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2016年高考数学二轮复习 第4讲 复数、算法、推理与证明专题强化精练提能 理


第一部分专题六 概率、统计、复数、算法、推理与证明 第 4 讲 复 数、算法、推理与证明专题强化精练提能 理
[A 卷] 1.已知复数 z=|( 3-i)i|+i (i 为虚数单位),则复数 z 的共轭复数为( ) A.2-i B.2+i C.4-i D.4+i - 2 2 解析:选 A.由题意知 z=| 3i+1|+i= 1 +( 3) +i=2+i,所以 z =2-i. 2-i 2.(2015·江西省九江市第一次统考)设复数 z= ,则 z 的共轭复数为( ) 1+i 1 3 1 3 A. - i B. + i 2 2 2 2 C.1-3i D.1+3i - 2+i (2+i)(1+i) 1 3 解析:选 B. z = = = + i,故选 B. 1-i 2 2 2 3.(2015·潍坊模拟)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为-4 时,输入的 S0 的值 为( )
5

A.7 B.8 C.9 D.10 1 2 解析:选 D.第一次循环,得 S=S0-2 =S0-2,i=2;第二次循环,得 S=S0-2-2 = 3 S0-6,i=3;第三次循环,得 S=S0-6-2 =S0-14,i=4,此时不满足 i<4,输出 S=-4, 即 S0-14=-4,所以 S0=10,故选 D. 1 4.已知正三角形内切圆的半径是其高的 ,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结 3 论是( ) 1 A.正四面体的内切球的半径是其高的 2 1 B.正四面体的内切球的半径是其高的 3 1 C.正四面体的内切球的半径是其高的 4 1 D.正四面体的内切球的半径是其高的 5

1

1 1 1 解析:选 C.原问题的解法为等面积法,即 S= ah=3× ar? r= h. 2 2 3 类比问题的解法应为等体积法, 1 1 1 V= Sh=4× Sr? r= h, 3 3 4 1 即正四面体的内切球的半径是其高的 ,故选 C. 4 3-ai 5. “复数 z= 在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的( ) i A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3-ai (3-ai)·i 解析:选 A.z= = =-a-3i 对应的点在第三象限, i i·i 则 a>0,可以判断“a>0”是“a≥0”的充分不必要条件. 6.已知某算法的流程图如图所示,若输入 x=7,y=6,则输出的有序数对为(

)

A.(13,14) B.(12,13) C.(14,13) D.(13,12) 解析:选 A.执行流程图得,n=1,x=6+1=7,y=8; n=2,x=y+1=9,y=10; n=3,x=y+1=11,y=12; n=4,x=y+1=13,y=14; n=5,循环结束,输出(13,14),故选 A. 7 . 定 义 某 种 运 算 S = a ? b , 运 算 原 理 如 图 所 示 , 则 式 子 ??2tan

?? ??

5π ? ? ?ln e? - 4 ? ? ?

? 1?-1? ?lg 100?? ?3? ?的值是( ? ? ? ?

)

A.-3

B.-4
2

C.-8

D.0
? ?a(b+1),a≥b, ?a(b-1),a<b, ?

解析: 选 D.由题意可知, 程序框图的运算原理可视为函数 S=a?b=? 5π 所以 2tan ?ln e=2?1=4, 4 -1 ?1? lg 100?? ? =2?3=4, ?3?

5π ? 1?-1? ? ? ?ln e?-?lg 100?? ? ?3? ?=4-4=0,故选 D. 4 ? ? ? ? ? ? m-2i 8.(2015·郑州模拟)复数 z= (m∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能 1+2i 在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 m-2i (m-2i)(1-2i) m-4 2m+2 解析:选 A.z= = = - i,若复数 z 在复平面上对 1+2i (1+2i)(1-2i) 5 5 m-4 >0, 5 应的点在第一象限,则 而此不等式组无解,所以复数 z 在复平面上对应的点 2m+2 - >0, 5 不可能在第一象限,故选 A. 9.如图是一算法的程序框图,若输出结果为 S=720,则在判断框中应填入的条件是 ( ) 所以??2tan

?? ??

