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2016高考数学大一轮复习 9.1直线的方程教师用书 理 苏教版


§9.1

直线的方程

1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的 角叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0°. (2)范围:直线 l 倾斜角的范围是[0,π ). 2.斜率公式 (1)若直线 l 的倾斜角 α ≠90°,则斜率 k=tan_α . (2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线 l 上,且 x1≠x2,则 l 的斜率 k= 3.直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 方程 适用范围 不含直线 x=x0 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x=x1 (x1≠x2)和直线 y=y1 (y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线

y2-y1 . x2-x1

y-y0=k(x-x0) y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b Ax+By+C=0,
(A +B ≠0)
2 2

截距式

一般式 4.线段的中点坐标公式

平面直角坐标系内的直线都适用

若点 P1、P2 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),且线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x,y),则

1

x +x x= ? ? 2 ? y +y ? ?y= 2
1 1

2

,此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式.

2

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( ? ) (3)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( ? ) (4)直线的斜率为 tan α ,则其倾斜角为 α .( ? ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( ? ) (6)经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示.( ? (7)不经过原点的直线都可以用 + =1 表示.( ? ) (8)经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x- )

x y a b

x1)(y2-y1)表示.( √ )

1.直线 3x-y+a=0 的倾斜角为________. 答案 60° 解析 化直线方程为 y= 3x+a,∴k=tan α = 3. ∵0°≤α <180°,∴α =60°. 2.已知 A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则 x=______. 答案 -3 解析 ∵A、B、C 三点共线,∴kAB=kAC. ∴ 7-5 x-5 = ,∴x=-3. 4-3 -1-3
2

3. 若直线 l 经过 A(2,1), B(1, m )(m∈R)两点, 则直线 l 的倾斜角的取值范围为____________.

? π ? ?π ? 答案 ?0, ?∪? ,π ? 4 2 ? ? ? ?
解析 直线 l 的斜率 k=

m2-1
1-2

=1-m ≤1.

2

若 l 的倾斜角为 α ,则 tan α ≤1.

? π ? ?π ? 又∵α ∈[0,π ),∴α ∈?0, ?∪? ,π ?. 4? ?2 ? ?
2

4.过点 M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________________. 答案 x+y+1=0 或 4x+3y=0 4 解析 ①若直线过原点,则 k=- , 3 4 ∴y=- x,即 4x+3y=0. 3 ②若直线不过原点.设 + =1,即 x+y=a. ∴a=3+(-4)=-1,∴x+y+1=0.

x y a a

题型一 直线的倾斜角与斜率 例 1 经过 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连结 A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则 直线 l 的斜率 k 和倾斜角 α 的取值范围分别为________,________. 思维点拨 注意倾斜角是锐角还是钝角. π 3π 答案 [-1,1] [0, ]∪[ ,π ) 4 4 解析 如图所示, 结合图形: 为使 l 与线段 AB 总有公共点, 则 kPA≤k≤kPB, 而 kPB>0,kPA<0,故 k<0 时,倾斜角 α 为钝角,k=0 时,α =0,k>0 时, α 为锐角. -2-?-1? 又 kPA= =-1, 1-0

kPB=

-1-1 =1,∴-1≤k≤1. 0-2

π 又当 0≤k≤1 时,0≤α ≤ ; 4 3π 当-1≤k<0 时, ≤α <π . 4 π 3π 故倾斜角 α 的取值范围为 α ∈[0, ]∪[ ,π ). 4 4 思维升华 直线倾斜角的范围是[0,π ),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜

? π ? ?π ? 率求倾斜角的范围时,要分?0, ?与? ,π ?两种情况讨论.由正切函数图象可以看出,当 2? ?2 ? ?
π ? π? ?π ? α ∈?0, ?时,斜率 k∈[0,+∞);当 α = 时,斜率不存在;当 α ∈? ,π ?时,斜率 2? 2 ? ?2 ?

k∈(-∞,0).
3

(1)若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q,且线段 PQ 的中点坐标为(1, -1),则直线 l 的斜率为________. (2)直线 xcos α + 3y+2=0 的倾斜角的范围是____________________. 1 答案 (1)- 3

? π ? ?5π ? (2)?0, ?∪? ,π ? 6? ? 6 ? ?

