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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理课件 新人教A版选修1-2


第二章——

2.1

合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理

[学习目标]
1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理. 2.了解合情推理在数学发现中的作用.

1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测

挑战自我,点点落实
重点难点,个个击破 当堂训练,体验成功

[知识链接]
1.归纳推理和类比推理的结论一定正确吗? 答 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其前提和 结论之间的联系不是必然性的,而是或然性的,结论不一 定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测 正在被研究中的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜 测性,不一定可靠.

2.由合情推理得到的结论可靠吗? 答 一般来说,由合情推理所获得的结论,仅仅是一

种猜想,未必可靠,例如,费马猜想就被数学家欧拉
推翻了.

[预习导引]
1.归纳推理和类比推理 定义 由某类事物的 部分对象 具有某 些特征,推出该类事物的 全部 特征 归纳推理是由 部分到整

归纳
推理

对象 都具有这些特征的推理,或 体 ,由 个别到一般 的 者由 个别事实 概括出一般结论 的 推理 推理

由两类对象具有某些 类似 特征
类比 和其中一类对象的某些 已知特征,类比推理是由 特

推理 推出另一类对象也具有这些特征 殊到特殊 的推理
的推理

2.合情推理的含义:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实, 经过 观察 、 分析 、 比较 、 联想 ,再进行 归纳 、 类比 ,

然后提出 猜想 的推理,我们把它们统称为合情推理.
3.合情推理的过程 从具体问题出发 → 观察、分析、比较、联想 → 归纳、类比 → 提出猜想

要点一 归纳推理的应用

例1 观察如图所示的“三角数阵”
1 ????第1行

2 2
3 4 3

????第2行
????第3行

4 7 7 4
5 11 14 11 5

????第4行
????第5行

????

记第 n(n > 1) 行的第 2 个数为 an(n≥2 , n∈N*) ,请仔细观察上述

“三角数阵”的特征,完成下列各题:
(1) 第 6 行 的 6 个 数 依 次 为 ________ 、 ________ 、 ________ 、

________、________、________;
解 由数阵可看出,除首末两数外,每行中的数都等于它上一

行的肩膀上的两数之和,且每一行的首末两数都等于行数. 6,16,25,25,16,6

(2)依次写出a2、a3、a4、a5; 解 a2=2,a3=4,a4=7,a5=11 (3)归纳出an+1与an的关系式. 解 ∵a3=a2+2,a4=a3+3,a5=a4+4

由此归纳:an+1=an+n.

规律方法

对于数阵问题的解决方法,既要清楚

每行、每列数的特征,又要对上、下行,左、右 列间的关系进行研究,找到规律,问题即可迎刃

而解.

跟踪演练 1

根据下列条件,写出数列中的前 4 项,并归纳猜

想它的通项公式.
(1)a1=3,an+1=2an+1; 解 由已知可得a1=3=22-1, a2=2a1+1=2×3+1=7=23-1, a3=2a2+1=2×7+1=15=24-1, a4=2a3+1=2×15+1=31=25-1. 猜想an=2n+1-1,n∈N*.

1 (2)a1=a,an+1= ; 2-an

解 由已知可得a1=a,

2-a 1 1 1 a2= = ,a3= = , 2-a1 2-a 2-a2 3-2a 3-2a 1 a4= = . 2-a3 4-3a ?n-1?-?n-2?a 猜想 an= (n∈N*). n-?n-1?a

(3)对一切的 n∈N*,an>0,且 2 Sn=an+1. 解 ∵2 Sn=an+1,
∴2 S1=a1+1,即 2 a1=a1+1,

∴a1=1.又 2 S2=a2+1,
∴2 a1+a2=a2+1,∴a2 2-2a2-3=0.
∵对一切的n∈N*,an>0,

∴a2=3.

同理可求得a3=5,a4=7,
猜想出an=2n-1(n∈N*).

要点二 类比推理的应用

例2 如图所示,在△ABC中,射影定理可表示为
a=b· cos C+c· cos B,其中a,b,c分别为角A, B,C的对边.类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜想. 解 如右图所示,在四面体PABC中,设S1,S2, S3,S分别表示△PAB,△PBC,△PCA,△ABC的 面积,α,β,γ依次表示面PAB,面PBC,面PCA 与底面ABC所成二面角的大小.

我们猜想射影定理类比推理到三维空间,其表现形式

应为S=S1· cos α+S2· cos β+S3· cos γ.

规律方法

(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的

需要,选择适当的类比对象,可以从几何元素的数目、

位置关系、度量等方面入手.由平面中的相关结论可以
类比得到空间中的相关结论.

