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高中数学 3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(4课时)课件 新人教A版必修5


3.3.1 二元一次不等式(组) 与平面区域 第一课时

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.什么是一元二次不等式?其一般形式 如何? 基本概念:只含有一个未知数,且未 知数的最高次数是2的不等式. 一般形式:ax + bx + c > 0 或 2 ax + bx + c < 0 (a>0).
2

探究(一):二元一次不等式的有关概念 【背景材料】一家银行的信贷部计划年 初投入不超过2500万元用于企业和个人 贷款,希望这笔资金至少可带来3万元的 收益,其中从企业贷款中获益12%,从个 人贷款中获益10% .因此,信贷部应如何 分配贷款资金就成为一个实际问题.

思考1:设用于企业贷款的资金为x万元, 用于个人贷款的资金为y万元,从贷款总 额的角度分析有什么不等关系?用不等 式如何表示? x+y≤2500

思考2:从银行收益的角度分析有什么不 等关系?用不等式如何表示?
(12%)x +(10%)y≥3,即6x+5y≥150

思考3:考虑到用于企业和个人贷款的资 金数额都不能是负值,x、y还要满足什 么不等关系? x≥0,y≥0 思考4:根据上述分析,银行信贷部分配 资金应满足的条件是什么?

? x ? y ? 2500 ? ?6 x ? 5 y ? 150 ? x ? 0, y ? 0 ?

思考5:不等式x+y≤2500与6x+5y≥150叫 什么名称?其基本含义如何? 二元一次不等式:含有两个未知数,并且 未知数的最高次数是1的不等式. 思考6:二元一次不等式的一般形式如何? 怎样理解二元一次不等式组? 一般形式: Ax+By+C≤0或Ax+By+C≥0 二元一次不等式组:由几个二元一次不 等式组成的不等式组.

思考7:集合{(x,y)|x+y≤2500}的含 义如何? 满足不等式x+y≤2500的所有有序实数 对(x,y)构成的集合. 思考8:怎样理解二元一次不等式(组) 的解集? 满足二元一次不等式(组)的x和y的取 值构成有序实数对(x,y),所有这样 的有序实数对(x,y)构成的集合称为 二元一次不等式(组)的解集.

探究(二):特殊不等式与平面区域

二元一次不等式(组)的解是有序 实数对,而直角坐标平面内点的坐标也 是有序实数对,因此,有序实数对就可 以看成是平面内点的坐标,所以二元一 次不等式(组)的解集就可以看成是直 角坐标系内的点构成的集合.

思考1:在平面直角坐标系中,方程x=a 表示一条直线,那么不等式x>a和x<a 表示的图形分别是什么? y x>a o x y x<a

o
x=a

x

x=a

思考2:在平面直角坐标系中,不等式 y≥a和y≤a分别表示什么区域?
y y≥a y=a o o y y=a x

y≤a

x

思考3:在平面直角坐标系中,不等式 y>x和y<x.分别表示什么区域?

y y>x
o

y=x x

y
o y<x

y=x x

思考4:在平面直角坐标系中,不等式 y>-x和y<-x分别表示什么区域?

y=-x

y
y>-x o x

y=-x

y
o x

y<-x

探究(三):一般不等式与平面区域

思考1:在平面直角坐标系中,方程 x-y-6=0表示一条直线,对于坐标平 面内任意一点P,它与该直线的相对位置 有哪几种可能情形?
y

在直线上; 在直线左上方区域内; 在直线右下方区域内.
O

P P

P x

x-y-6=0

思考2:若点P(x,y)是直线x-y-6= 0左上方平面区域内一点,那么x-y-6 是大于0?还是小于0?为什么?
y P(x,y)

y>y0
x

O

A(x,y0)

x-y-6<0

x-y-6=0

思考3:如果点P(x,y)的坐标满足x- y-6<0,那么点P一定在直线x-y-6= 0左上方的平面区域吗?为什么?
y P(x,y)

x-y-6<0
x

O

A(x,y0)

x-y-6=0

思考4:不等式x+y-6<0表示的平面区 域是直线x+y-6=0的左下方区域?还 是右上方区域?你有什么简单的判断办 法吗?
y

O

x x+y-6=0

x+y-6<0

思考5:不等式x+y-6<0和不等式x+y-6 >0分别表示直线l:x+y-6=0左下方的平 面区域和右上方的平面区域,直线l叫做这两 个区域的边界.那么不等式 x+y-6<0和 y 不等式x+y-6≤0 表示的平面区域有 x+y-6>0 什么不同?在图形 上如何区分?
O

x
x+y-6=0

x+y-6<0

y

y

O

x

O

x

x+y-6<0

x+y-6≤0

包括边界的区域将边界画成实线,不包 括边界的区域将边界画成虚线.

