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2014届高考数学(理科)二轮复习专题讲义:专题二 第1讲三角函数的图像与性质


2014 届高考数学(理科)二轮复习专题讲义:专题二 第 1 讲三角函数的图像与性质

三角函数的概念、诱导公式及基本关系 一、基础知识要记牢 y x y (1)三角函数的定义:若角 α 的终边过点 P(x,y),则 sin α= ,cos α= ,tan α= (其中 r r x r= x2+y2). (2)诱导公式:注意“奇变偶不变,符号看象限”. sin x (3)基本关系:sin2x+cos2x=1,tan x= . cos x 二、经典例题领悟好 [例 1] ( ) A.sin θ-cos θ C.± (sin θ-cos θ) B.cos θ-sin θ D.sin θ+cos θ ) π ? (1)(2013· 辽宁五校第二次联考)若 θ∈? ?2,π?,则 3π ? 1-2sin?π+θ?sin? ? 2 -θ?=

(2)(2013· 江西师大附中模拟)已知角 α 终边上一点 P( 3,1),则 2sin 2α-3tan α=( A.-1-3 3 C.-2 3 [解析] (1) 3π ? 1-2sin?π+θ?sin? ? 2 -θ? B.1-3 3 D.0

= 1-2sin θcos θ=|sin θ-cos θ|, π ? 又 θ∈? ?2,π?, ∴sin θ-cos θ>0, 故原式=sin θ-cos θ. 1 3 π (2)由已知得|OP|=2,由三角函数定义可知 sin α= ,cos α= ,即 α=2kπ+ (k∈Z). 2 2 6 π? π? π π 3 3 ? 所以 2sin 2α-3tan α=2sin? ?4kπ+3?-3tan?2kπ+6?=2sin3-3tan6=2× 2 -3× 3 =0. [答案] (1)A (2)D ?1?当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,否则机械地使用三

角函数定义会出现错误. ?2?利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数, 其步骤:去负—脱周—化锐.特别注意函数名称和符号的确定. 三、预测押题不能少 π ? 1.(1)已知 α 为锐角,且 2tan(π-α)-3cos? ?2+β?+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则 sin α 的值是( 3 5 A. 5 3 10 C. 10 ) 3 7 B. 7 1 D. 3

解析:选 C 由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β=1,解得 tan α=3,故 3 10 sin α= . 10 (2)已知 A 是单位圆上的点,且点 A 在第二象限,点 B 是此圆与 x 轴正半轴的交点,记 3 ∠AOB=α.若点 A 的纵坐标为 ,则 sin α=________;tan 2α=________. 5 3 4 3 解析:由点 A 的纵坐标为 及点 A 在第二象限,得点 A 的横坐标为- ,所以 sin α= , 5 5 5 4 3 2tan α 24 cos α=- ,tan α=- .故 tan 2α= =- . 5 4 7 1-tan2α 3 24 答案: - 5 7

三角函数的图像与解析式 一、基础知识要记牢 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像: (1)“五点法”作图: π 3π 设 z=ωx+φ,令 z=0, ,π, ,2π,求出 x 的值与相应的 y 的值,描点、连线可得. 2 2 (2)图像变换: y=sin x― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=sin(x+φ) 平移|φ|个单位 横坐标变为原来的
向左?φ>0?或向右?φ<0?

1

― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=sin(ωx+φ) 纵坐标不变 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=Asin(ωx+φ). 横坐标不变 二、经典例题领悟好
纵坐标变为原来的A?A>0?倍

?

?ω>0?倍

π π? [例 2] (1)(2013· 四川高考)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)? ?ω>0,-2<φ<2?的部分图像如图所 示,则 ω,φ 的值分别是( )

π A.2,- 3 π C.4,- 6

π B.2,- 6 π D.4, 3

π (2)(2013· 新课标Ⅱ)函数 y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图像向右平移 个单位后,与函数 y 2 π 2x+ ?的图像重合,则 φ=________. =sin? 3? ? π 3 3 5 - ?= π,∴T=π, [解析] (1)∵ T= π-? 4 12 ? 3? 4 ∴ 2π =π(ω>0),∴ω=2. ω

