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【2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习:2.2.1 椭圆及其标准方程


第二章

2.2

第 1 课时

一、选择题 1. 设 F 1, F2 为定点, |F1F2|=6, 动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6, 则动点 M 的轨迹是( A.椭圆 C.圆 [答案] D [解析] ∵|MF1|+|MF2|=6,|F1F2|=6, ∴|MF1|+|MF2|=|F1F2|, ∴点 M 的轨迹是线段 F1F2. x2 y2 2.椭圆 + =1 的焦距是 2,则 m 的值是( m 4 A.5 C.3 或 5 [答案] C [解析] 2c=2,c=1,故有 m-4=1 或 4-m=1, ∴m=5 或 m=3,故选 C. 3.椭圆 ax2+by2+ab=0(a<b<0)的焦点坐标是( A.(± a-b,0) C.(0,± a-b) [答案] D x2 y2 [解析] ax2+by2+ab=0 可化为 + =1, - b -a ∵a<b<0,∴-a>-b>0, ∴焦点在 y 轴上,c= -a+b= b-a, ∴焦点坐标为(0,± b-a). 4.(2014· 长春市高二期末调研)中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 18,且两个焦点 恰好将长轴三等分的椭圆的方程是( x2 y2 A. + =1 81 45 x2 y2 C. + =1 81 72 [答案] C 1 [解析] 由长轴长为 18 知 a=9, ∵两个焦点将长轴长三等分, ∴2c= (2a)=6, ∴c=3, 3 ) x2 y2 B. + =1 81 9 x2 y2 D. + =1 81 36 ) ) B.直线 D.线段 )

B.3 或 8 D.20

B.(± b-a,0) D.(0,± b-a)

∴b2=a2-c2=72,故选 C. x2 y2 5.已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上.若 P、F1、F2 是 16 9 一个直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( 9 A. 5 9 7 C. 7 [答案] D [解析] a2=16,b2=9?c2=7?c= 7. ∵△PF1F2 为直角三角形.且 b=3> 7=c. ∴F1 或 F2 为直角三角形的直角顶点, ∴点 P 的横坐标为± 7, 7 y2 81 9 设 P(± 7,|y|),把 x=± 7代入椭圆方程,知 + =1?y2= ?|y|= . 16 9 16 4 6.(2014· 洛阳市期末)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F( 15,0),直线 y=x 与椭 圆的一个交点的横坐标为 2,则椭圆方程为( x A. +y2=1 16 x2 y2 C. + =1 20 5 [答案] C [解析] 由椭圆过点(2,2),排除 A、B、D,选 C. 二、填空题 7.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆与 x 轴的一个交点到两焦点的距离 分别为 3 和 1,则椭圆的标准方程为________. [答案] x2 y2 + =1 4 3
2

)

B.3 9 D. 4

) y2 B.x2+ =1 16 x2 y2 D. + =1 5 20

? ? ?a+c=3, ?a=2, [解析] 由题意可得? ∴? ?a-c=1. ? ? ?c=1.

x2 y2 故 b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为 + =1. 4 3 x2 y2 8.如图所示,F1,F2 分别为椭圆 2+ 2=1 的左、右焦点,点 P 在椭圆 a b 上,△POF2 是面积为 3的正三角形,则 b2=________________. [答案] 2 3 [解析] 由题意 S△POF2= 3 2 c = 3,∴c=2,∴a2=b2+4. 4

x2 y2 ∴点 P 坐标为(1, 3),把 x=1,y= 3代入椭圆方程 2 + 2=1 中得, b +4 b 1 3 + 2=1,解得 b2=2 3. b b +4
2

三、解答题 9.已知椭圆的中心在原点,且经过点 P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程. x2 y2 9 [解析] 当焦点在 x 轴上时,设其方程为 2+ 2=1(a>b>0).由椭圆过点 P(3,0),知 2+ a b a 0 x2 2 2 2 =1,又 a=3b,解得 b =1,a =9,故椭圆的方程为 +y =1. b2 9 y2 x2 当焦点在 y 轴上时,设其方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 0 9 由椭圆过点 P(3,0),知 2+ 2=1,又 a=3b,联立解得 a2=81,b2=9,故椭圆的方程 a b y2 x2 为 + =1. 81 9 y2 x2 x2 故椭圆的标准方程为 + =1 或 +y2=1. 81 9 9 1 1 10.已知点 A(- ,0),B 是圆 F:(x- ) 2+y2=4(F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直 2 2 平分线交 BF 于 P,求动点 P 的轨迹方程. [解析] 如图所示,由题意知,

|PA|=|PB|,|PF|+|BP|=2, ∴|PA|+|PF|=2,且|PA|+|PF|>|AF|, ∴动点 P 的轨迹是以 A、F 为焦点的椭圆, 1 3 ∴a=1,c= ,b2= . 2 4 y2 4 ∴动点 P 的轨迹方程为 x2+ =1,即 x2+ y2=1. 3 3 4

