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等比数列习题(有答案)第一课时-数学高一必修5第二章数列2.4人教A版


人教 A 版 数学习题 必修 5 第二章 2.4 第一课时

第二章

数列

2.4 等比数列 测试题
知识点一: 等比数列的概念及等比中项的求解 1.下面有四个结论: ①由第 1 项起乘相同常数得后一项,这样所得到的数列一定为等比数列; ②常数列 b,…,b 一定为等比数列; ③等比数列{an}中,若公比 q=1,则此数列各项相等; ④等比数列中,各项与公比都不能为零. 其中正确的结论的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3 )

2. 2+1 与 2-1,两数的等比中项是( A.1 B.-1 C.± 1 1 D.2

3.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( A.a1,a3,a9 成等比数列 C.a2,a4,a8 成等比数列 知识点二: 等比数列的通项公式及运算

)

B.a2,a3,a6 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列

1 4.已知一等比数列的前三项依次为 x,2x+2,3x+3,那么-132是此数列的第________项 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8

1 5.(2014· 东营高二检测)已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差数列, 2 则 a9+a10 =( a7+a8 A.1+ 2 C.3+2 2 ) B.1- 2 D.3-2 2

6.一个各项均为正数的等比数列,其任何项都是后面两项的和,则其公比是(

)

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人教 A 版 数学习题 必修 5 第二章 2.4 第一课时

5 A. 2 C. 2 5

B. D.

1- 5 2 5-1 2

7.若正项数列{an}满足 lg an+1=1+lg an, 且 a2 001+a2 002+a2 003+…+a2 010=2 014, 则 a2 011 +a2 012+a2 013+…+a2 020 的值为( A.2 014×1010 C.2 015×1010 ) B.2 014×1011 D.2 015×1011

8. (2015· 山西四校联考)等比数列{an}满足 an>0, n∈N*, 且 a3· a2n-3=22n(n≥2), 则当 n≥1 时,log2a1+log2a2+…+log2a2n-1=( A.n(2n-1) C.n2 ) B.(n+1)2 D.(n-1)2

9.在正项等比数列{an}中,已知 a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则 n=________. 9 1 2 10.等比数列{an}中,a1=8,an=3,公比 q=3,则 n=________. 11.数列{an}为等比数列,an>0,若 a1· a5=16,a4=8,则 an=________. 知识点三: 等比数列通项的简单应用 12.在 6 和 768 之间插入 6 个数,使它们组成共 8 项的等比数列,则这个等比数列的第 6 项是________. 13.若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e5,则 ln a1+ln a2+…+ln a20= ________. 14.在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6 的值是________. 8 15.(2014· 潍坊高二检测)在各项均为负的等比数列{an}中,2an=3an+1,且 a2· a5=27. (1)求数列{an}的通项公式; 16 (2)-81是否为该数列的项?若是,为第几项? 1 16.等比数列{an}中,a2=32,a8=2,an>an+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Tn=log2a1+log2a2+log2a3+…+log2an,求 Tn 的最大值.

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知识点四:等比数列的判断与证明 17.已知等比数列{bn}与数列{an}满足 bn=3an(n∈N*). (1)判断{an}是何种数列,并给出证明; (2)若 a8+a13=m,求 b1· b2· …· b20. 7 1 1 18.已知数列{an}满足 a1=8,且 an+1=2an+3,n∈N*.
? 2? (1)求证:?an-3?是等比数列; ? ?

(2)求数列{an}的通项公式. 19.数列{an}中,a1=2,a2=3,且{anan+1}是以 3 为公比的等比数列,记 bn=a2n-1+a2n(n ∈N*). (1)求 a3,a4,a5,a6 的值; (2)求证:{bn}是等比数列. ?1? 20.已知数列{an}是首项为 2,公差为-1 的等差数列,令 bn=?2?an,求证数列{bn}是等 ? ? 比数列,并求其通项公式.

【参考答案】
1 C 【解析】 ①错误,当乘以的常数为零时,不是等比数列;②错误,b=0 时,不 是等比数列;③④正确.故答案选 C. C 【解析】 设两数的等比中项为 G,则 G2=( 2+1)( 2-1)=1,

2 3.

∴G=± 1.
D
2 【解析】由等比数列的性质得,a3· a9=a6 ≠0,因此 a3,a6,a9 一定成等比数列,选 D.

B 【解析】 由 x,2x+2,3x+3 成等比数列,可知(2x+2)2=x(3x+3),解得 x=- 1 或-4,又当 x=-1 时,2x+2=0,这与等比数列的定义相矛盾.∴x=-4, 4 3 ?3? ?3? ∴该数列是首项为-4,公比为2的等比数列,其通项an=-4?2?n-1,由-4?2?n-1=- ? ? ? ? 1 132,得n=4. 5 C 【解析】 由题意知 a3=a1+2a2,从而 q2=1+2q,∵q>0,∴q=1+ 2

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a9+a10 2 =q =3+2 2,故选C. a7+a8 D 【解析】 由已知得 an=an+1+an+2,

即 a1qn-1=a1qn+a1qn+1, 6 -1± 5 ∴q2+q=1,解得 q= 2 . 又q>0,∴q= 5-1 2 .
an+1 an+1 =1,即 =10,所以{an}是公比为 10 的等比 an an

7

A 【解析】 由条件知 lg an+1-lg an=lg

数列.因为(a2 001+…+a2 010)· q10=a2 011+…+a2 020,所以 a2 011+…+a2 020=2 014×1010,选 A.
2n n A 【解析】由等比数列的性质,得 a3· a2n-3=a2 n=2 ,从而得 an=2 .

