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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版选修2-2【备课资源】1.3.3最大值与最小值


1.3.3

1.3.3 最大值与最小值
【学习要求】
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1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系. 2.会用导数求某定义域上函数的最值. 【学法指导】 弄清极值与最值的区别是学好本节的关键. 函数的最值是一个整体性的概念.函数极值是在局部上对函 数值的比较, 具有相对性; 而函数的最值则是表示函数在整 个定义域上的情况,是对整个区间上的函数值的比较.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.3.3

1.函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最值
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函数 f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线, 则该函数在[a,b]上一定能够取得最大值与最小值,函数的 最值必在 端点 处或 极值点 处取得. 2.求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤: (1)求函数 y=f(x)在(a,b)上的 极值 , (2)将(1)中求得的极值与 f(a),f(b)比较,得到 f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值.

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1.3.3

探究点一 求函数的最值
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问题 1 如图,观察区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象,你能找 出它的极大值、极小值吗?

答案 f(x1),f(x3),f(x5)是函数 y=f(x)的极小值; f(x2),f(x4),f(x6)是函数 y=f(x)的极大值.

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1.3.3

问题 2 观察问题 1 的函数 y=f(x),你能找出函数 f(x)在区间 [a,b]上的最大值、最小值吗?若将区间改为(a,b),f(x) 在(a,b)上还有最值吗?由此你得到什么结论?
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答案 函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 f(a),最小值 是 f(x3).若区间改为(a,b),则 f(x)有最小值 f(x3),无最大值.
结论:一般地,如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一 条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值,且最值必 在端点处或极值点处取得.

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问题 3 函数的极值和最值有什么区别和联系?

1.3.3

答案 函数的最大值、 最小值是比较整个定义区间的函数值 得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函
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数的极值可以有多个,但最值只能有一个;极值只能在区间 内取得,最值则可以在端点处取得;有极值的未必有最值, 有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在 端点处取得必定是极值.
问题 4 怎样求一个函数在闭区间上的最值?
答案 只要求出函数的各个极值和端点处的函数值, 进行比 较即可.

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例 1 求下列函数的最值: (1)f(x)=2x3-12x,x∈[-1,3]; 1 (2)f(x)= x+sin x,x∈[0,2π]. 2 解 (1)f(x)=2x3-12x,
∴f′(x)=6x2-12=6(x+ 2)(x- 2), 令 f′(x)=0,解得 x=- 2或 x= 2.
当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,- 2) + - 2 0 极大值 (- 2, 2) - 2 0 极小值

1.3.3

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( 2,+∞) + ?↗





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1.3.3

所以函数 f(x)的单调增区间为(-∞,- 2),( 2,+∞).
因为 f(-1)=10,f(3)=18,f( 2)=-8 2, f(- 2)=8 2;
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所以当 x= 2时,f(x)取得最小值-8 2;

当 x=3 时,f(x)取得最大值 18.
1 (2)f′(x)= +cos x,令 f′(x)=0,又 x∈[0,2π], 2
2 4 解得 x= π 或 x= π. 3 3

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1.3.3

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: ? ?2 2 4 2 ? 4 ? ? π, π? π π x 0 ?0, 3π? 3 3 3 ? ? ? ?3
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?4 ? ? π,2π? ?3 ?



f′(x) f(x) 0

+ ↗

0 极大值 π 3 + 3 2

- ↘

0 极小值 2 3 π- 3 2

+ ↗ π

∴当 x=0 时,f(x)有最小值 f(0)=0;
当 x=2π 时,f(x)有最大值 f(2π)=π.

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1.3.3

小结
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(1)求函数的最值,显然求极值是关键的一环.但仅仅是

求最值,可用下面简化的方法求得. ①求出导数为零的点. ②比较这些点与端点处函数值的大小, 就可求出函数的最大值 和最小值. (2)若函数在闭区间[a,b]上连续单调,则最大、最小值在端点 处取得.

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跟踪训练 1 求下列函数的最值: (1)f(x)=x3+2x2-4x+5,x∈[-3,1]; (2)f(x)=ex(3-x2),x∈[2,5].
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1.3.3

解 (1)∵f(x)=x3+2x2-4x+5,
∴f′(x)=3x2+4x-4.
2 令 f′(x)=0,得 x1=-2,x2= . 3 ?2? 95 ∵f(-2)=13,f?3?=27,f(-3)=8,f(1)=4, ? ?
95 ∴函数 f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为 . 27 (2)∵f(x)=3ex-exx2,

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1.3.3

∴f′(x)=3ex-(exx2+2exx)=-ex(x2+2x-3) =-ex(x+3)(x-1),
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∵在区间[2,5]上,f′(x)=-ex(x+3)(x-1)<0,
即函数 f(x)在区间[2,5]上单调递减, ∴x=2 时,函数 f(x)取得最大值 f(2)=-e2;
x=5 时,函数 f(x)取得最小值 f(5)=-22e5.

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探究点二 含参数的函数的最值问题 例 2 已知 a 是实数,函数 f(x)=x2(x-a).

1.3.3

(1)若 f′(1)=3,求 a 的值及曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的 切线方程.
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(2)求 f(x)在区间[0,2]上的最大值.

解 (1)f′(x)=3x2-2ax.
因为 f′(1)=3-2a=3, 所以 a=0.又当 a=0 时,f(1)=1,f′(1)=3, 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 3x-y-2=0.

2a (2)令 f′(x)=0,解得 x1=0,x2= 3 .

