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2016高考数学大一轮复习 9.5椭圆教师用书 理 苏教版


§9.5





1.椭圆的概念 平面内到两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于 F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点 叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 集合 P={M|MF1+MF2=2a},F1F2=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数: (1)若 a>c,则集合 P 为椭圆; (2)若 a=c,则集合 P 为线段; (3)若 a<c,则集合 P 为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

x2 y2 + =1 a2 b2
(a>b>0)

y2 x2 + =1 a2 b2
(a>b>0)

图形

范围 对称性 顶点 性质 轴 焦距 离心率

-a≤x≤a -b≤x≤b 对称轴:坐标轴

-b≤y≤b -a≤y≤a 对称中心:原点

A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b

F1F2=2c c e= ∈(0,1) a c2=a2-b2

a,b,c
的关系 [知识拓展] 点 P(x0,y0)和椭圆的关系

1

(1)点 P(x0,y0)在椭圆内? 2+ 2<1. (2)点 P(x0,y0)在椭圆上? 2+ 2=1.

x2 y2 0 0 a b x2 y2 0 0 a b

x2 y2 0 0 (3)点 P(x0,y0)在椭圆外? 2+ 2>1. a b
【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ? ) (2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1,F2 构成△PF1F2 的周长为 2a+2c(其中 a 为椭圆的长半轴长,c 为椭圆的半焦距).( √ ) (3)椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆.( ? ) (4)方程 mx +ny =1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( √ ) (5) 2+ 2=1 (a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆.( ? ) (6) 2+ 2=1 (a>b>0)与 2+ 2=1(a>b>0)的焦距相同.( √ )
2 2

y2 x2 a b x2 y2 a b

y2 x2 a b

1.椭圆 + =1 的焦距为 4,则 m=________. 10-m m-2 答案 4 或 8 解析 当焦点在 x 轴上时,10-m>m-2>0, 10-m-(m-2)=4,∴m=4. 当焦点在 y 轴上时,m-2>10-m>0,m-2-(10-m)=4, ∴m=8. 1 2.(2013?广东改编)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 ,则 C 的 2 方程是________. 答案

x2

y2

x2 y2
4

+ =1 3
2 2

c 1 x y 2 2 2 解析 由题意知 c=1,e= = ,所以 a=2,b =a -c =3.故所求椭圆方程为 + =1. a 2 4 3
3. 设 P 是椭圆 + =1 上的点, 若 F1、 F2 是椭圆的两个焦点, 则△PF1F2 的周长为________. 25 16 答案 16 解析 △PF1F2 的周长为 PF1+PF2+F1F2
2

x2

y2

=2a+2c=10+6=16. 4.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两焦点为 F1、F2,以 F1F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分 正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为________. 答案 3-1

x2 y2 a b

解析 设过左焦点 F1 的正三角形的边交椭圆于 A,则 AF1=c,AF2= 3c,有 2a=(1+ 3)c,

c 2 ∴e= = = 3-1. a 1+ 3

题型一 椭圆的定义及标准方程 例 1 (1)已知圆(x+2) +y =36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,且点 N(2,0),线段 AN 的 垂直平分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是________. (2)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的 3 倍,并且过点 P(3,0),则椭圆的方程为 ________________. (3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P1( 6,1)、P2(- 3,- 2), 则椭圆的方程为________. 思维点拨 (1)主要考虑椭圆的定义; (2)要分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况; (3)可以用待定系数法求解. 答案 (1)椭圆 (2) +y =1 或 + =1 9 81 9 (3) + =1 9 3 解析 (1)点 P 在线段 AN 的垂直平分线上, 故 PA=PN, 又 AM 是圆的半径, ∴PM+PN=PM+PA=AM=6>MN, 由椭圆定义知,P 的轨迹是椭圆. (2)若焦点在 x 轴上,设方程为 2+ 2=1(a>b>0), 3 0 ∵椭圆过点 P(3,0),∴ 2+ 2=1,即 a=3,
2 2 2 2