理论迁移

例 画出下列不等式表示的平面区域. (1)x+4y<4; (2) 4x-3y≤12.
y

1
4 O

4x-3y≤12
x O

y x 3

x+4y<4

-4

小结作业

1.对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有 点P(x,y),将其坐标代入Ax+By+C所 得值的符号都相同.在几何上,不等式 Ax+By+C>0(或<0)表示半平面.

2.画二元一次不等式表示的平面区域, 常采用“直线定界,特殊点定域”的方 法,当边界不过原点时,常把原点作为 特殊点.

3.不等式Ax+By+C>0表示的平面区域 位置与A、B的符号有关,相关理论不要 求掌握.

作业: P86练习:1,2.(做书上) P93习题3.3 A组:1.

3.3.1 二元一次不等式(组) 与平面区域 第二课时

问题提出

1.二元一次不等式有哪两个基本特征? 其一般形式如何?
特征:含有两个未知数; 未知数的最高次数是1. 一般形式:Ax+By+C≤0或 Ax+By+C≥0.

2.怎样画二元一次不等式表示的平面区 域?
确定边界线虚实 →画边界 →取特殊点定区域.

3.对实际问题中的不等关系 ,常需要用 二元一次不等式组来表示,因此,如何 画二元一次不等式组表示的平面区域, 就是一个新的学习内容.

探究一:两个不等式与平面区域
思考1:不等式y<-3x+12表示的平面 区域是哪一个半平面? 思考2:不等式x≤2y表示的平面区域是 哪一个半平面? y y x≤2y x=2y o x x o
y<-3x+12 y=-3x+12

? y ? ?3x ? 12 思考3:不等式组 ? ?x ? 2 y
表示的平面区域与上述两个平面区域有 何关系?
?

3x+y-12=0 y

x-2y=0
O x

思考4:两条相交直线y=-3x+12和 x=2y将坐标平面分成4个角形区域, 其余三个平面区域(不含边界)用不等式 组分别如何表示? ? y ? ?3 x ? 12
3x+y-12=0 y

? y ? ?3 x ? 12 ? ?x ? 2 y
O

? ?x ? 2 y

x-2y=0

x

? y ? ?3 x ? 12 ? ?x ? 2 y

? y ? ?3 x ? 12 ? ?x ? 2 y

探究(二):多个不等式与平面区域

【背景材料】要将两种大小不同的钢板 截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时 截得三种规格的小钢板的块数如下表所 示:
A规格 B规格 C规格

第一种钢板 第二种钢板

2 1

1 2

1 3

A规格
第一种钢板 第二种钢板 2 1

B规格
1 2

C规格
1 3

思考1:用第一种钢板x张,第二种钢板y 张,可截得A、B、C三种规格的小钢板各 多少块? A种:2x+y块

B种:x+2y块 C种:x+3y块

A种:2x+y块 B种:x+2y块 C种:x+3y块 思考2:生产中需要A、B、C三种规格的 成品分别15,18,27块,那么x、y应满 足什么不等关系?用不等式如何表示?

?2x ? y ? 15 ? ? x +2y ? 18 ? x +3y ? 27 ?

思考3:考虑到x、y的实际意义,x、y还 应满足什么不等关系?

x ? 0, y ? 0
?2x ? y ? 15 思考4:按实际要求, ? x +2y ? 18 ? x、y应满足不等式组, ? ? x +3y ? 27 ? x ? 0, y ? 0 ?

如何画出该不等式组表示的平面区域?

y

2x+y=15

?2x ? y ? 15 ? x +2y ? 18 ? ? ? x +3y ? 27 ? x ? 0, y ? 0 ?

x+3y=27

O

x+2y=18

x

理论迁移

例1 画出下列不等式表示的平面区域. (1)(x - y )(x - y - 1) < 0 2x (2) x < y y=2x
y x-y=0 x-y-1=0 y y=x

O x

O x y=-x y=-2x

例2 一个化肥厂生产甲、乙两种混合 肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是 磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产1车皮乙种 肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸 盐15t.现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t, 在此基础上生产两种混合肥料.列出满足 生产条件的数学关系式,并画出相应的 平面区域.

设x,y分别为计划生产甲、乙两种 混合肥料的车皮数, y ? 4 x ? y ? 10 ?6 x ? 5 y ? 22 ? 则 ? x?0 ? x ? y?0 ? O 6x+5y=22 相应的平面区域如图. 4x+y=10
? 4 x ? y ? 10 ?18 x ? 15 y ? 66 ? ? x?0 ? ? y?0 ?

