌与吸烟有关?把握有多大? 三、建构数学 1、从问题“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题,借助样本数据的列联表, 柱形图和条形图的展示, 使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能会有关系。 但这种结论能否推 广到总体呢?要回答这个问题,就必须借助于统计理论来分析。 2、独立性检验: (1)假设 H 0 :患肺癌与吸烟没有关系。即: “吸烟与患肺癌相互独立”。用 A 表示不 吸烟,B 表示不患肺癌,则有 P(AB)=P(A)P(B) 若将表中“观测值”用字母代替,则得下表(二) : 患肺癌 未患肺癌 合计

1

吸烟 不吸烟 合计

a c

b
d b?d

a?b c?d a?b?c?d
(强、弱)?

a?c

学生活动 :让学生利用上述字母来表示对应概率,并化简整理。 思考交流: | ad ? bc | 越小,说明患肺癌与吸烟之间的关系越 (2)构造随机变量 K 2 ?

n(ad ? bc)2 (其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

由此若 H 0 成立,即患肺癌与吸烟没有关系,则 K 的值应该很小。把表中的数据代入计算得 K 的观测值 k 约为 56.632,统计学中有明确的结论,在 H 0 成立的情况下,随机事件 P(K
2 2

≥6.635)≈0.01。由此,我们有 99%的把握认为 H 0 不成立,即有 99%的把握认为“患肺癌 与吸烟有关系”。 上面这种利用随机变量 K 来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方 法,称为两个分类变量的独立性检验。 说明:估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异是用频率估计概率,利用 K 进行独 立性检验,可以对推断的正确性的概率作出估计,观测数据 a, b, c, d 取值越大,效果越好。 在实际应用中,当 a, b, c, d 均不小于 5,近似的效果才可接受。 (2)这里所说的“患肺癌与吸烟有关系”是一种统计关系,这种关系是指“抽烟的人患肺 癌的可能性(风险)更大”,而不是说“抽烟的人一定患肺癌”。 (3)在假设 H 0 成立的情况下,统计量 K 应该很小,如果由观测数据计算得到 K 的观测值 很大,则在一定程度上说明假设不合理(即统计量 K 越大,“两个分类变量有关系”的可 能性就越大)。 3、对于两个分类变量 A 和 B,推断“A 和 B 有关系”的方法和步骤为: ①利用三维柱形图和二维条形图; ②独立性检验的一般步骤: 第一步,提出假设 H 0 :两个分类变量 A 和 B 没有关系; 第二步,根据 2×2 列联表和公式计算 K 统计量; 第三步,查对课本中临界值表,作出判断。 4、独立性检验与反证法: 反证法原理:在一个已知假设下,如果推出一个矛盾,就证明了这个假设不成立; 独立性检验原理:在一个已知 假设下,如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生,就 推断这个假设不成立。 四、数学运用 例 1 在某医院,因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中,有 214 人秃顶;而另外 772 名 不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175 名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判 断秃顶与患心脏病是否有关系?你所得的结论在什么范围内有效? ① 第一步:教师引导学生作出列联表,并分析列联表,引导学生得出“秃顶与患心脏病有
2 2 2 2 2 2

2

关”的结论; 第二步:教师演示三维柱形图和二维条形图,进一步向学生解释所得到的统计结果; 第三步:由学生计算出 K 2 的值; 第四步:解释结果的含义. ② 通过第 2 个问题,向学生强调“样本只能代表相应总体” ,这里的数据来自于医院的住院 病人, 因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体, 而把这个结论推广到其他群体 则可能会出现错误,除非有其它的证据表明可以进行这种推广. 变式练习:课本 P97 练习 【板书设计】: 【 作 业 布 置 】 : 课本 P97 习题 3.2 第 1 题

3

3.2.1 独立性检验的基本思想及其初步应用 课前预习 阅读教材 P91-P95,了解相关概念,如:分类变量、列联表、独立 性检验。 学习目标 (1)通过对典型案例的探究,了解独立性检验(只要求 2 ? 2 列联 表)的基本思想、方法及初步应用; (2)经历由实际问题建立数学模型的过程,体会其基本方法。 学习重点: 独立性检验的基本方法 学习难点:基本思想的领会 学习过程 一、情境引入 5 月 31 日是世界无烟日。有关医学研究表明,许多疾病,例如: 心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关,吸烟已 成为继高血压之后的第二号全球杀手。 这些疾病与吸烟有关的结论是 怎样得出的呢?我们看一下问题: 某医疗机构为了了解肺癌与吸烟是否有关,进行了一次抽样调 查,共调查了 9965 个人,其中吸烟者 2148 人,不吸烟者 7817 人。 调查结果是:吸烟的 2148 人中有 49 人患肺癌,2099 人未患肺癌; 不吸烟的 7817 人中有 42 人患肺癌,7775 人未患肺癌。 问题:根据这些数据能否断定“患肺癌与吸烟有关”? 二、学生活动 【自主学习】 (1)将上述数据用下表(一)来表示: 不患肺癌 不吸烟 吸烟 总计 (2)估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异: 在不吸烟者中患肺癌的人约占多大比例? ; 患肺癌 总计

4

在吸烟的人中患肺癌的人约占多大比例? 【合作探究】



问题:由上述结论能否得出患肺癌与吸烟有关?把握有多大? 1、观察、分析样本数据的列联表和柱形图、条形图,你能得出什 么结论? 2、该结论能否推广到总体呢? 3、假设 H 0 :患肺癌与吸烟没有关系。则两事件发生的概率有何 关系? 不患肺癌 不吸烟 吸烟 总计 何结论? 4、构造随机变量 K 2 ?
n(ad ? bc)2 (其中 n ? a ? b ? c ? d ) , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