? ? ? ? ?

A.k≤6? B.k≤7? C.k≤8? D.k≤9? 解析:选 B.第一次执行循环,得到 S=10,k=9;第二次执行循环,得到 S=90,k=8; 第三次执行循环,得到 S=720,k=7.此时满足条件,故选 B. 10.在直角坐标系 xOy 中,一个质点从 A(a1,a2)出发沿图中路线依次经过 B(a3,a4), C(a5,a6),D(a7,a8),?,按此规律一直运动下去,则 a2 013+a2 014+a2 015=( )

A.1 006 B.1 007 C.1 008 D.1 009 解析:选 B.通过观察得 a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4, a9=3,a10=5,a11=-3,a12=6,?,所以 a1+a2+a3+a4=3=4-1,a5+a6+a7+a8=7=8
3

-1,a9+a10+a11+a12=11=12-1,?,所以 a2 013+a2 014+a2 015+a2 016=2 016-1=2 015, 又 a4=2,a8=4,a12=6,?,所以 a2 016=1 008,所以 a2 013+a2 014+a2 015=2 015-1 008=1 007. 11.(2014·高考福建卷改编)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 S 的值等于________.

解析:由题意,得 S=0,n=1;S=0+2+1=3<15,n=2;S=3+2 +2=9<15,n=3; S=9+23+3=20,n=4,因为 20≥15,因此输出 S. 答案:20 3 3 2 12.已知复数 z=a- i,且 z =b+ i(a,b∈R),则 a+b=________. 2 2 3 3 ?2 2 3 ? 2 解析:由已知,得 z =?a- i? =a - - 3ai=b+ i, 4 2 2 ? ? 3 a2- =b, 4 利用复数相等的充要条件得 3 - 3a= , 2 1 a=- , 2 解得 故 a+b=-1. 1 b=- , 2 答案:-1 1 1 1 1 1 1 13.观察下列不等式:① <1;② + < 2;③ + + < 3;?;则第 n 个 2 2 6 2 6 12 不等式为________. 解析:观察题中不等式知,分母中根号下被开方数依次是 1×2;2×3;3×4;?,所 1 1 1 1 以所求的不等式为 + + +?+ < n. 2 6 12 n(n+1) 1 1 1 1 答案: + + +?+ < n 2 6 12 n(n+1) 14.(2015·山西省质量监测)如图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值为________.

2

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

4

解析:第一次循环后 m=1,n=1;第二次循环后 m=3,n=2;第三次循环后 m=14,n =3;第四次循环后 m=115,n=4,循环结束,输出的 n 为 4. 答案:4

AE AC BE BC 个结论类比到空间: 在三棱锥 A?BCD 中(如图), 平面 DEC 平分二面角 A?CD?B 且与 AB 相交于 E,则得到类比的结论是____________________.

15. 在平面几何中: △ABC 的∠ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为 = .把这

解析:由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得 答案: =

AE S△ACD = . EB S△BCD

AE S△ACD EB S△BCD

[B 卷] 1.若复数 z 满足(2-i)z=|1+2i|,则 z 的虚部为( ) 5 5 A. B. i 5 5 C.1 D.i |1+2i| 5(2+i) 5(2+i) 解析:选 A.由 z= = = 2-i (2-i)(2+i) 5 2 5 5 5 + i,可知其虚部为 . 5 5 5 2.用反证法证明命题:“若 a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且 ac+bd>1,则 a, b,c,d 中至少有一个负数”的假设为( ) A.a,b,c,d 中至少有一个正数 B.a,b,c,d 全都为正数 C.a,b,c,d 全都为非负数 D.a,b,c,d 中至多有一个负数 解析:选 C.用反证法证明命题时,应先假设结论的否定成立,而“a,b,c,d 中至少 有一个负数”的否定是“a,b,c,d 全都为非负数”,故 C 正确. 2 015 1+2i 3.复数 z= ) 2 015 (i 为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在( 1-i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 =