解析 (1)依题意,设点 P(a,1),Q(7,b), 则有?
? ?a+7=2 ? ?b+1=-2

,解得 a=-5,b=-3,

-3-1 1 从而可知直线 l 的斜率为 =- . 7+5 3 (2)由 xcos α + 3y+2=0 得直线斜率 k=- ∵-1≤cos α ≤1,∴- 3 3 ≤k≤ . 3 3 3 3 ≤tan θ ≤ . 3 3 3 cos α . 3

设直线的倾斜角为 θ ,则-

? π ? ?π ? 结合正切函数在?0, ?∪? ,π ?上的图象可知, 2? ?2 ? ?
π 5π 0≤θ ≤ 或 ≤θ <π . 6 6 题型二 求直线的方程 例 2 根据所给条件求直线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 10 ; 10

(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12; (3)直线过点(5,10),且到原点的距离为 5. 解 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式. 设倾斜角为 α ,则 sin α = 10 (0<α <π ), 10

3 10 1 从而 cos α =± ,则 k=tan α =± . 10 3 1 故所求直线方程为 y=± (x+4). 3 即 x+3y+4=0 或 x-3y+4=0. (2)由题设知截距不为 0,设直线方程为 + 又直线过点(-3,4),
4

x y =1, a 12-a

-3 4 从而 + =1,解得 a=-4 或 a=9. a 12-a 故所求直线方程为 4x-y+16=0 或 x+3y-9=0. (3)当斜率不存在时,所求直线方程为 x-5=0; 当斜率存在时,设其为 k, 则所求直线方程为 y-10=k(x-5), 即 kx-y+(10-5k)=0. |10-5k| 3 由点线距离公式,得 =5,解得 k= . 2 4 k +1 故所求直线方程为 3x-4y+25=0. 综上知,所求直线方程为 x-5=0 或 3x-4y+25=0. 思维升华 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条

件.用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线, 截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时,若采用截距式,应注意分类 讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况. 已知点 A(3,4),求满足下列条件的直线方程. (1)经过点 A 且在两坐标轴上截距相等; (2)经过点 A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形. 解 (1)设直线在 x,y 轴上的截距均为 a. ①若 a=0,即直线过点(0,0)及(3,4). 4 ∴直线的方程为 y= x,即 4x-3y=0. 3 ②若 a≠0,设所求直线的方程为 + =1, 3 4 又点(3,4)在直线上,∴ + =1,∴a=7.

x y a a

a a

∴直线的方程为 x+y-7=0. 综合①②可知所求直线的方程为 4x-3y=0 或 x+y-7=0. (2)由题意可知,所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4),由点斜式得 y-4=±(x-3). 所求直线的方程为 x-y+1=0 或 x+y-7=0. 题型三 直线方程的综合应用 例 3 已知直线 l 过点 P(3,2), 且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A、

B 两点,如图所示,求△ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程.
思维点拨 先设出 AB 所在的直线方程,再求出 A,B 两点的坐标,

5

表示出△ABO 的面积,然后利用相关的数学知识求最值. 解 方法一 设直线方程为 + =1 (a>0,b>0), 3 2 点 P(3,2)代入得 + =1≥2 6 ,得 ab≥24,

x y a b

a b

ab

1 3 2 b 2 从而 S△AOB= ab≥12,当且仅当 = 时等号成立,这时 k=- =- ,从而所求直线方程为 2 a b a 3 2x+3y-12=0. 方法二 依题意知,直线 l 的斜率 k 存在且 k<0. 则直线 l 的方程为 y-2=k(x-3) (k<0),

? 2 ? 且有 A?3- ,0?,B(0,2-3k), ?
k

?

