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解三角形应用举例----(3)角度测量问题


数学必修 5 第一章《解三角形》 1.2 应用举例(三)角度测量问题
一、课前练习: 1. 有一拦水坝的横断面是等腰梯形,它的上底为 6 m ,下底长为 10 m ,高为 2 3m ,那么 此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别为( A. ) C. 3,30? D.

3 ,60? 3

B. 3,60?

3 ,30? 3

2. 有一两岸平行的河流, 水速为 1, 小船的速度为 2 , 为使所走路程最短, 小船应朝_______ 方向行驶. 3. 用两根绳子 AC、BC 把重 10 N 的物体 W 吊在水平杆子 AB 上,若 AC、BC 的张力分别为 5N、 6N,求∠ACB 的余弦值。 (忽略绳子重量)

二、课堂练习: 1.△ABC 是简易遮阳棚,A、B 是南北方向上两个定点,正东方向射出的太阳光线与地面 成 40°角,为了使遮阴影面 ABD 面积最大,遮阳棚 ABC 与地面所成的角为( ) A.75°; B.60°; C.50°; D.45°。 2.有一广告气球直径为 6 米,放在公司大楼上空,当某行人在 A 地观测气球时,其中心仰 角为∠BAC=30°,并测得气球的视角β =2°,若θ 很小时,可取 sinθ =θ ,试估计气球 的高 BC 的值约为 米. 3. 海中有一小岛,周围 3.8 海里内有暗礁。一军舰从 A 地出发由西向东航行,望见小岛 B 在北偏东 75°,航行 8 海里到达 C 处,望见小岛 B 在北端东 60°。若此舰不改变舰行的 方向继续前进,问此舰有没有角礁的危险?

4.某船在海上航行中不幸遇险,并发出呼救信号,我海上救生艇在 A 处获悉后,立即测出 船的方位角为 45?,与之相距 10 nmail 的 C 处,还测得该船正沿方位角 105?的方向以每 小时 9 nmail 的速度向一小岛靠近,我海上救生艇立即以每小时 21 nmail 的速度前往营 救,试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间
王新敞
奎屯 新疆

三、课后练习: 1. 海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角,从 B 岛望 C 岛 和 A 岛成 75°的视角,则 B、C 间的距离是( )? A.10 3 海里 B.

10 6 海里? 3

C. 5 2 海里?

D.5 6 海里

2. 2002 年 8 月,在北京召开了国际数学家大会,大会会标如图所示,它是由四个相同的直 角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角 形中较小的锐角为 ? ,大正方形面积是 1,小正方形的面积是

1 2 2 ,则 sin ? ? cos ? 的值是( ) 25 24 7 A、1 B、 C、 25 25
0

D、 ?

7 25
0

3.某船开始看见灯塔在南偏东 30 方向,后来船沿南偏东 60 方向 航行 30n mile 后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离为 n mile。 4.一艘船以 20n mile/h 的速度向正北方向航行,船在 A 处看见灯塔 B 在船的东北方向,1 0 小时后船在 C 处看见灯塔 B 在船的北偏东 75 的方向上,些时船与灯塔的距离 BC 为 n mile。 (精确到 0.1n mile) 5. 在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向距 A 为( 3 –1)n mile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75°方向距 A 为 2n mile 的 C 处的我方缉私艇奉命以 10 3 n mile/h 的速度追 截走私船,此时走私船正以 10n mile/h 的速度,从 B 处向北偏东 30°方向逃窜,问缉私 艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间(保留根号) 。

6.海岛上有一座高出水面 1000 米的山,山顶上设有观察站 A,上午 11 时测得一轮船在 A 的 北偏东 60°的 B 处,俯角是 30°,11 时 10 分,该船位于 A 的北偏西 60°的 C 处,俯角 为 60°。 (1)求该船的速度; (2)若船的速度与方向不变,则船何时能到达 A 的正西方向,此时船离 A 的水平距离是多 少? (3)若船的速度与方向不变,何时它到 A 站的距离最近?

7. 在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 O(如图)的东偏南

? (cos? ?