5

1+2i 1-2i 解析:选 B.z= 2 015 = 1-i 1+i 1-3i-2 1 3i = =- - , 2 2 2 1 3i 则 z=- + 在复平面内对应的点在第二象限,故选 B. 2 2 4.(2015·山西省考前质量检测)执行如图所示的程序框图,若输入的 a 的值为 3,则 输出的 i=( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:选 C.第 1 次循环,得 M=100+3=103,N=1×3=3,i=2;第 2 次循环,得 M =103+3=106,N=3×3=9,i=3;第 3 次循环,得 M=106+3=109,N=9×3=27,i= 4;第 4 次循环,得 M=109+3=112,N=27×3=81,i=5;第 5 次循环,得 M=112+3= 115,N=81×3=243,i=6,此时 M<N,退出循环,输出的 i 的值为 6,故选 C.

2 015

4 题图 5 题图 1 1 1 5.如图给出的是计算 + +?+ 的值的一个程序框图,则图中判断框内(1)处和执 2 4 100 行框中的(2)处应填的语句是( ) A.i>100,n=n+1 B.i>100,n=n+2 C.i>50,n=n+2 D.i≤50,n=n+2 1 1 1 解析:选 C.因为 , ,?, 共 50 个数, 2 4 100 所以程序框图应运行 50 次,所以变量 i 应满足 i>50. 因为是求偶数的和, 所以应使变量 n 满足 n=n+2,故选 C. 1 3 1 3 6.(2015·邢台市摸底考试)已知复数 z1=- + i,z2=- - i,则下列命题中错 2 2 2 2 误的是( ) 2 A.z1=z2 B.|z1|=|z2| 3 3 C.z1-z2=1 D.z1,z2 互为共轭复数 3 1 3 3 ?2 1-3 ? 1 2 解析:选 C.依题意,z1=?- + i? = - i=- - i=z2,因此选项 A 正确; 4 2 2 2 ? 2 2 ? 1 3 - 3 2 |z1|=1=|z2|,因此选项 B 正确; z 1=- - i=z2,因此选项 D 正确;z1=z1·z1= 2 2 3 ?2 ? 1 3 ? ? 1 3 ? ? 1 3 ? ? 1 3 3 3 ?- + i? ·?- + i?=?- - i?·?- + i?=1,同理 z2=1,因此 z1-z2=0, 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 选项 C 错误.综上所述,选 C.
6

2S ; a+b+c 类比这个结论可知:若四面体 S?ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径 为 r,四面体 S?ABC 的体积为 V,则 r=( ) V 2V A. B. S1+S2+S3+S4 S1+S2+S3+S4 3V 4V C. D. S1+S2+S3+S4 S1+S2+S3+S4 1 解析:选 C.设四面体的内切球的球心为 O,则 V=VO?ABC+VO?SAB+VO?SAC+VO?SBC,即 V= S1r 3 1 1 1 3V + S2r+ S3r+ S4r,所以 r= . 3 3 3 S1+S2+S3+S4 8.(2015·太原质检)下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图,1 号到 16 号 同学的成绩依次为 A1,A2,?,A16,右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算 法流程图,那么该算法流程图输出的结果是( ) 7 6 9 8 1 3 6 7 9 2 9 4 1 5 8 6 10 3 1 11 4 7.设三角形 ABC 的三边长分别为 a、b、c,面积为 S,内切圆半径为 r,则 r=

A.6 B.10 C.91 D.92 解析:选 B.由算法流程图可知,其统计的是数学成绩大于等于 90 的人数,所以由茎叶 图知,数学成绩大于等于 90 的人数为 10,因此输出的结果为 10.故选 B. 9.(2015·临沂模拟)执行如图所示的程序框图,则输出的 a=( )

A.20 B.14 C.10 D.7 解析:选 C.依次执行程序框图中的语句,可得:①a=10,i=1;②a=5,i=2;③a =14,i=3;④a=7,i=4;⑤a=20,i=5;⑥a=10,i=6,因为当 i=2 016 时,跳出 循环,而 2 016=1+5×403,所以输出的 a=10.
7