1 ? 2? ∴S△ABO= (2-3k)?3- ? 2 ? k? 4 ? 1? = ?12+?-9k?+ ?- k?? 2? ? 1? ≥ ?12+2 2? 4 ? ?-9k?? ? ?-k??

1 = ?(12+12)=12. 2 当且仅当-9k= 4 2 ,即 k=- 时,等号成立. -k 3

即△ABO 的面积的最小值为 12. 故所求直线的方程为 2x+3y-12=0. 思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法 (1)与函数相结合的问题:解决这类问题,一般是利用直线方程中的 x,y 的关系,将问题转 化为关于 x(或 y)的函数,借助函数的性质解决. (2)与方程、不等式相结合的问题:一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、 根的存在性问题,不等式的性质、基本不等式等)来解决. 已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S(O 为坐标原点),求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程. (1)证明 直线 l 的方程是 k(x+2)+(1-y)=0,

6

令?

?x+2=0, ? ?1-y=0, ?

解得?

?x=-2, ? ?y=1, ?

∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1). 1+2k (2)解 由方程知,当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为- ,在 y 轴上的截距为 1+2k,要

k

1+2k ? ?- ≤-2, k 使直线不经过第四象限,则必须有? ? ?1+2k≥1, 当 k=0 时,直线为 y=1,符合题意,故 k≥0.

解之得 k>0;

? 1+2k,0?,B(0,1+2k). (3)解 由 l 的方程,得 A?- ? ?
k

?

1+2k ? ?- <0, k 依题意得? ? ?1+2k>0, 解得 k>0. 1 1 ? 1+2k? ∵S= ?OA?OB= ??- ?|1+2k| k ? 2 2 ? ?
2 1 ? 1 ?1+2k? 1? = ? = ?4k+ +4? k ? 2 k 2?

1 ≥ ?(2?2+4)=4, 2 1 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k= ,即 k= , k 2 ∴Smin=4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0.

求直线方程忽视零截距致误 典例:(14 分)设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0 (a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 易错分析 本题易错点为求直线方程时,漏掉直线过原点的情况. 规范解答 解 (1)当直线过原点时, 该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零, ∴a=2, 方程即为 3x+y=0.[3 分] 当直线不经过原点时,截距存在且均不为 0.

7



a-2 =a-2,即 a+1=1. a+1

∴a=0,方程即为 x+y+2=0. 综上可知,直线方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0.[8 分] (2)将 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2,
?-?a+1?>0, ? ∴? ?a-2≤0 ? ?-?a+1?=0, ? 或? ?a-2≤0, ?

∴a≤-1.[12 分]

综上可知 a 的取值范围是 a≤-1.[14 分] 温馨提醒 (1)在求与截距有关的直线方程时, 注意对直线的截距是否为零进行分类讨论, 防 止忽视截距为零的情形,导致产生漏解. (2)常见的与截距问题有关的易错点有“截距互为相反数”;“一截距是另一截距的几倍” 等,解决此类问题时,要先考虑零截距情形,注意分类讨论思想的运用.

方法与技巧 直线的倾斜角和斜率的关系: (1)任何直线都存在倾斜角,但并不是任意直线都存在斜率. (2)直线的倾斜角 α 和斜率 k 之间的对应法则: α 0° 0 0°<α <90 ° 90° 不存在 90°<α <180 °

k
失误与防范

k>0

k<0

与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点 (1)明确直线方程各种形式的适用条件 点斜式、 斜截式方程适用于不垂直于 x 轴的直线; 两点式方程不能表示垂直于 x、 y 轴的直线; 截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线. (2)截距不是距离,距离是非负值,而截距可正可负,可为零,在与截距有关的问题中,要注 意讨论截距是否为零. (3)求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,应注意分类讨论,即应对斜率是否存在 加以讨论.