法一: log2a1 + log2a2 + …+ log2a2n - 1 = log2[(a1a2n - 1)· (a2a2n - 2)· …· (an - 1an + 1)an] =log22n(2n

- 1)



8.

n(2n-1). 法二:取 n=1,log2a1=log22=1,而(1+1)2=4,(1-1)2=0,排除 B,D;取 n=2,log2a1 +log2a2+log2a3=log22+log24+log28=6,而 22=4,排除 C,选 A. 14

【解析】设数列{an}的公比为 q,
3 3 12 由 a1a2a3=4=a3 1q 与 a4a5a6=12=a1q , 3n 3 可得 q9=3,an-1anan+1=a3 =324, 1q


9.

因此 q3n 6=81=34=q36,


所以 n=14.

10 4. 【解析】 11

1 9?2? 8 ?2? 由an=a1qn-1,得3=8?3?n-1,即?3?n-1=27.故n=4. ? ? ? ?

4 3 2 2n-1 【解析】 由a1· a5=16,a4=8,得a2 1q =16,a1q =8,所以q =4,又an>0,故

q=2,a1=1,an=2n-1. 192 【解析】 由条件得,768=6×q7,解得 q=2.

12

∴a6=6×25=192.
50 【解析】因为 a10a11+a9a12=2a10a11=2e5, 所以 a10a11=e5.

13

所以 ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2…a20) =ln[(a1a20)· (a2a19)· …· (a10a11)] =ln(a10a11)10=10ln(a10a11)=10ln e5=50.

14 4

【解析】设等比数列{an}的公比为 q,q>0,则 a8=a6+2a4 即为 a4q4=a4q2+2a4,解得 q2= 第 4 页共 4 页

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2(负值舍去),又 a2=1,所以 a6=a2q4=4.

【解】

an+1 2 2 (1)∵2an=3an+1,∴ a =3,数列{an}是公比为3的等比数列,又 a2· a5 n

8 3 ?2?5 ?2?3 ?2?n-2 =27,所以 a2 . 1?3? =?3? ,由于各项均为负,故 a1=- ,an=-?3? 2 ? ? ? ? ? ? 15 16 16 16 ?2? ?2? ?2? (2)设an=-81,则-81=-?3?n-2,?3?n-2=?3?4,n=6,所以-81是该数列的项,为 ? ? ? ? ? ? 第6项.
1 1 ?1?n-1, 【解】(1)由 a2=a1q=32,a8=a1q7= 及 an>an+1 得,q= ,a1=64,所以 an=64× ?2? 2 2 1?n-7 即 an=? ?2? 1?n-7 n? 6 +7-n? (2)令 bn=log2an=log2? = 7 - n ,则 { b } 为等差数列, T = b + b + … + b = n n 1 2 n ?2? 2 = 13n-n2 13 1 169 n- ?2+ ,因为 n∈N*,n=6 或 7 时,Tn 取得最大值,最大值为 21. =- ? 2? 2 2? 8

16

【解】

(1)设数列{bn}的公比为 q,则 q>0.

∵bn=3an,∴b1=3a1, ∴bn=3a1· qn-1=3an. 方程两边取以 3 为底的对数得 an=log3(3a1· qn-1) 17 =a1+(n-1)log3q. ∴数列{an}是以 log3q 为公差的等差数列. (2)∵a1+a20=a8+a13=m, 20?a1+a20? ∴a1+a2+…+a20= =10m. 2 ∴b1· b2· …· b20=3a1· 3a2· …· 3a20 =3a1+a2+…+a20=310m. 【解】 18 1 1 (1)证明:∵an+1=2an+3,

2? 2 1 1 2 1? ∴an+1-3=2an+3-3=2?an-3?. ? ?

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2 an+1-3

1 2 =2. an-3
?

? 2? 5 1 ∴?an-3?为首项为24,公比为2的等比数列. ?

2 5 ?1? (2)∵an-3=24×?2?n-1, ? ? 5 ?1? 2 ∴an=24×?2?n-1+3. ? ? 解析: (1)∵{anan+1}是公比为 3 的等比数列,

∴anan+1=a1a2· 3n-1=2· 3n, 2· 32 2· 33 ∴a3= a =6,a4= a =9, 2 3 2· 34 2· 35 a5= a =18,a6= a =27. 4 5 (2)∵{anan+1}是公比为 3 的等比数列, 19 ∴anan+1=3an-1an,即 an+1=3an-1 , ∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…,与 a2,a4,a6,…,a2n,…,都是公比为 3 的等 比数列. ∴a2n-1=2· 3n-1,a2n=3· 3n-1, bn=a2n-1+a2n=5· 3n-1, bn+1 5· 3n ∴ b = n-1=3.故{bn}是以5为首项,3为公比的等比数列. 5· 3 n ?1? 解析:依题意 an=2+(n-1)×(-1)=3-n,于是 bn=?2?3-n. ? ? 20 ?1?3-n ? ? bn ?2? ?1? 而 =1 =?2?-1=2.(n≥2) bn-1 ? ?4-n ? ? ?2? ? ? ∴数列{bn}是公比为2的等比数列,通项公式为bn=2n-3.

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