5 5 π 由图像知当 x= π 时,2× π+φ=2kπ+ (k∈Z), 12 12 2 π 即 φ=2kπ- (k∈Z). 3 π π π ∵- <φ< ,∴φ=- . 2 2 3 π ? π? ? (2)y=cos(2x+φ)的图像向右平移 个单位后得到 y=cos? ?2?x-2?+φ?的图像,整理得 y 2 =cos(2x-π+φ). π? ∵其图像与 y=sin? ?2x+3?的图像重合, π π π π ∴φ-π= - +2kπ,∴φ= +π- +2kπ, 3 2 3 2 5π 5π 即 φ= +2kπ.又∵-π≤φ<π,∴φ= . 6 6 5π [答案] (1)A (2) 6

(1)在利用图像求三角函数 y=Asin(ωx+φ)的有关参数时, 注意直接从图中观察振幅、 周

期,即可求出 A、ω,然后根据图像过某一特殊点来求 φ,若是利用零点值来求,则要注意 是 ωx+φ=kπ(k∈Z), 根据点在单调区间上的关系来确定一个 k 的值, 此时要利用数形结合, 否则就易步入命题人所设置的陷阱. (2)作三角函数图像左右平移变换时,平移的单位数是指单个变量 x 的变化量,因此由 y =sin ωx(ω>0)的图像得到 y=sin(ωx+φ)的图像时, 应将图像上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0) |φ| 平移 个单位,而非|φ|个单位. ω 三、预测押题不能少 π π 2x+ ?的图像向左平移 个单位,再向上平移 2 个单位,则所得图 2.(1)将函数 y=sin? 4? ? 4 像的一个对称中心是( π ? A.? ?4,2? π ? C.? ?8,2? ) π ? B.? ?3,2? π ? D.? ?2,2?

π? π 解析:选 C 将 y=sin? ?2x+4?的图像向左平移4个单位,再向上平移 2 个单位得 y= 3π? 3π kπ 3π sin? ?2x+ 4 ?+2 的图像,其对称中心的横坐标满足 2x+ 4 =kπ,即 x= 2 - 8 ,k∈Z,取 k π =1,得 x= . 8 π? (2)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)? ?A>0,ω>0,|φ|<2?的部分图像如图所示.若函数 y=f(x)在区 间[m,n]上的值域为[- 2,2],则 n-m 的最小值是( )

A.1 C.3

B.2 D.4

π 解析: 选 C 根据已知可得, f(x)=2sin x, 若 f(x)在[m, n]上单调, 则 n-m 取最小值. 又 4 当 x=2 时,y=2;当 x=-1 时,y=- 2,故(n-m)min=2-(-1)=3. 三角函数的性质 一、基础知识要记牢 (1)三角函数的单调区间: y=sin x 的单调递增区间是 ? 2k ? ?

? ?

? ?? , 2k ? ? ? (k∈Z),单调递减区间是 2 2?

? ?? ? ? 2k ? ? ? (k∈Z); ? 2k ? ? 2 , 2? ?
y=cos x 的单调递增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈ Z); π π y=tan x 的递增区间是(kπ- ,kπ+ )(k∈Z). 2 2 π (2)y=Asin(ωx+φ), 当 φ=kπ 时为奇函数; 当 y=kπ+ 时为偶函数; 对称轴方程可由 ωx 2 π +φ=kπ+ 求得. 2 二、经典例题领悟好 [例 3] π? (2013· 安徽高考)已知函数 f(x)=4cos ωx· sin? ?ωx+4?(ω>0)的最小正周期为 π.

(1)求 ω 的值; π? (2)讨论 f(x)在区间? ?0,2?上的单调性. [ 解] π? (1)f(x)=4cos ωx· sin? cos ωx+2 2cos2ωx= 2(sin 2ωx+cos ?ωx+4?=2 2sin ωx·

π? 2ωx)+ 2=2sin? ?2ωx+4?+ 2. 因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0, 从而有 2π =π,故 ω=1. 2ω

π? (2)由(1)知,f(x)=2sin? ?2x+4?+ 2. π π π 5π 若 0≤x≤ ,则 ≤2x+ ≤ . 2 4 4 4 π π π π 当 ≤2x+ ≤ ,即 0≤x≤ 时,f(x)单调递增; 4 4 2 8 π π 5π π π 当 ≤2x+ ≤ ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减. 2 4 4 8 2 π? ?π π? 综上可知,f(x)在区间? ?0,8?上单调递增,在区间?8,2?上单调递减.