8

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.如图中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3,则 k1,k2,k3 的大小关系为________.(用“<”连接) 答案 k1<k3<k2 解析 直线 l1 的倾斜角 α 1 是钝角,故 k1<0,直线 l2 与 l3 的倾斜角 α 2 与 α 3 均为锐角,且 α 2>α 3,所以 0<k3<k2,因此 k1<k3<k2. 2.直线 xsin 答案 6π 7 π π +ycos =0 的倾斜角 α 是________. 7 7

π sin 7 π 6 解析 ∵tan α =- =-tan =tan π , π 7 7 cos 7 6 ∵α ∈[0,π ),∴α = π . 7 3.直线 x+(a +1)y+1=0 的倾斜角的取值范围是__________________.
2

?3π ,π ? 答案 ? ? ? 4 ?
解析 ∵直线的斜率 k=- 1 ?3π ,π ?. ,∴-1≤k<0,则倾斜角的范围是? ? a +1 ? 4 ?
2

4.两条直线 l1: - =1 和 l2: - =1 在同一直角坐标系中的图象可以是________.

x y a b

x y b a

答案 ① 解析 化为截距式 +

x y x y =1, + =1. a -b b -a

假定 l1,判断 a,b,确定 l2 的位置,知①符合.

9

5. 已知直线 PQ 的斜率为- 3, 将直线绕点 P 顺时针旋转 60°所得的直线的斜率为________. 答案 3

解析 直线 PQ 的斜率为- 3, 则直线 PQ 的倾斜角为 120°, 所求直线的倾斜角为 60°, tan 60°= 3. 6.若直线 l 的斜率为 k,倾斜角为 α ,而 α ∈? __________. 答案 [- 3,0)∪?

?π ,π ?∪?2π ,π ?,则 k 的取值范围是 ? ? ? ?6 4? ? 3 ?

? 3 ? ,1? ?3 ?

π π 3 解析 当 ≤α < 时, ≤tan α <1, 6 4 3 ∴ 当 3 ≤k<1. 3 2π ≤α <π 时,- 3≤tan α <0. 3

∴k∈?

? 3 ? ,1?∪[- 3,0). ?3 ?

7.直线 l:ax+(a+1)y+2=0 的倾斜角大于 45°,则 a 的取值范围是________________. 1 答案 (-∞,- )∪(0,+∞) 2 解析 当 a=-1 时,直线 l 的倾斜角为 90°,符合要求; 当 a≠-1 时,直线 l 的斜率为- 1 解得-1<a<- 或 a<-1 或 a>0. 2 1 综上可知,实数 a 的取值范围是(-∞,- )∪(0,+∞). 2 8.若 ab>0,且 A(a,0)、B(0,b)、C(-2,-2)三点共线,则 ab 的最小值为________. 答案 16

a a a ,只要- >1 或- <0 即可, a+1 a+ 1 a+1

x y -2 解析 根据 A(a,0)、B(0,b)确定直线的方程为 + =1,又 C(-2,-2)在该直线上,故 a b a
+ -2 =1,

b

所以-2(a+b)=ab.又 ab>0,故 a<0,b<0. 根据基本不等式 ab=-2(a+b)≥4 ab,从而 ab≤0(舍去)或 ab≥4,故 ab≥16,当且仅 当 a=b=-4 时取等号.即 ab 的最小值为 16. 9.已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满足下列条件的直线 l 的方程:
10

1 (1)过定点 A(-3,4);(2)斜率为 . 6 4 解 (1)设直线 l 的方程是 y=k(x+3)+4,它在 x 轴,y 轴上的截距分别是- -3,3k+4,

k

? 4 ? 由已知,得(3k+4)?- -3?=±6, ? k ?
2 8 解得 k1=- 或 k2=- . 3 3 故直线 l 的方程为 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0. (2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b,则直线 l 的方程是

y= x+b,它在 x 轴上的截距是-6b,
由已知,得|-6b?b|=6,∴b=±1. ∴直线 l 的方程为 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0. 10.如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45°和 30°角,过点

1 6

P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 的中点 C 恰好
1 落在直线 y= x 上时,求直线 AB 的方程. 2 解 由题意可得 kOA=tan 45°=1, kOB=tan(180°-30°)=-

3 , 3 所以直线 lOA:y=x,lOB:y=- 设 A(m,m),B(- 3n,n), 所以 AB 的中点 C? 3 x. 3

?m- 3n m+n? , ?, 2 ? ? 2

1 由点 C 在 y= x 上,且 A、P、B 三点共线得 2

m+n 1 m- 3n ? ? 2 =2? 2 , ?m-0 n-0 ? ?m-1=- 3n-1,
又 P(1,0),所以 kAB=kAP=

解得 m= 3,所以 A( 3, 3).