(2)平面图形与空间图形类比 平面图形 空间图形


线

线


边长
面积 线线角 三角形

面积
体积 二面角 四面体

跟踪演练 2

已知 P(x0, y0)是抛物线 y2=2px(p>0)上的一点,

过 P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得:在 y2=2px p 两边同时对 x 求导,得 2yy′=2p,则 y′=y ,所以过 P 的
2 y p 切线的斜率 k = y . 类比上述方法求出双曲线 x2 - 2 = 1 在 0

P( 2, 2)处的切线方程为________.

解析

将双曲线方程化为 y2=2(x2-1),类比上述方法两边

2x 同时对 x 求导得 2yy′=4x,则 y′= y ,即过 P 的切线的斜 2x0 2 2 率 k= y ,由于 P( 2, 2),故切线斜率 k= =2,因此 2 0 切线方程为 y- 2=2(x- 2),整理得 2x-y- 2=0.

答案 2x-y- 2=0

要点三 平面图形与空间图形的类比
例3 三角形与四面体有下列相似性质:

(1) 三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形;四面

体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形.
(2) 三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的

两个端点的连线所围成的图形;四面体可以看作是由三角形所在
平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.

通过类比推理,根据三角形的性质推测空间四面体的性质填 写下表:
三角形 四面体

三角形的两边之和大于第三边 三角形的中位线的长等于第三边长的一半,
且平行于第三边

三角形的三条内角平分线交于一点,且这
个点是三角形内切圆的圆心


三角形
三边 四个面的面积

四面体

三角形的两边之和大于第 四面体任意三个面的面积之和大于第

三角形的中位线的长等于 四面体的中截面(以任意三条棱的中 第三边长的一半,且平行 点为顶点的三角形)的面积等于第四 于第三边 个面的面积的 1,且平行于第四个面 4

三角形的三条内角平 分线交于一点,且这 个点是三角形内切圆 的圆心

四面体的六个二面角的平分面

交于一点,且这个点是四面体
内切球的球心

规律方法

将平面几何中的三角形、长方形、圆、面

积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进
行类比,是解决和处理立体几何问题的重要方法.

跟踪演练3 恰当的是(

类比平面内正三角形的 “三边相等,三内角相 )

等”的性质,可推出正四面体的下列哪些性质,你认为比较 ①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各 ③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹

个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等; 角都相等.
A.① B.①②

C.①②③

D.③

解析

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象

的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的

推理,叫类比推理,上述三个结论均符合推理结论,
故均正确. 答案 C

1 2 3 4

1.下列说法正确的是( B )
A.由合情推理得出的结论一定是正确的 B.合情推理必须有前提有结论 C.合情推理不能猜想 D.合情推理得出的结论不能判断正误 解析 根据合情推理定义可知,合情推理必须有前提有结论.

1 2 3 4

2. 下图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起
来,那么第36颗珠子应是什么颜色( )

A.白色 C.白色可能性大

B.黑色 D.黑色可能性大

1 2 3 4

解析

由图知:三白二黑周而复始相继排列,36÷5=

7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色.
答案 A

1 2 3 4

3.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ???????? 按 照 以 上 排 列 的 规 律 , 第 n 行 (n≥3) 从 左 向 右 的 第 3 个 数 为 ________.

1 2 3 4

解析 前n-1行共有正整数1+2+?+(n-1)个,
n2-n 即 2 个,

n2-n 因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 2 +3 个,即为 n -n+6 . 2
2

n2-n+6 答案 2

1 2 3 4

4.观察下列各式 9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,?. 这些等式反映了自然数间的某种规律,设n表示正整数,用
2-n2=4n+4 ( n + 2) 关于n的等式表示为___________________.

解析 由已知四个式子可分析规律:

(n+2)2-n2=4n+4.

课堂小结 1. 合情推理是指 “ 合乎情理 ” 的推理,数学研究中,得到 一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结 论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供 证明的思路和方向.合情推理的过程概括为:

从具体问题出发 → 观察、分析、比较、联想 → 归纳、类比 → 提出猜想 .

一般来说,由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,其 可靠性还需进一步证明. 2.归纳推理与类比推理都属合情推理:(1)归纳推理:由某类 事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都 称为归纳推理 . 它是一种由部分到整体,由个别到一般的推 理 .(2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类

具有这些特征的推理,或由个别事实概括出一般结论的推理,

对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推
理称为类比推理,它是一种由特殊到特殊的推理.


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