求解三角函数的奇偶性、对称性、周期、最值和单调区间等问题时,通常要运用各种三 角函数公式,通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为 y=Asin(ωx+φ),y= Acos(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,且 A>0,ω≠0)的形式,再研究其各种性质. 有关常用结论与技巧: (1)我们往往运用整体换元法来求解单调性与对称性,求 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx +φ)(A,ω,φ 是常数,且 A>0,ω≠0)的单调区间时一定要注意 ω 的取值情况,若 ω<0,则

最好用诱导公式将其转化为-ω>0 后再去求解,否则极易出错. (2)对 y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,且 A>0,ω≠0)结合函数图像 可观察出如下几点: ①函数图像的对称轴都经过函数的最值点,对称中心的横坐标都是函数的零点; ②相邻两对称轴(对称中心)间的距离都是半个周期; ③图像上相邻两个最大(小)值点之间的距离恰好等于一个周期. 三、预测押题不能少 3.已知函数 f(x)= 3sin xcos x+cos2x+a. (1)求 f(x)的最小正周期及单调递减区间; π π? 3 (2)若 f(x)在区间? ?-6,3?上的最大值与最小值的和为2,求 a 的值. 解:(1)因为 f(x)= 所以 T=π. π π 3π 由 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 6 2 π 2π 得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 6 3 π 2π ? 故函数 f(x)的单调递减区间是? ?6+kπ, 3 +kπ?(k∈Z). π π (2)因为- ≤x≤ , 6 3 π? π π 5π 1 所以- ≤2x+ ≤ ,- ≤sin? ?2x+6?≤1. 6 6 6 2 π π? 1? ? 1 1? 3 ? 因为函数 f(x)在? ?-6,3?上的最大值与最小值的和为?1+a+2?+?-2+a+2?=2, 所以 a=0. 1+cos 2x π? 3 1 sin 2x+ +a=sin? ?2x+6?+a+2, 2 2

三角函数与不等式的交汇

三角函数的考查形式灵活多变,主要考查三角函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性 和有界性等,三角函数与平面向量、数列、函数的零点和不等式等知识的交汇命题成为近年 高考的热点. 一、经典例题领悟好

[ 例 1]

π? π (2013· 湖北省武汉市调研测试 ) 已知 x0 , x0 + 是函数 f(x) = cos2 ? ?ωx-6? - 2

sin2ωx(ω>0)的两个相邻的零点. π? (1)求 f? ?12?的值; 7π ? (2)若对?x∈? ?-12,0?,都有|f(x)-m|≤1,求实数 m 的取值范围. (1)学审题——审条件之审视结构 π? 恒等变换 零点 T π f(x)― ― ― ― ― →f(x)=Asin(ωx+φ)的形式― ― → = ― →ω 的值― →f? ?12?的值. 2 2 (2)学审题——审结论之逆向分析 |f(x)-m|≤1― →f(x)-1≤m≤f(x)+1― →m≥f(x)max-1 且 m≤f(x)min+1― →求 f(x)的最值. [解] π? 1+cos? ?2ωx-3? 1-cos 2ωx (1)f(x)= - 2 2

1 ?2ωx-π?+cos 2ωx? = ? cos 3? ? 2? ? 1 1 3 = ?? cos 2ωx+ sin 2ωx?+cos 2ωx? 2??2 2 ? ? 1 3 3 = ? sin 2ωx+ cos 2ωx? 2? 2 2 ? = = 3?1 3 ? 2 ?2sin 2ωx+ 2 cos 2ωx? π 3 ? sin?2ωx+3? ?. 2

