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2015届高考调研文科课时作业53


课时作业(五十三)
1.方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是( 2 A.a<-2 或 a>3 C.-2<a≤0 答案 解析 D 方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 2 B.-3<a<0 2 D.-2<a<3 )

a 3 转化为(x+2)2+(y+a)2=-4a2-a+1, 3 所以若方程表示圆,则有-4a2-a+1>0. 2 ∴3a2+4a-4<0?-2<a<3. 2.过点 P(0,1)与圆 x2+y2-2x-3=0 相交的所有直线中,被圆截得的弦最 长时的直线方程是( A.x=0 C.x+y-1=0 答案 解析 C 依题意得所求直线是经过点 P(0,1)及圆心(1,0)的直线,因此所求直线 ) B.y=1 D.x-y+1=0

方程是 x+y=1,即 x+y-1=0,选 C. 3.设 A(0,0),B(1,1),C(4,2),若线段 AD 是△ABC 外接圆的直径,则点 D 的坐标是( ) B.(8,-6) D.(4,-3)

A.(-8,6) C.(4,-6) 答案 解析 B

线段 AB 的垂直平分线 x+y-1=0 与线段 AC 的垂直平分线 2x+y-5

=0 的交点即圆心(4,-3),直径为 10,易得点 D 的坐标为(8,-6). 4.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴相切, 则该圆的标准方程是( ) B.(x-2)2+(y-1)2=1

7 A.(x-3)2+(y-3)2=1

C.(x-1)2+(y-3)2=1 答案 解析 B

3 D.(x-2)2+(y-1)2=1

设圆心为(a,1),由已知得 d=

|4a-3| 1 5 =1,∴a=2(舍-2).

5.圆心在抛物线 x2=2y(x>0)上,并且与抛物线的准线及 y 轴均相切的圆的 方程是( )

1 A.x2+y2-x-2y-4=0 B.x2+y2+x-2y+1=0 C.x2+y2-x-2y+1=0 1 D.x2+y2-2x-y+4=0 答案 解析 D a2 ∵圆心在抛物线上,∴设圆心(a, 2 ).

a2 ∴圆的方程为(x-a)2+(y- 2 )2=r2. a4 ∴x2+y2-2ax-a2y+a2+ 4 -r2=0. 对比 A、B、C、D 项,仅 D 项 x、y 前系数符合条件. 6.(2014· 成都质检)在圆 x2+y2-2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短 弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( A.5 2 C.15 2 答案 解析 B 圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=10,则圆心(1,3)半径 r= 10,由 B.10 2 D.20 2 )

题意知 AC⊥BD,且 AC=2 10,|BD|=2 10-5=2 5, 1 所以四边形 ABCD 的面积为 S=2|AC|· |BD| 1 =2×2 10×2 5=10 2. 7.(2014· 潍坊模拟)已知点 P 在圆 x2+y2=5 上,点 Q(0,-1),则线段 PQ

的中点的轨迹方程是( A.x2+y2-x=0 C.x2+y2-y-2=0 答案 解析 B

) B.x2+y2+y-1=0 D.x2+y2-x+y=0

设 P(x0,y0),PQ 中点的坐标为(x,y),则 x0=2x,y0=2y+1,代入

圆的方程即得所求的方程是 4x2+(2y+1)2=5,化简,得 x2+y2+y-1=0.

8.在平面直角坐标系中,动点

?x-y+2≥0, M(x,y)满足条件?x+y-2≤0, ?y-1≥0,
)

动点 Q

1 在曲线(x-1)2+y2=2上,则|MQ|的最小值为( A. 2 2 C.1- 2 3 2 B. 2 1 D. 5-2

答案 解析

C 2 作出平面区域,由图形可知|MQ|的最小值为 1- 2 . )

9.若方程 16-x2-x-m=0 有实数解,则实数 m 的取值范围( A.-4 2≤m≤4 2 C.-4≤m≤4 答案 解析 B B.-4≤m≤4 2 D.4≤m≤4 2

由题意知方程 16-x2=x+m 有实数解,分别作出 y= 16-x2与 y

=x+m 的图像,若两图像有交点,需-4≤m≤4 2. 10.直线 l:4x-3y-12=0 与 x、y 轴的交点分别为 A,B,O 为坐标原点, 则△AOB 内切圆的方程为________. 答案 解析 (x-1)2+(y+1)2=1 由题意知,A(3,0),B(0,-4),则|AB|=5.