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2a 当 ≤0,即 a≤0 时,f(x)在[0,2]上单调递增, 3
从而 f(x)max=f(2)=8-4a.
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1.3.3

2a 当 ≥2,即 a≥3 时,f(x)在[0,2]上单调递减, 3 从而 f(x)max=f(0)=0. 2a 当 0< <2,即 0<a<3 时, 3
? ?2a ? 2a? f(x)在?0, 3 ?上单调递减,在? 3 ,2?上单调递增, ? ? ? ?

从而

?8-4a ? f(x)max=? ?0 ?

?0<a≤2? , ?2<a<3?

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1.3.3

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?8-4a ? 综上所述,f(x)max=? ?0 ?

?a≤2? . ?a>2?

小结

由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调

性的变化,从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分 类讨论,并结合不等式的知识进行求解.

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1.3.3

跟踪训练 2 已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大 值为 3,最小值为-29,求 a,b 的值. 解 f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4), f′(x)=0, x1=0, 令 得
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x2=4(舍去).
(1)当 a>0 时,列表如下: x f′(x) f(x) -7a+b -1 (-1,0) + ↗ 0 (0,2) 0 - 2

b ↘? -16 a+b

由表可知,当 x=0 时,f(x)取极大值,也就是函数在[-1,2] 上的最大值,∴f(0)=3,即 b=3.

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又 f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1), ∴f(2)=-16a+3=-29,∴a=2.
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1.3.3

(2)当 a<0 时,同理可得,当 x=0 时,f(x)取极小值,也就是函 数在[-1,2]上的最小值,∴f(0)=-29,即 b=-29.

又 f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),

∴f(2)=-16a-29=3,∴a=-2. 综上可得,a=2,b=3 或 a=-2,b=-29.

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1.3.3

探究点三 函数最值的应用 问题
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函数最值和“恒成立”问题有什么联系?

答案 解决“恒成立”问题, 可将问题转化为函数的最值问 题.如 f(x)>0 恒成立, 只要 f(x)的最小值大于 0 即可.对含参不 等式恒成立问题,求参数范围时,可先分离参数.

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例 3 已知函数 f(x)=(x+1)ln x-x+1. 若 xf′(x)≤x2+ax+1 恒成立,求 a 的取值范围.
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1.3.3



x+1 1 f′(x)= +ln x-1=ln x+ ,xf′(x)=xln x+1,而 x x

xf′(x)≤x2+ax+1(x>0)等价于 ln x-x≤a.

1 令 g(x)=ln x-x,则 g′(x)= -1. x
当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x≥1 时,g′(x)≤0,x=1 是 g(x)的最大值点,∴g(x)≤g(1)=-1.
综上可知,a 的取值范围是 -1,+∞??.
? ? ? ?

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1.3.3

小结
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“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,对

于不能分离参数的恒成立问题,直接求含参函数的最值即可. 一般地,可采用分离参数法.λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max;λ≤f(x) 恒成立?λ≤[f(x)]min.

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跟踪训练 3

1.3.3

设函数 f(x)=2x3-9x2+12x+8c,若对任意的

x∈[0,3],都有 f(x)<c2 成立,求 c 的取值范围.
解 ∵f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2). ∴当 x∈(0,1)时,f′(x)>0;当 x∈(1,2)时,f′(x)<0;
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当 x∈(2,3)时,f′(x)>0. ∴当 x=1 时,f(x)取极大值 f(1)=5+8c. 又 f(3)=9+8c>f(1), ∴x∈[0,3]时,f(x)的最大值为 f(3)=9+8c. ∵对任意的 x∈[0,3],有 f(x)<c2 恒成立, ∴9+8c<c2,即 c<-1 或 c>9. ∴c 的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).

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1.3.3

32 1.函数 f(x)=x3-12x+16,x∈[-2,3]的最大值是______.
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解析 f′(x)=3x2-12=0,∴x=± 2, f(-2)=-8+24+16=32,f(2)=8-24+16=0, f(3)=27-36+16=7,∴ymax=32.

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1.3.3

2.函数 y=x-sin
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?π ? π x,x∈? ,π?的最大值是________. ?2 ?
?π ? x∈?2,π?时,y′>0,则函数 ? ?

解析 因为 y′=1-cos x,当 y

?π ? 在区间?2,π?上为增函数, 所以 ? ?

y 的最大值为 ymax=π-sin π

=π.

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1.3.3

3.若函数 f(x)、g(x)在区间[a,b]上可导,且 f′(x)>g′(x),f(a) =g(a),则在区间[a,b]上有 f(x)与 g(x)的大小关系为
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f(x)≥g(x) ___________.
解析 ∵f′(x)>g′(x),∴f(x)-g(x)单调递增.

∵x≥a,∴f(x)-g(x)≥f(a)-g(a),
即 f(x)-g(x)≥0,即 f(x)≥g(x).

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1.3.3

4.函数 f(x)=x3-3x2-9x+k 在区间[-4,4]上的最大值为 10,

-71 则其最小值为________.
解析 f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).
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由 f′(x)=0 得 x=3 或 x=-1.
又 f(-4)=k-76,f(3)=k-27, f(-1)=k+5,f(4)=k-20.
由 f(x)max=k+5=10,得 k=5,

∴f(x)min=k-76=-71.

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1.3.3

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1.求函数在闭区间上的最值, 只需比较极值和端点处的函数值 即可; 函数在一个开区间内只有一个极值, 这个极值就是最 值. 2.含参数的函数最值,可分类讨论求解. 3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.


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