2π 由题意可知,f(x)的最小正周期 T=π,∴ =π. |2ω| 又∵ω>0,∴ω=1,∴f(x)= π 3 ? sin?2x+3? ?. 2

π? π π? 3 ? 3 π 3 ∴f? ?12?= 2 sin?2×12+3?= 2 sin2= 2 . (2)|f(x)-m|≤1,即 f(x)-1≤m≤f(x)+1. 7π - ,0?,都有|f(x)-m|≤1, ∵对?x∈? ? 12 ? ∴m≥f(x)max-1 且 m≤f(x)min+1. 7π 5π π π ∵- ≤x≤0,∴- ≤2x+ ≤ , 12 6 3 3 π? 3 ∴-1≤sin? ?2x+3?≤ 2 , ∴- π 3 3 3 2x+ ?≤ , ≤ sin? 3? 4 ? 2 2

3 3 即 f(x)max= ,f(x)min=- , 4 2 1 3 ∴- ≤m≤1- . 4 2 1 3 故 m 的取值范围为?- ,1- ?. 2? ? 4

本题考查了三角函数与函数的零点、 不等式的交汇, 求解的难点是由|f(x)-m|<1 恒成立, 7π ? 转化为 m≥f(x)max-1 且 m≤f(x)min+1 成立,即求 f(x)在 x∈? ?-12,0?的最值. 二、预测押题不能少 π? 1.已知函数 f(x)=cos x· cos? ?x-3?. 2π? (1)求 f? ? 3 ?的值; 1 (2)求使 f(x)< 成立的 x 的取值集合. 4 2π? 1?2 2π π π π 1 解:(1)f? cos =-cos · cos =-? ? 3 ?=cos 3 · ?2? =-4. 3 3 3 π? (2)f(x)=cos x· cos? ?x-3?

?1cos x+ 3sin x? =cos x· 2 ?2 ?
1 3 = cos2x+ sin xcos x 2 2 1 3 = (1+cos 2x)+ sin 2x 4 4 π 1 1 2x- ?+ . = cos? 3? 4 2 ? π 1 1 π 1 1 π π 3π 2x- ?+ < ,即 cos?2x- ?<0.于是 2kπ+ <2x- <2kπ+ ,k∈Z. f(x)< 等价于 cos? 3? 4 4 3? ? 4 2 ? 2 3 2 5π 11π 1 解得 kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z.故使 f(x)< 成立的 x 的取值集合为 12 12 4

5? 11? ? ? <x <k ? ? ,k ? Z ? . ? x|k ? ? 12 12 ? ?
“动态”中的三角函数定义创新问题

三角函数的概念是考查三角函数的重要工具,在高考命题中很少单独考查,2012 年山 东卷即考查动态中三角函数的定义. 一、经典例题领悟好

[例 2]

(2012· 山东高考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位

圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴 上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时, OP 的坐标为________. [解析] 因为圆心由(0,1)平移到了(2,1),所以在此过程中 P 点所经过的弧长为 2,其所 对圆心角为 2.如图所示,过 P 点作 x 轴的垂线,垂足为 A,圆心为 C, 与 x 轴相切于点 B,过 C 作 PA 的垂线,垂足为 D, π? π ? π? 则∠PCD=2- ,|PD|=sin? ?2-2?=-cos 2,|CD|=cos?2-2?= 2 sin 2,所以 P 点坐标为(2-sin 2,1-cos 2),即 OP 的坐标为(2-sin 2,1-cos 2). [答案] (2-sin 2,1-cos 2)

解决本题的关键有以下几点: (1)正确理解圆的滚动过程,确定圆心 C 的坐标; (2)正确作出辅助线,并求得 BP 与 BC 的长度; (3)正确应用向量的坐标运算求出 OP 的坐标. 二、预测押题不能少 3π 2.在平面直角坐标系中,点 O(0,0),P(6,8),将向量 OP 绕点 O 按逆时针方向旋转 后 4 得向量 OQ ,则点 Q 的坐标是( A.(-7 2,- 2) C.(-4 6,-2) ) B.(-7 2, 2) D.(-4 6,2)

解析:选 A 画出草图,可知点 Q 落在第三象限,则可排除 B、D;代入 A,cos∠QOP = 6×?-7 2?+8×?- 2? -50 2 - 2 3π = = , 所 以 ∠ QOP = . 代 入 C , cos ∠ QOP = 2 2 100 2 4 6 +8

6×?-4 6?+8×?-2? -24 6-16 - 2 = ≠ . 100 2 62+82

1.(2013· 浙江高考)函数 f(x)=sin xcos x+ A.π,1 C.2π,1

3 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( 2 B.π,2 D.2π,2

)

解析:选 A 由 f(x)=sin xcos x+ 周期为 π,振幅为 1.