3 3-1



3+ 3 , 2

3+ 3 所以 lAB:y= (x-1), 2 即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0.
11

B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 1.若直线 ax+by=ab (a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在 x 轴,y 轴上的截距之和的最小值 为________. 答案 4 解析 ∵直线 ax+by=ab (a>0,b>0)过点(1,1), 1 1 ∴a+b=ab,即 + =1,

a b

b a ?1 1? ∴a+b=(a+b)? + ?=2+ + ≥2+2

?a b?

a b

b a ? = 4, a b

当且仅当 a=b=2 时上式等号成立. ∴直线在 x 轴,y 轴上的截距之和的最小值为 4. 2.过点 P(-2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为 12 的直线共有________条. 答案 3 解析 设过点 P(-2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为 12 的直线的斜率为 k, 则有直线的 方程为 y-3=k(x+2),即 kx-y+2k+3=0,它与坐标轴的交点分别为 M(0,2k+3)、

N?-2- ,0?. k ? ?
1 1 3 9 9 9 再由 12= OM?ON= |2k+3|?|-2- |, 可得|4k+ +12|=24, 即 4k+ +12=24,4k+ + 2 2 k k k k 3 -9-6 2 -9+6 2 12=-24.解得 k= ,或 k= 或 k= , 2 2 2 故满足条件的直线有 3 条. 3.若直线 l1:y=k(x-6)与直线 l2 关于点(3,1)对称,则直线 l2 恒过定点________. 答案 (0,2) 解析 直线 l1:y=k(x-6)恒过定点(6,0),定点关于点(3,1)对称的点为(0,2).又直线 l1:

?

3

?

y=k(x-6)与直线 l2 关于点(3,1)对称,故直线 l2 恒过定点(0,2).
4.已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上一动点 P(x,y),则 xy 的最大值是________. 答案 3 解析 直线 AB 的方程为 + =1, 3 4 3 设 P(x,y),则 x=3- y, 4 3 2 3 2 ∴xy=3y- y = (-y +4y) 4 4

x y

12

3 2 = [-(y-2) +4]≤3. 4

?3 ? 即当 P 点坐标为? ,2?时,xy 取最大值 3. ?2 ?
5.设点 A(-1,0),B(1,0),直线 2x+y-b=0 与线段 AB 相交,则 b 的取值范围是________. 答案 [-2,2] 解析 b 为直线 y=-2x+b 在 y 轴上的截距, 如图,当直线 y=-2x+b 过点 A(-1,0)和点 B(1,0)时 b 分别取得最 小值和最大值. ∴b 的取值范围是[-2,2]. 6.如图,在△ABC 中,已知 A(5,-2),B(7,3),且 AC 边的中点 M 在 y 轴上,BC 的中点 N 在 x 轴上,求这个三角形三边所在直线的方程. 解 设 M(0,a),N(b,0),C(m,n), ∵A(5,-2),B(7,3), 又 M 是 AC 的中点,∴5+m=0,m=-5,

N 是 BC 的中点,∴3+n=0,n=-3,
∴C 点坐标为(-5,-3), 由直线方程的两点式得 AB 边所在直线方程为 = , 3-?-2? 7-5 整理得:5x-2y-29=0;

y-?-2? x-5

AC 边所在直线方程为

y-?-2? x-5 = , -3-?-2? -5-5

整理得:x-10y-25=0;

BC 边所在直线方程为

y-3 x-7 = , -3-3 -5-7

整理得:x-2y-1=0.

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