x2

2

y2

x2

x2 y2

x2 y2 a b

a

b

又 2a=3?2b,∴b=1,方程为 +y =1. 9
3

x2

2

若焦点在 y 轴上,设方程为 2+ 2=1(a>b>0), 0 3 ∵椭圆过点 P(3,0).∴ 2+ 2=1,即 b=3.
2 2

y2 x2 a b b

a

又 2a=3?2b,∴a=9,∴方程为 + =1. 81 9 ∴所求椭圆的方程为 +y =1 或 + =1. 9 81 9 (3)设椭圆方程为 mx +ny =1(m>0,n>0 且 m≠n). ∵椭圆经过点 P1、P2,∴点 P1、P2 的坐标适合椭圆方程.
?6m+n=1, ? 则? ? ?3m+2n=1, ②
2 2

y2

x2

x2

2

y2

x2



1 ? ?m=9, ①、②两式联立,解得? 1 n= . ? ? 3 ∴所求椭圆方程为 + =1. 9 3 思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法, 利用椭圆的定义定形状时, 一定要 注意常数 2a>F1F2 这一条件. (2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点 所在位置,然后再根据条件建立关于 a,b 的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两 解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为 mx +ny =1 (m>0,n>0,m≠n)的形式. (1) 过点 ( 3 ,- 5) ,且与椭圆 ________________. (2)(2014?安徽)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x + 2=1(0<b<1)的左,右焦点,过点 F1 的直线交 椭圆 E 于 A,B 两点.若 AF1=3F1B,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为______________________. 答案 (1) + =1 20 4
2 2 2

x2 y2

+ = 1 有相同焦点的椭圆的标准方程为 25 9

y2

x2

y2 b

y2

x2

3 2 2 (2)x + y =1 2

解析 (1)方法一 椭圆 + =1 的焦点为(0,-4),(0,4),即 c=4. 25 9 由椭圆的定义知,2a= ? 3-0? +?- 5+4? + ? 3-0? +?- 5-4? ,解得
2 2 2 2

y2

x2

a=2 5.
由 c =a -b 可得 b =4.
2 2 2 2

4

∴所求椭圆的标准方程为 + =1. 20 4 方法二 ∵所求椭圆与椭圆
2

y2

x2

+ =1 的焦点相同, 25 9

y2

x2

∴其焦点在 y 轴上,且 c =25-9=16.

y2 x2 设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b
∵c =16,且 c =a -b ,故 a -b =16.① 又点( 3,- 5)在所求椭圆上, ∴ ?- 5?
2 2 2 2 2 2 2

a2 a b

? 3? + =1, 2

2

b

5 3 即 2+ 2=1.② 由①②得 b =4,a =20, ∴所求椭圆的标准方程为 + =1. 20 4 (2)设点 B 的坐标为(x0,y0). ∵x + 2=1, ∴F1(- 1-b ,0),F2( 1-b ,0). ∵AF2⊥x 轴,∴A( 1-b ,b ). → → ∵AF1=3F1B,∴AF1=3F1B, ∴(-2 1-b ,-b )=3(x0+ 1-b ,y0). 5 b 2 ∴x0=- 1-b ,y0=- . 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y2

x2

y2 b

b? 2 ? 5 ∴点 B 的坐标为?- 1-b ,- ?. 3? ? 3 b? y 2 ? 5 2 将 B?- 1-b ,- ?代入 x + 2=1, 3 3 b ? ?
2 2 得b= . 3 3 2 2 ∴椭圆 E 的方程为 x + y =1. 2 题型二 椭圆的几何性质 例2 (2014?江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别是
2 2

2

椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连结

x2 y2 a b

5

BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连结 F1C.