π? 3 1 3 cos 2x= sin 2x+ cos 2x=sin? ?2x+3?,得最小正 2 2 2

2.(2013· 浙江高考)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数” π 是“φ= ”的( 2 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

π π 解析:选 B 若 f(x)是奇函数,则 φ= +kπ(k∈Z),且当 φ= 时,f(x)为奇函数. 2 2 3.(2013· 福建质检)函数 f(x)=x2cos x ? ?

?? ? ? ? x ? ? 的图像大致是( 2? ? 2

)

解析:选 B 因为 f(-x)=(-x)2cos(-x)=x2cos x=f(x),所以函数 f(x)为偶函数,排除 π? ?π?2 π π2 C、D;又 f? ?3?=?3? cos3=18>0,所以排除 A. 4.三角形 ABC 是锐角三角形,若角 θ 终边上一点 P 的坐标为(sin A-cos B,cos A-sin C),则 sin θ cos θ tan θ + + 的值是( |sin θ| |cos θ| |tan θ| ) B.-1 D.4

A.1 C.3

解析:选 B 因为三角形 ABC 是锐角三角形,所以 A+B>90° ,即 A>90° -B,则 sin sin θ A>sin(90° -B)=cos B, sin A-cos B>0, 同理 cos A-sin C<0, 所以点 P 在第四象限, + |sin θ| cos θ tan θ + =-1+1-1=-1. |cos θ| |tan θ| π π? 5.(2013· 济南模拟)若函数 f(x)=2sin? ?6x+3?(-2<x<10)的图像与 x 轴交于点 A,过点 A

OA =( 的直线 l 与函数的图像交于 B,C 两点,则( OB + OC )·
A.-32 C.16 B.-16 D.32

)

解析:选 D 由 f(x)=0 解得 x=4,即 A(4,0), 过点 A 的直线 l 与函数的图像交于 B, C 两点, 根据 对称性可知, A 是 BC 的中点, 如图, 所以 OB + OC = 2 OA ,所以 ( OB + OC )· OA = 2 OA · OA = 2| OA |2=2×42=32. 6.(2013· 济南模拟)如图是函数 y=Asin(ωx+φ) ? x ? R,A>0,? >0,0<? <

? ?

?? 在区 2? ?

π 5π? 间? ?-6, 6 ?上的图像.为了得到这个函数的图像,只需将 y=sin x(x∈R)的图像上所有的点 ( )

π 1 A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变 3 2 π B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 π 1 C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变 6 2 π D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6 π π - 3 6 2π 5π π π 解析:选 A 由题意知,A=1;由 = + ,得 ω=2;由 2× +φ= +2kπ(k∈ ω 6 6 2 2 π? π π π Z),0<φ< ,得 φ= ,故 y=sin? ?2x+3?.只要把函数 y=sin x 的图像向左平移3个单位长度, 2 3 π? 1 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,即可得 y=sin? ?2x+3?的图像. 2 π? ? π? 7.设 α∈? ?0,4?,若 tan?α+4?=2cos 2α,则 α=________. π? 解析:∵tan? ?α+4?=2cos 2α, π? sin? ?α+4? =2(cos2α-sin2α),



π? cos? ?α+4?