一、选择题 x2 y2 11.已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是( |m|-1 2-m A.m<2 B.1<m<2 )

C.m<-1 或 1<m<2 [答案] D |m|-1>0, ? ? [解析] 由题意得?2-m>0, ? ?2-m>|m|-1. m>1或m<-1, ? ?m<2, 即? 3 ? ?m<2. 3 ∴1<m< 或 m<-1,故选 D. 2

3 D.m<-1 或 1<m< 2

[点评] 解答本题应注意,方程表示椭圆,分母应取正值,焦点在 y 轴上,含 y2 项的分 母较大,二者缺一不可. 12.若△ABC 的两个焦点坐标为 A(-4,0)、B(4,0),△ABC 的周长为 18,则顶点 C 的轨 迹方程为( ) y2 x2 B. + =1(y≠0) 25 9 x2 y2 D. + =1(y≠0) 25 9 x2 y2 A. + =1 25 9 x2 y2 C. + =1(y≠0) 16 9 [答案] D [解析] ∵|AB|=8,△ABC 的周长为 18,∴|AC|+|BC|=10>|AB|,故点 C 轨迹为椭圆且 两焦点为 A、B,又因为 C 点的纵坐标不能为零,所以选 D. 13.已知椭圆的两个焦点分别是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q, 使得|PQ|=|PF2|,那么动点 Q 的轨迹是( A.圆 C.射线 [答案] A [解析] ∵|PQ|=|PF2|且|PF1|+|PF2|=2a, ∴|PQ|+|PF1|=2a, 又∵F1、P、Q 三点共线, ∴|PF1|+|PQ|=|F1Q|,∴|F1Q|=2a. 即 Q 在以 F1 为圆心,以 2a 为半径的圆上. 14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(0,-2)和 C(0,2),顶点 B 在椭圆 sinA+sinC y2 x2 + =1 上,则 的值是( 12 8 sinB ) ) B.椭圆 D.直线

A. 3 C.2 3 [答案] A [解析] 由椭圆定义得|BA|+|BC|=4 3,

B.2 D.4

sinA+sinC |BC|+|BA| 4 3 又∵ = = = 3,故选 A. sinB |AC| 4 二、填空题 15.已知椭圆的焦点是 F1(-1,0),F2(1,0),P 是椭圆上的一点,若|F1F2|是|PF1|和|PF2| 的等差中项,则该椭圆的方程是________. [答案] x2 y2 + =1 4 3

[解析] 由题意得 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|, ∴4c=2a,∵c=1,∴a=2. ∴b2=a2-c2=3, x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3 x2 y2 16.如图,把椭圆 + =1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆 25 16 的上半部分于 P1、P2、?、P7 七个点,F 是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+?+|P7F|= ________.

[答案] 35 [解析] 设椭圆右焦点为 F′,由椭圆的对称性知, |P1F|=|P7F′|,|P2F|=|P6F′|,|P3F|=|P5F′|, 1 ∴原式= (|P7F|+ |P7F′|) + (|P6F|+ |P6F′|) + (|P5F|+ |P5F′|) + (|P4F|+ |P4F′|) = 7a = 2 35. [点评] 对椭圆的定义要正确理解、熟练运用,解决与焦点有关的问题时,要结合图形 看能否运用定义. 三、解答题 17.(2013· 四川省绵阳中学月考)求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在 y 轴上,焦距是 4,且经过点 M(3,2); (2)a c= ,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为 26.

[解析] (1)由焦距是 4 可得 c=2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知,2a = 32+?2+2?2+ 32+?2-2?2=8, 所以 a=4,所以 b2=a2-c2=16-4=12. 又焦点在 y 轴上, y2 x2 所以椭圆的标准方程为 + =1. 16 12 a 13 (2)由题意知,2a=26,即 a=13,又 = ,所以 c=5, c 5 所以 b2=a2-c2=132-52=144, 因为焦点所在的坐标轴不确定, x2 y2 y2 x2 所以椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 169 144 169 144 [点评] 用待定系数法求椭圆的标准方程时, 要首先进行“定位”, 即确定焦点的位置; 其次是进行“定量”,即求 a、b 的大小,a、b、c 满足的关系有:①a2=b2+c2;②a>b>0; ③a>c>0. 若不能确定焦点的位置,可进行分类讨论或设为 mx2+ny2=1(m>0,n>0)的形式. x2 y2 π 18.已知 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上任一点,若∠F1PF2= , 100 64 3 求△F1PF2 的面积. [解析] 设|PF1|=m,|PF2|=n. 根据椭圆定义有 m+n=20, 又 c= 100-64=6,∴在△F1PF2 中, π 由余弦定理得 m2+n2-2mncos =122, 3 ∴m2+n2-mn=144,∴(m+n)2-3mn=144, 256 ∴mn= , 3 1 ∴S△F1PF2= |PF1||PF2|sin∠F1PF2 2 1 256 3 64 3 = × × = . 2 3 2 3


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