?4 1? (1)若点 C 的坐标为? , ?,且 BF2= 2,求椭圆的方程; ?3 3?
(2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值. 思维点拨 (1)根据椭圆的定义,建立方程关系即可求出 a、b 的值. (2)求出 C 的坐标,利用 F1C⊥AB 建立斜率之间的关系,解方程即可求出 e 的值. 解 设椭圆的焦距为 2c,则 F1(-c,0),F2(c,0). (1)因为 B(0,b),所以 BF2= b +c =a. 又 BF2= 2,故 a= 2.
2 2

?4 1? 因为点 C? , ?在椭圆上, ?3 3?
16 1 9 9 2 所以 2 + 2=1,解得 b =1.

a

b

故所求椭圆的方程为 +y =1. 2 (2)因为 B(0,b),F2(c,0)在直线 AB 上, 所以直线 AB 的方程为 + =1.

x2

2

x y c b

? ? 解方程组? x y ? ?a +b =1,
x y + =1, c b
2 2 2 2 2

? ? 得? b?c -a ? ? ?y = a +c ,
2 2 1 2 2 2 2

2 2a c x1= 2 2, a +c

? ?x2=0, ? ? ?y2=b.

所以点 A 的坐标为?

a c b?c -a ?? ?2 . 2 2, a2+c2 ? ? a +c ?
2 2 2

又 AC 垂直于 x 轴,由椭圆的对称性, 可得点 C 的坐标为?

a c b?a -c ?? ?2 . 2 2, a2+c2 ? ? a +c ?

b?a2-c2? -0 a2+c2 b?a2-c2? 因为直线 F1C 的斜率为 2 = 2 3 , 2a c 3a c+c 2 2-?-c? a +c
直线 AB 的斜率为- ,且 F1C⊥AB, 所以

b c

b?a2-c2? ? b? 2 3 ??- ?=-1. 3a c+c ? c?
2 2 2 2

又 b =a -c ,整理得 a =5c .

2

6

1 5 2 故 e = ,因此 e= . 5 5 思维升华 求椭圆的离心率的方法: (1)直接求出 a、c 来求解 e,通过已知条件列方程组,解出 a、c 的值; (2)构造 a、c 的齐次式,解出 e,由已知条件得出 a、c 的二元齐次方程,然后转化为关于离 心率 e 的一元二次方程求解; (3)通过特殊值或特殊位置,求出离心率. (1)已知点 F1,F2 是椭圆 x +2y =2 的两个焦点,点 P 是该椭圆上的一个动点, → → 那么|PF1+PF2|的最小值是________. (2)(2013?辽宁)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,椭圆 C 与过原点的直线相 4 交于 A,B 两点,连结 AF,BF.若 AB=10,AF=6,cos∠ABF= ,则 C 的离心率 e=________. 5 5 答案 (1)2 (2) 7 → 解析 (1)设 P(x0,y0),则PF1=(-1-x0,-y0),
2 2

x2 y2 a b

PF2=(1-x0,-y0),∴PF1+PF2=(-2x0,-2y0),
→ → 2 2 ∴|PF1+PF2|= 4x0+4y0 =2 2-2y0+y0 =2 -y0+2. ∵点 P 在椭圆上,∴0≤y0≤1, → → 2 ∴当 y0=1 时,|PF1+PF2|取最小值 2. 4 (2)如图,在△ABF 中,AB=10,AF=6,且 cos∠ABF= , 5 设 BF=m, 由余弦定理,得 4 2 2 2 6 =10 +m -20m? , 5 ∴m -16m+64=0,∴m=8. 1 因此 BF=8,AF⊥BF,c=OF= AB=5. 2 设椭圆右焦点为 F′,连结 BF′,AF′, 由对称性,得 BF′=AF=6, ∴2a=BF+BF′=14.
7
2 2 2 2 2







c 5 ∴a=7,因此离心率 e= = . a 7
题型三 直线与椭圆位置关系的相关问题 例 3 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 B(0,4),离心率 e=

x2 y2 a b

5 ,直线 l 交椭圆于 M, 5

N 两点.
(1)若直线 l 的方程为 y=x-4,求弦 MN 的长. (2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F,求直线 l 方程的一般式. 思维点拨 直线与圆锥曲线的位置关系问题,一般可以直接联立方程,“设而不求”,把方 程组转化成关于 x 或 y 的一元二次方程,利用根与系数的关系及弦长公式求解. 解 (1)由已知得 b=4,且 = ∴

c a

5 c 1 ,即 2= , 5 a 5

2

a2-b2 1 2 = ,解得 a =20, a2 5 x2 y2

∴椭圆方程为 + =1. 20 16 则 4x +5y =80 与 y=x-4 联立, 40 2 消去 y 得 9x -40x=0,∴x1=0,x2= , 9 ∴所求弦长 MN= 1+1 |x2-x1|=
2 2 2