sin α+cos α 整理得 =2(cos α+sin α)(cos α-sin α). cos α-sin α π? 因为 α∈? ?0,4?,所以 sin α+cos α≠0. 1 1 因此(cos α-sin α)2= ,即 sin 2α= . 2 2 π? π π ? π? 由 α∈? ?0,4?,得 2α∈?0,2?,所以 2α=6,即 α=12. π 答案: 12 8.(2013· 荆州市质检)函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为 π,且函数图像关 3π ? 于点? ?- 8 ,0?对称,则函数的解析式为________________. 3π? 2π 3π 解析:由题意知最小正周期 T=π= ,∴ω=2,2×? ?- 8 ?+φ=kπ(k∈Z),∴φ=kπ+ 4 ω (k∈Z). 3π? 3π 又 0<φ<π,∴φ= ,∴y=sin? ?2x+ 4 ?. 4 3π? 答案:y=sin? ?2x+ 4 ? π? 9.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)? ?ω>0,|φ|<2?,y=f(x)的部分图像如 π? 图,则 f? ?24?=________. 3π π 2π π 解析:由图像可知,此正切函数的半周期等于 - = = ,即周 8 8 8 4 3π ? π 3π 期为 , 所以 ω=2.由题意可知, 图像过定点? 所以 0=Atan2× ? 8 ,0?, 2 8 3π 3π π π +φ, 即 +φ=kπ(k∈Z), 所以 φ=kπ- (k∈Z), 又|φ|< , 所以 φ= .再由图像过定点(0,1), 4 4 2 4 π? π π? π ?π? ? 可得 A=1.综上可知,f(x)=tan? ?2x+4?.故有 f?24?=tan?2×24+4?=tan3= 3. 答案: 3 π? 10.(2013· 安徽高考)设函数 f(x)=sin x+sin? ?x+3?. (1)求 f(x)的最小值,并求使 f(x)取得最小值的 x 的集合; (2)不画图,说明函数 y=f(x)的图像可由 y=sin x 的图像经过怎样的变化得到. π? 1 3 3 3 解:(1)因为 f(x)=sin x+ sin x+ cos x= sin x+ cos x= 3sin? ?x+6?, 2 2 2 2 π π 2π 所以当 x+ =2kπ- ,即 x=2kπ- (k∈Z)时,f(x)取最小值- 3. 6 2 3

此时 x 的取值集合为 ? x x =2k ? ?

? ?

? 2? ,k ? Z ? . 3 ?

(2)先将 y=sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 3倍(横坐标不变), 得 y= 3sin π x 的图像;再将 y= 3sin x 的图像上所有的点向左平移 个单位长度,得 y=f(x)的图像. 6 11.(2013· 长春市调研)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) ? A>0,? >0,- 的部分图像如图所示. (1)求函数 y=f(x)的解析式; π? (2)当 x∈? ?-π,-6?时,求 f(x)的取值范围. π ? T 2π π π ?π ? 解: (1)由图像得 A=1, = - = , 所以 T=2π, 则 ω=1.将? ?6,1?代入得 1=sin?6+φ?, 4 3 6 2 π? π π π 而- <φ< ,所以 φ= .因此函数 f(x)=sin? ?x+3?. 2 2 3 π? 2π π π (2)由于 x∈? ?-π,-6?,- 3 ≤x+3≤6, π? 1 所以-1≤sin? ?x+3?≤2, 1? 所以 f(x)的取值范围是? ?-1,2?. 12.(2013· 辽宁省五校模拟)已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经 过点 P(-3, 3). (1)求 sin 2α-tan α 的值; π 2 ? (2)若函数 f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α,求函数 y= 3f? ?2-2x?-2f (x)在区间

? ?

? ? ? <? < ,x ? R ? 2 2 ?

?0,π?上的值域. ? 2?
解:(1)∵角 α 的终边经过点 P(-3, 3), 1 3 3 ∴sin α= ,cos α=- ,tan α=- . 2 2 3 ∴sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α=- 3 3 3 + =- . 2 3 6

(2)∵f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α=cos x,x∈R, π π? 2 ? ? ∴y= 3cos? ?2-2x?-2cos x= 3sin 2x-1-cos 2x=2sin?2x-6?-1. π π π 5π ∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ . 2 6 6 6

π? 1 ∴- ≤sin? ?2x-6?≤1. 2 π? ∴-2≤2sin? ?2x-6?-1≤1. π 2 ? ? π? 故函数 y= 3f? ?2-2x?-2f (x)在区间?0,2?上的值域为[-2,1].


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