∴△AOB 的内切圆半径 r=

3+4-5 =1,内切圆的圆心坐标为(1,-1). 2

∴内切圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1. 27 11.(2014· 衡水调研)从原点 O 向圆:x2+y2-6x+ 4 =0 作两条切线,切点 分别为 P、Q,则圆 C 上两切点 P、Q 间的劣弧长为________. 答案 π

解析

9 如图,圆 C:(x-3)2+y2=4,

3 所以圆心 C(3,0),半径 r=2. π 在 Rt△POC 中,∠POC=6. 2π 则劣弧 PQ 所对圆心角为 3 . 2 3 弧长为3π×2=π. 12.已知圆 C 的方程为 x2+y2-mx-2my=0(m≠0),以下关于这个圆的叙 述中,所有正确命题的序号是________. ①圆 C 必定经过坐标原点; ②圆 C 的圆心不可能在第二象限或第四象限; ③y 轴被圆 C 所截得的弦长为 2m; ④直线 y=x 与 y 轴的夹角的平分线必过圆心. 答案 ①②

13.(1)已知圆经过 A(2,-3)和 B(-2,-5)两点,若圆心在直线 x-2y-3 =0 上,求圆的方程. (2)求过点 A(-1,0),B(3,0)和 C(0,1)的圆的方程. 答案 (1)x2+y2+2x+4y-5=0

(2)x2+y2-2x+2y-3=0

解析

(1)方法一:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,
2

4+?-3? +2D+?-3?E+F=0, ? ??-2?2+?-5?2+?-2?D+?-5?E+F=0, 则? D E ? ?- 2 -2×?- 2 ?-3=0,

?D=2, 解得?E=4, ?F=-5,
2

∴圆的方程为 x2+y2+2x+4y-5=0.

方法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则 ?-3-b? =r , ??2-a? + 2 ??-2-b? +?-5-b?2=r2, ?a-2b-3=0,
2 2

?a=-1, 解得?b=-2, ?r2=10.

∴圆的方程为 x2+y2+2x+4y-5=0. 方法三:线段 AB 中垂线的方程为 2x+y+4=0,它与直线 x-2y-3=0 的 交点(-1,-2)为圆心, 由两点间的距离公式,得 r2=10. ∴圆的方程为 x2+y2+2x+4y-5=0. (2)方法一:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. 把 A,B,C 三点坐标代入圆的方程,得

?1-D+F=0, ?9+3D+F=0, ?1+E+F=0,

?D=-2, 解得?E=2, ?F=-3.

故所求圆的方程为 x2+y2-2x+2y-3=0. 方法二:线段 AB 中垂线的方程为 x=1, 线段 AC 的中垂线方程为 x+y=0, ?x=1, 由? 得圆心坐标为 M(1,-1),半径 r=|MA|= 5,∴圆的方程为 ?x+y=0, x2+y2-2x+2y-3=0. 14.一个圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且在直线 y=x 上截得的 弦长为 2 7,求此圆的方程.