40 2 . 9

(2)椭圆右焦点 F 的坐标为(2,0),设线段 MN 的中点为 Q(x0, 由三角形重心的性质知 →

y0),

BF=2FQ,
又 B(0,4),∴(2,-4)=2(x0-2,y0),故得 x0=3,y0=-2, 即得 Q 的坐标为(3,-2). 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x1+x2=6,y1+y2=-4, 且 + =1, + =1, 20 16 20 16 ?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? 以上两式相减得 + =0, 20 16 ∴kMN=



x2 1

y2 1

x2 2

y2 2

y1-y2 4 x1+x2 =- ? x1-x2 5 y1+y2

4 6 6 =- ? = , 5 -4 5

8

6 故直线 MN 的方程为 y+2= (x-3), 5 即 6x-5y-28=0. 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题, 其常规思路是先把直线方程与椭圆方 程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问 题常常用“点差法”解决,往往会更简单. (2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 AB= ?1+k ?[?x1+x2? -4x1x2] = 1 2 ?1+ 2?[?y1+y2? -4y1y2](k 为直线斜率).
2 2

k

提醒: 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的, 不要忽略判别式. (2014?课标全国Ⅱ)设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN=5F1N,求 a,b. 解 (1)根据 c= a -b 及题设知 M(c, ),
2 2

x2 y2 a b

b2 a

b2 a 3 2 = ,2b =3ac. 2c 4
将 b =a -c 代入 2b =3ac,
2 2 2 2

c 1 c 解得 = , =-2(舍去). a 2 a
1 故 C 的离心率为 . 2 (2)由题意,得原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴, 所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点, 故 =4,即 b =4a.① 由 MN=5F1N 得 DF1=2F1N. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则
?2?-c-x1?=c, ? ? ?-2y1=2, ?

b2 a

2

3 ? ?x1=- c, 2 即? ? ?y1=-1.

9

9c 1 代入 C 的方程,得 2+ 2=1.② 4a b 9?a -4a? 1 2 2 将①及 c= a -b 代入②得 + =1. 2 4a 4a 解得 a=7,b =4a=28,故 a=7,b=2 7.
2 2

2

高考中求椭圆的离心率问题 1 x y 典例: (1)(2014?江西)过点 M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)相交于 A, 2 a b
2 2

B 两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于________.
(2)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0)、F2(c,0),若椭圆上存在点 P 使

x2 y2 a b

a
sin∠PF1F2



c
sin∠PF2F1

, 则 椭 圆 的 离 心 率 的 取 值 范 围 为

______________________________. 思维点拨 (1)利用点差法得出关于 a,b 的方程. (2)由正弦定理将已知等式转化为 PF1、PF2 的等量关系.

解析 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

? ? ?x y ? ?a +b =1,
2 2 2 2 2 2

x2 y2 1 1 2+ 2=1, a b

∴ ∴ ∵

?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? + =0, 2 2

a

b

y1-y2 b2 x1+x2 =- 2? . x1-x2 a y1+y2 y1-y2 1 =- , x1-x2 2

x1+x2=2,y1+y2=2, b2 1 ∴- 2=- , a 2
∴a =2b .又∵b =a -c , ∴a =2(a -c ),∴a =2c ,∴ = (2)依题意及正弦定理, 得
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

c a

2 . 2

PF2 a = (注意到 P 不与 F1F2 共线), PF1 c
10

即 ∴

PF2 a = , 2a-PF2 c
2a c 2a c 2a -1= ,∴ = +1> , PF2 a PF2 a a+c

2 2 即 e+1> ,∴(e+1) >2. 1+e 又 0<e<1,因此 2-1<e<1. 答案 (1) 2 2 (2)( 2-1,1)

温馨提醒 离心率是椭圆的重要几何性质,是高考重点考查的一个知识点.这类问题一般有 两类:一类是根据一定的条件求椭圆的离心率;另一类是根据一定的条件求离心率的取值范 围.无论是哪类问题,其难点都是建立关于 a,b,c 的关系式(等式或不等式),并且最后要 把其中的 b 用 a,c 表达,转化为关于离心率 e 的关系式,这是化解有关椭圆的离心率问题难 点的根本方法.