10.[ n ]表示不超过 n的最大整数. 若 S1=[ 1 ]+[ 2 ]+[ 3 ]=3, S2=[ 4 ]+[ 5 ]+[ 6 ]+[ 7 ]+[ 8 ]=10, S3=[ 9 ]+[ 10 ]+[ 11 ]+[ 12 ]+[ 13 ]+[ 14 ]+[ 15 ]=21, ? 则 Sn=( ) A.n(n+2) B.n(n+3) 2 C.(n+1) -1 D.n(2n+1) 2 2 解析:选 D.观察得到:Sn 是从 n 开始到 (n+1) (不含)之前共 2n+1 个 n 的和, 所以 Sn 为 n(2n+1). 2 2 2 2 即[ n ]+[ n +1]+[ n +2]+?+[ (n+1) -1]=n(2n+1). 2 11.(2015·德州模拟)下面是关于复数 z= 的四个命题: -1+i 2 ①|z|=2;②z =2i;③z 的共轭复数为 z;④z 的虚部为-1. 其中所有正确命题的序号是________. 2 2 2 解析:z= = (-1-i)=-1-i,|z|= 2;z =2i; -1+i (-1-i)(-1+i) z 的共轭复数为-1+i; z 的虚部为-1. 所以正确命题的序号是②④. 答案:②④ sin 30°+sin 90° sin 15°+sin 75° 12 . 观 察 等 式 : = 3 , = 1 , cos 30°+cos 90° cos 15°+cos 75° sin 20°+sin 40° 3 = . cos 20°+cos 40° 3 照此规律,对于一般的角 α ,β ,有等式________. 解析:根据等式的特点,分别用 α ,β 代替两个角,并且发现 tan 30°+90° = 3, 2

15°+75° 20°+40° 3 sin α +sin β tan =1,tan = ,故对于一般的角 α ,β 的等式为 2 2 3 cos α +cos β α +β =tan . 2 sin α +sin β α +β 答案: =tan cos α +cos β 2 13.某天,小赵、小张、小李、小刘四人到电影院看电影,他们到达电影院之后发现, 当天正在放映 A、B、C、D 四部影片,于是他们商量一起看其中的一部影片. 小赵说:只要不是 B 就行; 小张说:A、D 我都可以看; 小李说:我们四人有共同喜欢的影片; 小刘说:除了 A 之外,其他的都可以. 据此判断,他们四人可以共同看的影片为________. 解析:根据四人的描述可知,小赵可以看的影片有 A、C、D.小张可以看的影片有 A、D, 小刘可以看的影片有 B、C、D.又他们四人有共同喜欢的影片,所以只能是 D. 答案:D 14.数列{an}满足 an=n,阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 n=5, an=n,x=2,则输出的结果 v=________.

8

解析:由题意知,a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5,初始值为 n=5,x=2,v=a5 =5,i=n-1=4,执行程序框图的结果依次为 v=5×2+4=14,i=3;v=14×2+3=31, i=2;v=31×2+2=64,i=1;v=64×2+1=129,i=0,此时终止循环,输出的 v=129. 答案:129 15.(2015·南昌模拟)观察下列等式: 1 2 + =1; 3 3 7 8 10 11 + + + =12; 3 3 3 3 16 17 19 20 22 23 + + + + + =39; 3 3 3 3 3 3 ? 则当 m<n 且 m,n∈N 时, 3m+1 3m+2 3m+4 3m+5 3n-2 3n-1 + + + +?+ + =________(最后结果用 m, n 表示). 3 3 3 3 3 3 1 2 解析:由 + =1, 3 3 2 2 知 m=0,n=1,1=1 -0 ; 7 8 10 11 由 + + + =12, 3 3 3 3 2 2 知 m=2,n=4,12=4 -2 ; 16 17 19 20 22 23 由 + + + + + =39, 3 3 3 3 3 3 2 2 知 m=5,n=8,39=8 -5 ; ? 3m+1 3m+2 3m+4 3m+5 3n-2 3n-1 2 2 依此规律可归纳, + + + +?+ + =n -m . 3 3 3 3 3 3 2 2 答案:n -m

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