答案 解析

x2+y2-6x-2y+1=0 或 x2+y2+6x+2y+1=0 方法一:∵所求圆的圆心在直线 x-3y=0 上,且与 y 轴相切,

∴设所求圆的圆心为 C(3a,a),半径为 r=3|a|. 又圆在直线 y=x 上截得的弦长为 2 7, 圆心 C(3a,a)到直线 y=x 的距离为 d= |3a-a| . 12+12

∴有 d2+( 7)2=r2.即 2a2+7=9a2,∴a=± 1. 故所求圆的方程为 (x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9. 方法二:设所求的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2, 则圆心(a,b)到直线 x-y=0 的距离为 |a-b| 2 ∴r2=( ) +( 7)2. 2 即 2r2=(a-b)2+14.① 由于所求的圆与 y 轴相切,∴r2=a2.② 又因为所求圆心在直线 x-3y=0 上, ∴a-3b=0.③ 联立①②③,解得 a=3,b=1,r2=9 或 a=-3,b=-1,r2=9. 故所求的圆的方程是 (x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9. 方法三:设所求的圆的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0, D E 1 圆心为(- 2 ,- 2 ),半径为2 D2+E2-4F. 令 x=0,得 y2+Ey+F=0. 由圆与 y 轴相切,得 Δ=0,即 E2=4F.④ D E 又圆心(- 2 ,- 2 )到直线 x-y=0 的距离为 D E |- 2 + 2 | 2 |a-b| . 2



? D E? |- 2 + 2 |?2 2 2 由已知,得? ? ? +( 7) =r , 2 ? ? 即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F).⑤ D E 又圆心(- 2 ,- 2 )在直线 x-3y=0 上, ∴D-3E=0.⑥ 联立④⑤⑥,解得 D=-6,E=-2,F=1 或 D=6,E=2,F=1. 故所求圆的方程是 x2+y2-6x-2y+1=0 或 x2+y2+6x+2y+1=0. 15.在直角坐标系 xOy 中,以 M(-1,0)为圆心的圆与直线 x- 3y-3=0 相 切. (1)求圆 M 的方程; (2)如果圆 M 上存在两点关于直线 mx+y+1=0 对称,求 m 的值. →· → 的取 (3)已知 A(-2,0)、B(2,0),圆内的动点 P 满足|PA|· |PB|=|PO|2,求PA PB 值范围. 答案 解析 (1)(x+1)2+y2=4 (2)m=1 (3)[-2,6)

(1)依题意,圆 M 的半径 r 等于圆心 M(-1,0)到直线 x- 3y-3=0 |-1-3| =2. 1+3

的距离,即 r=

∴圆 M 的方程为(x+1)2+y2=4. (2)∵圆 M 上存在两点关于直线 mx+y+1=0 对称, ∴直线 mx+y+1=0 必过圆心 M(-1,0). ∴-m+1=0,∴m=1. (3)设 P(x,y),由|PA||PB|=|PO|2,得 ?x+2?2+y2· ?x-2?2+y2=x2+y2, 即 x2-y2=2. →· → =(-2-x,-y)· ∴PA PB (2-x,-y) =x2-4+y2=2(y2-1).

∵点 P 在圆 M 内, ∴(x+1)2+y2<4,∴0≤y2<4,∴-1≤y2-1<3. →· → 的取值范围为[-2,6). ∴PA PB 16.已知实数 x、y 满足 x2+y2-2y=0. (1)求 2x+y 的取值范围; (2)若 x+y+c≥0 恒成立,求实数 c 的取值范围. 答案 解析 (1)1- 5≤2x+y≤1+ 5 (1)方法一 (2)c≥ 2-1 ?x=cosθ, ? ?y=1+sinθ,

圆 x2+(y-1)2=1 的参数方程为

∴2x+y=2cosθ+sinθ+1. ∵- 5≤2cosθ+sinθ≤ 5, ∴1- 5≤2x+y≤ 5+1. 方法二 取最值,此时 2x+y 可看作直线 y=-2x+b 在 y 轴的截距,当直线与圆相切时 b |2×0+1-b| =1. 5

∴b=1± 5,∴1- 5≤2x+y≤1+ 5. π (2)∵x+y=cosθ+1+sinθ= 2sin(θ+4)+1, ∴x+y+c 的最小值为 1- 2+c. ∴x+y+c≥0 恒成立等价于 1- 2+c≥0. ∴c 的取值范围为 c≥ 2-1.


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