方法与技巧 1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性,正确理解、掌握定义是关键,应注意定义中的常数大 于 F1F2,避免了动点轨迹是线段或不存在的情况. 2.求椭圆方程的方法,除了直接根据定义外,常用待定系数法. 当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时,设方程为 + =1 (m>0,n>0,且 m≠n) 可以避免讨论和烦琐的计算,也可以设为 Ax +By =1 (A>0,B>0,且 A≠B),这种形式在解 题中更简便. 3.讨论椭圆的几何性质时,离心率问题是重点,求离心率的常用方法有以下两种: (1)求得 a,c 的值,直接代入公式 e= 求得; (2)列出关于 a,b,c 的齐次方程(或不等式),然后根据 b =a -c ,消去 b,转化成关于 e 的方程(或不等式)求解. 失误与防范 1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中 x 与 y 的分母大小. 2.注意椭圆的范围,在设椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)上点的坐标为 P(x,y)时,则|x|≤a,这往 往在求与点 P 有关的最值问题中用到,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.
11
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 m n

c a

x2 y2 a b

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1P 的中点,OM=3, 25 16 则 P 点到椭圆左焦点的距离为________. 答案 4 1 解析 由题意知 OM= PF2=3, 2 ∴PF2=6,∴PF1=2?5-6=4. 2.若椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,且长轴长是短轴长的两倍.则 m 的值为________. 答案 1 4
2 2 2

x2

y2

解析 将原方程变形为 x + =1. 1

y2 m

1 2 2 由题意知 a = ,b =1,∴a=

1

m

m

,b=1.



1 1 =2,∴m= . m 4
2 2

3.(2014?福建改编)设 P,Q 分别为圆 x +(y-6) =2 和椭圆 +y =1 上的点,则 P,Q 两 10 点间的最大距离是________. 答案 6 2 解析 如图所示,设以(0,6)为圆心,以 r 为半径的圆的方程 为 x +(y-6) =r (r>0), 与椭圆方程 +y =1 联立得方程组, 10 消掉 x 得 9y +12y+r -46=0. 令 Δ =12 -4?9(r -46)=0, 解得 r =50,即 r=5 2. 由题意易知 P,Q 两点间的最大距离为 r+ 2=6 2. 4.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A、B,左、右焦点分别是 F1、F2,若 AF1,F1F2,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2

2

x2

2

x2 y2 a b

F1B 成等比数列,则此椭圆的离心率为________.

12

答案

5 5
2

解析 由题意知 AF1=a-c,F1F2=2c,F1B=a+c,且三者成等比数列,则 F1F2=AF1?F1B, 即 4c =a -c ,a =5c , 1 5 2 所以 e = ,所以 e= . 5 5
2 2 2 2 2

x2 y2 5.已知圆 M:x +y +2mx-3=0(m<0)的半径为 2,椭圆 C: 2+ =1 的左焦点为 F(-c,0), a 3
2 2

若垂直于 x 轴且经过 F 点的直线 l 与圆 M 相切,则 a 的值为________. 答案 2 解析 圆 M 的方程可化为(x+m) +y =3+m , 则由题意得 m +3=4,即 m =1(m<0), ∴m=-1,则圆心 M 的坐标为(1,0). 由题意知直线 l 的方程为 x=-c, 又∵直线 l 与圆 M 相切,∴c=1,∴a -3=1,∴a=2. 6.(2013?福建)椭圆 Г : 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线
2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

y = 3(x + c) 与椭圆 Г 的一个交点 M 满足∠MF1F2 =2∠MF2F1 ,则该椭圆的离心率等于
________. 答案 3-1

解析 由直线方程为 y= 3(x+c), 知∠MF1F2=60°,又∠MF1F2=2∠MF2F1, 所以∠MF2F1=30°,

MF1⊥MF2,
所以 MF1=c,MF2= 3c, 所以 MF1+MF2=c+ 3c=2a. 即 e= = 3-1. 7.(2014?辽宁)已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称 9 4 点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则 AN+BN=________. 答案 12 解析 椭圆 + =1 中,a=3. 9 4 如图,设 MN 的中点为 D,