2 方向移动,台 ) 方向 300km 的海面 P 处,并以 20km/h 的速度向西偏北 45° 10

风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大,问几小时 北 后该城市开始受到台风的侵袭?受到台风的侵袭的时间有多少小时?


O θ 东

西

45° P

参考答案

1.2 应用举例(三)角度测量问题
一、课前练习: 1、B; 2、与水速成 135°角;3、 cos?ACB ? ?

6 2 ? 5 2 ? 102 13 ?? 2?6?5 20

二、课堂练习: 1、C; 2、86 米;

3、如图,过点 B 作 BD⊥AE 交 AE 于 D
由已知,AC=8,∠ABD=75°,∠CBD=60° 在 Rt△ABD 中, AD=BD·tan∠ABD=BD·tan 75° 在 Rt△CBD 中, CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60° ∴AD-CD=BD (tan75°-tan60°) =AC=8,…9 分∴ BD ?

8 ? 4 ? 3.8 tan 75 ? tan 60 0
0

∴该军舰没有触礁的危险。 4、设所需时间为 t 小时,在点 B 处相遇(如图) 在△ABC 中,?ACB = 120?, AC = 100, AB = 21t, BC = 9t, 由余弦定理:(21t)2 = 102 + (9t)2 ? 2×10×9t×cos120? 整理得:36t2 ?9t ? 10 = 0 ,解得: t1 ? 由正弦定理

2 5 , t 2 ? ? (舍去) 3 12

2 3 (9 ? ) ? AB BC 3 2 ? 3 3 ,∴?CAB = 21?47’ ? ? sin ?CAB ? ? 2 sin ?CAB 14 sin 120 21? 3
三、课后练习: 1、B; 2、B; 3、 10 3 ; 4、 28 .3 ; 5、北偏东 60 ;
0

6、 (1)如图, OB ? 1? cot30? ? 3(km) ,

OC ? 1 ? cot 60? ? 而?BOC ? 120?, ?| BC |? 3 ?

3 (km), 3

1 3 1 39 ? 2? 3 ? ? (? ) ? (km), 3 3 2 3
BC ? 2 39 (km / h); 1 6

∴船的速度 v ?

(2)设船到达的正西位置为 D(x,0) , ∵B 的坐标为 ( 3 cos30?, 3 sin 30?) ? ( ,

3 3 ), 2 2

而 C 的坐标为 (

3 3 1 3 cos150?, sin 150?) ? (? , ), 3 3 2 6

3 3 3 ? 6 ? x ? ?3, ∵B、C、D 三点共线,? 2 ? 2 3 3 1 2 ?x ? 2 2 2
3 3 39 ? D(? ,0) ,? | CD |? 1 ? ? (km), 2 36 6

?

| CD | 1 ? (h) ? 5(min), ?该船在上午 11 时 15 分到达正西方向; v 12

(3)作 OE⊥BC 于 E,则 E 点到 A 的距离最近,

?| OE | ? | BC |?| OB | ? | OC | sin 120?,?| OE |? ?| DE |?
?15 ?

3 2 13

(km),
北 东

9 9 3 39 | ED | 3 90 ? ? (km),? ? (h) ? (min), 4 52 13 v 26 13
O θ

90 1 1 ? 8 (min), ?船在上午 11 时 8 分时到 A 的距离最近. 13 13 13



7、设经过 t 小时台风中心移动到 Q 点时,台风边沿恰经过 O 城, 由题意可得:OP=300,PQ=20t,OQ=r(t)=60+10t 因为 cos? ?

4 2 7 2 ,α=θ-45° ,所以 sin ? ? , cos ? ? 5 10 10

由余弦定理可得:OQ2=OP2+PQ2-2· OP· PQ· cos? 即 (60+10t)2=3002+(20t)2-2· 300· 20t· 解得 t1 ? 12 , t2 ? 24 ,

西

45° P

4 5

即 t ? 36t ? 288 ? 0 ,
2

t 2 ? t1 ? 12

答:12 小时后该城市开始受到台风气侵袭,受到台风的侵袭的时间有 12 小时?


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