患肺癌 b d b+d

总计 a+b c+d a+b+c+d

a c a+c

试用上表(二)中字母表示两概率及其关系,并化简该式。你能得到

结合 3 中结论,若 H 0 成立,则 K2 应该很

(大、小)

根据表(一)中的数据,利用 4 中公式,计算出 K2 的观测值,该值 说明什么?( 统计学中有明确的结论,在 H 0 成立的情况下,P(K2≥ 6.635)≈0.01。 ) 5、结合表(二)和三维柱形图、二维条形图如何判断两个分类变 量是否有关系?利用独立性检验呢?二者谁更精确? 【当堂检测】 在某医院,因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中,有 214 人 秃顶; 而另外 772 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175 名 秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有 关系? 学校:二中 学科:数学 编写人: 游恒涛 审稿人:马英济 3.2.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
教学目标

5

通过对典型案例的探究,进一步巩固独立性检验的基本思想、方法,并能运用 K2 进行 独立性检验. 教学重点:独立性检验的基本方法 教学难点:基本思想的领会及方法应用 教学过程 一.学生活动 练习: (1)某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系,你认为应该收集哪 些数据?女教授人数,男教授人数,女副教授人数,男副教授人数。 (2)某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下 表: 为了判断主修统计专业是否 专业 非统计专业 统计专业 与性别有关系,根据表中的 性别 数据,得到 13 10 男 K2 7 20 女

?

,∵K2 ? 3.841 , 所以判定主修统计专业与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为 5%) 附:临界值表(部分) :

50 ? (13 ? 20 ? 10 ? 7)2 ? 4.844 23 ? 27 ? 20 ? 30
. (答案:

P (K2≥k0)
k0

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

二.数学运用 例 1 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机 抽取 300 名学生,得到如下列联表: 喜欢数学课程 男 女 总 计 37 35 72 不喜欢数学课程 85 143 228 总 计 122 178 300

由表中数据计算得到 K 2 的观察值 k ? 4.514 . 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否 数学 课程之间有关系?为什么? (学生自练,教师总结) 强调:①使得 P( K 2 ? 3.841) ? 0.05 成 立的前提是假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有 关系”.如果这个前提不成立,上面的概率估计式就不一定正确; ②结论有 95%的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”的含义; ③在熟练掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后,可直接计算 K 2 的值解决实际问题, 而没有必要画相应的图形,但是图形的直观性也不可忽视. 例 2、为研究不同的给药方式(口服或注射)和药的效果(有效与无效)是否有关,进行了 相应的抽样调查,调查结果如表所示。根据所选择的 193 个病人的数据,能否作出药的效果 与给药方式有关的结论?

6

有效 口服 注射 合计 分析:在口服的病人中,有 58 64 122

无效 40 31 71

合计 98 95 193

58 64 ? 59% 的人有效;在注射的病人中,有 ? 67% 的人有效。 98 95

从直观上来看, 口服与注射的病人的用药效果的有效率有一定的差异, 能否认为用药效果与 用药方式一定有关呢?下面用独立性检验的方法加以说明。

说明:如果观测值 K2≤2.706,那么就认为没有充分的证据显示“A 与 B 有关 系”,但也不能作出结论“ H 0 成立”,即 A 与 B 没有关系
小结:独立性检验的方法、原理、步骤 三、巩固练习: 某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响,随机进行调查并得到如下的列联 表:请问有多大把握认为“高中生学习状况与生理健康有关”? 不健康 不优秀 优 总 秀 计 41 37 78 健 626 296 922 康 总计 667 333 1000

7

3.2.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
学习目标 2 通过对典型案例的探究,进一步巩固独立性检验的基本思想、方法,并能运用 K 进行 独立性检验. 学习重点:独立性检验的应用 学习过程 一.前置测评 (1)某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系,你认为应该收集哪 些数据? 。 (2)某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况, 具体数据如 下表: 为了判断主修统计专业是否 专业 非统计专业 统计专业 与性别有关系,根据表中的 性别 数据,得到 男 13 10 2 K 女 7 20

?
2

50 ? (13 ? 20 ? 10 ? 7)2 ? 4.844 23 ? 27 ? 20 ? 30


,∵K ≥3.841, 所以判定主修统计专业与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为 附:临界值表(部分) :

P (K2≥k0)
k0

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

二.典型例题 例 1 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机 抽取 300 名学生,得到如下列联表: 喜欢数学课程 男 女 总 计 37 35 72 不喜欢数学课程 85 143 228 总 计 122 178 300

由表中数据计算得到 K 2 的观察值 k≈4.514. 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否 数学课程之间有关系?为什么? 例 2、为研究不同的给药方式(口服或注射)和药的效果(有效与无效)是否有关,进行了 相应的抽样调查,调查结果如表所示。根据所选择的 193 个病人的数据,能否作出药的效果 与给药方式有关的结论? 有效 口服 注射 合计 58 64 122 无效 40 31 71 合计 98 95 193

谈一谈:结合例 1 和例 2 你如何理解独立性检验。 三、巩固练习: 某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响,随机进行调查并得到如下的列联

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表:请问有多大把握认为“高中生学习状况与生理健康有关”? 不健康 不优秀 优 总 秀 计 41 37 78 健 626 296 922 康 总计 667 333 1000

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