c a

x2 y2

x2 y2

13

则 DF1+DF2=2a=6. ∵D,F1,F2 分别为 MN,AM,BM 的中点, ∴BN=2DF2,

AN=2DF1,
∴AN+BN=2(DF1+DF2)=12. 8.椭圆 +y =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,点 P 为椭圆上一动点,若∠F1PF2 为钝角,则 4 点 P 的横坐标的取值范围是________. 2 6 2 6 答案 (- , ) 3 3 解析 设椭圆上一点 P 的坐标为(x,y), → → 则F1P=(x+ 3,y),F2P=(x- 3,y). → → ∵∠F1PF2 为钝角,∴F1P?F2P<0, 即 x -3+y <0,① ∵y =1- ,代入①得 x -3+1- <0, 4 4 3 2 8 x <2,∴x2< . 4 3 2 6 2 6 2 6 2 6 解得- <x< ,∴x∈(- , ). 3 3 3 3 9.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点 M 在圆 x +y =1 上, 求 m 的值.
2 2 2 2 2

x2

2

x2

2

x2

x2 y2 a b

2 ,其中左焦点为 F(-2,0). 2



c 2 ? = , ?a 2 (1)由题意,得? c=2, ? ?a =b +c .
2 2 2

解得?

?a=2 2, ?b=2.

∴椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4 (2)设点 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 线段 AB 的中点为 M(x0,y0),

x2 y2

14

x y ? ? + =1, 由? 8 4 ? ?y=x+m.
2

2

2

消去 y 得,3x +4mx+2m -8=0,

2

2

Δ =96-8m >0,∴-2 3<m<2 3, ∵x0=

x1+x2
2

2m m =- ,∴y0=x0+m= , 3 3
2 2

∵点 M(x0,y0)在圆 x +y =1 上, 2m 2 m 2 3 5 ∴(- ) +( ) =1,∴m=± . 3 3 5

x2 y2 10.(2014?重庆)如图,设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1, a b F1F2 2 F2,点 D 在椭圆上,DF1⊥F1F2, =2 2,△DF1F2 的面积为 . DF1 2
(1)求椭圆的标准方程; (2)设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点, 且圆在这两个交点处的两条切线相 互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径. 解 (1)设 F1(-c,0),F2(c,0),其中 c =a -b . 由
2 2 2

F1F2 F1F2 2 =2 2,得 DF1= = c. DF1 2 2 2

1 2 2 2 从而 S? DF1F2 = DF1?F1F2= c = , 2 2 2 故 c=1. 从而 DF1= 2 , 2

9 2 2 2 由 DF1⊥F1F2,得 DF2=DF1+F1F2= , 2 3 2 因此 DF2= ,所以 2a=DF1+DF2=2 2, 2 故 a= 2,b =a -c =1. 因此,所求椭圆的标准方程为 +y =1. 2 (2)如图, 设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 +y =1 相交, P1(x1, y1), P2(x2, 2
2 2 2

x2

2

x2

2

y2)是两个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2 是圆 C 的切线,且 F1P1⊥F2P2.
由圆和椭圆的对称性,易知 x1=-x2,y1=y2,P1P2=2|x1|. 由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0),

15

→ → 所以F1P1=(x1+1,y1),F2P2=(-x1-1,y1). 再由 F1P1⊥F2P2,得-(x1+1) +y1=0. 由椭圆方程得 1- =(x1+1) , 2 4 2 即 3x1+4x1=0,解得 x1=- 或 x1=0. 3 当 x1=0 时,P1,P2 重合,此时题设要求的圆不存在. 4 当 x1=- 时,过 P1,P2 分别与 F1P1,F2P2 垂直的直线的交点即为圆心 C. 3 由 F1P1,F2P2 是圆 C 的切线,且 F1P1⊥F2P2, 知 CP1⊥CP2,又 CP1=CP2, 故圆 C 的半径 CP1= 2 4 2 P1P2= 2|x1|= . 2 3 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1.(2014?大纲全国改编)已知椭圆 C: 2+ 2=1 (a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 3 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为________. 3 答案
2 2

x2 1

2

x2 y2 a b

x2 y2
3

+ =1 2

解析 ∵△AF1B 的周长为 4 3,∴4a=4 3, ∴a= 3,∵离心率为
2 2

3 ,∴c=1, 3

∴b= a -c = 2,∴椭圆 C 的方程为 + =1. 3 2 2.(2013?四川改编)从椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,

x2 y2

x2 y2 a b

A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则
该椭圆的离心率是________. 答案 2 2

解析 由题意可设 P(-c,y0)(c 为半焦距),

y0 b kOP=- ,kAB=- ,由于 OP∥AB, c a
∴- =- ,y0= ,

y0 c

b a

bc a

16

bc? ?-c? ? 把 P?-c, ?代入椭圆方程得 + 2

2

?

a?

?bc?2 ?a? ? ?
b2

a

=1,

c 2 ?c?2 1 而? ? = ,∴e= = . a 2 a 2 ? ?
3.已知 F1、F2 是椭圆 C 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,且满足 PF1=2PF2,∠PF1F2=30°, 则椭圆的离心率为________. 答案 3 3

解析 在三角形 PF1F2 中,由正弦定理得 sin∠PF2F1=1,即∠PF2F1= π . 2

设 PF2=1,则 PF1=2,F2F1= 3. 2c 3 ∴离心率 e= = . 2a 3 4.点 P 是椭圆 + =1 上一点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,且△PF1F2 的内切圆半径为 1, 25 16 当 P 在第一象限时,P 点的纵坐标为________. 答案 8 3

x2

y2

解析 PF1+PF2=10,F1F2=6,

S? PF1F2 = (PF1+PF2+F1F2)?1=8
1 8 = F1F2?yP=3yP.所以 yP= . 2 3 5.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(6,4), 25 16 则 PM+PF1 的最大值为________. 答案 15 解析 PF1+PF2=10,PF1=10-PF2,

1 2

x2

y2

PM+PF1=10+PM-PF2,
易知 M 点在椭圆外,连结 MF2 并延长交椭圆于 P 点, 此时 PM-PF2 取最大值 MF2, 故 PM+PF1 的最大值为 10+MF2=10+ ?6-3? +4 =15. 1 3 6.已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,且经过点 M(1, ). 2 2
17
2 2

(1)求椭圆 C 的方程; → → →2 (2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A, B, 满足PA?PB=PM ?若存 在,求出直线 l1 的方程;若不存在,请说明理由. 解 (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),

x2 y2 a b

? ? 由题意得?c 1 = , a 2 ? ?a =b +c ,
1
2 2 2 2

9 + 2=1, a 4b 解得 a =4,b =3.
2 2

故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)假设存在直线 l1 且由题意得斜率存在, 设满足条件的方程为 y=k1(x-2)+1,代入椭圆 C 的方程得, (3+4k1)x -8k1(2k1-1)x+16k1-16k1-8=0. 因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B, 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 所以 Δ =[-8k1(2k1-1)] -4(3+4k1)?(16k1-16k1-8)=32(6k1+3)>0, 1 所以 k1>- . 2 8k1?2k1-1? 16k1-16k1-8 又 x1+x2= ,x1x2= , 2 2 3+4k1 3+4k1 → → →2 因为PA?PB=PM , 5 即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)= , 4 →2 5 2 所以(x1-2)(x2-2)(1+k1)=PM = . 4 5 2 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k1)= . 4 16k1-16k1-8 8k1?2k1-1? 2 所以[ -2? +4]?(1+k1) 2 2 3+4k1 3+4k1 = 4+4k1 5 1 2= ,解得 k1=± . 3+4k1 4 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

1 1 因为 k1>- ,所以 k1= . 2 2 1 于是存在直线 l1 满足条件,其方程为 y= x. 2
18


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