ìx + y - 2> 0 ? ? 例3 求不等式组 ? ? íx - y + 2 0 表示的平面区域的 ? ? ?x ? 2 面积. ? ? ?
y x+y-2=0 x-y+2=0

1 S = 创4 2 = 4 2
O
x=2 x

小结作业

1.不等式组表示的平面区域是各个不等 式所表示的平面区域的交集,即各个不 等式所表示的平面区域的公共部分.
2.不等式组表示的平面区域可能是一个 多边形,也可能是一个无界区域,还可 能由几个子区域合成.若不等式组的解 集为空集,则它不表示任何区域.

作业:
P86练习:4. P93习题3.3 B组:1,2.

3.3.2

简单的线性规划问题

第一课时

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.“直线定界,特殊点定域”是画二元 一次不等式表示的平面区域的操作要点, 怎样画二元一次不等式组表示的平面区 域?

2.在现实生产、生活中,经常会遇到资 源利用、人力调配、生产安排等问题, 如何利用数学知识、方法解决这些问题, 是我们需要研究的课题.

探究(一):线性规划的实例分析
? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

【背景材料】某工厂用A、B两种配件 生产甲、乙两种产品,每生产一件甲 产品使用4个A配件耗时1h;每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每 天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件,每天工作时间按8h计算.

思考1:设每天分别生产甲、乙两种产 品x、y件,则该厂所有可能的日生产 安排应满足的基本条件是什么?

?x ? 2 y ? 8 ? 4 x ? 16 ?x ? 2 y ? 8 ? ? ? ? 4 y ? 12 即 ?0 ? x ? 4 ?0 ? y ? 3 ? x?0 ? ? ? y?0 ?

思考2:上述不等式组表示的平面区域是 什么图形?

?x ? 2 y ? 8 ? ?0 ? x ? 4 ?0 ? y ? 3 ?

y

y=3 x O x+2y=8

x=4

思考3:图中阴影区域内任意一点的坐 标都代表一种生产安排吗?

?x ? 2 y ? 8 ?0 ? x ? 4 ? ? 0? y?3 ? ?x ? N , y ? N ?

y

y=3 x O x=4 x+2y=8

阴影区域内的整点(坐标为整数的点) 代表所有可能的日生产安排.

思考4:若生产一件甲产品获利2万元, 生产一件乙产品获利3万元,设生产甲、 乙两种产品的总利润为z元,那么z与x、 y的关系是什么?

z=2x+3y.

思考5:将z=2x+3y看作是直线l的方程, 那么z有什么几何意义?

直线l在y轴上的截距的三倍, 或直线l在x轴上的截距的二倍.

思考6:当x、y满足上述不等式组时,
2 z y 直线l: ? ? x ? 的位置如何变化? 3 3 y

?x ? 2 y ? 8 ? ?0 ? x ? 4 ?0 ? y ? 3 ?

y=3 x O x+2y=8

x=4

经过对应的平面区域,并平行移动.

思考7:从图形来看,当直线l运动到什 么位置时,它在y轴上的截距取最大值?
y

经过点M(4,2) M
O x=4 y=3 x

x+2y=8

思考8:根据上述分析,工厂应采用哪种 生产安排才能使利润最大?其最大利润 为多少? y
y=3

M(4,2)
x O x=4 x+2y=8

每天生产甲产品4件,乙产品2件时,工 厂可获得最大利润14万元.

探究(二):线性规划的有关概念
? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

(1)线性约束条件: 在上述问题中,不等式组是一组对 变量x、y的约束条件,这组约束条件都 是关于x、y的一次不等式,称为线性约 束条件. (2)线性目标函数: 上述关于x、y的一次解析式z=2x+y 是关于变量x、y的二元一次函数,是求 最值的目标,称为线性目标函数.

(3)线性规划问题:

在线性约束条件下,求线性目标函数 的最大值或最小值问题,统称为线性规 划问题.
(4)可行解:

满足线性约束条件的解(x,y)叫 做可行解.

(5)可行域: 由所有可行解组成的集合叫做可行域.

(6)最优解: 使目标函数取得最大或最小值的可行 解叫做最优解.

理论迁移 例1 设z=2x-y,变量x、y满足下列条件
ì x - 4y ? 3 ? ? ? ? í 3x + 5y 25 ,求z的最大值和最小值. ? ? ?x ? 1 ? y x=1 ? ?
5

4
3 2 1

x-4y+3=0

3x+5y-25=0
1

0

2

3

4

5

6

7

X

例1 设z=2x-y,变量x、y满足下列条件
ì x - 4y ? 3 ? ? ? ? í 3x + 5y 25 ,求z的最大值和最小值. ? ? ?x ? 1 最大值为8, ? ? ?
y x=1 A B C 1 2x-y=0 5

4
3 2 1 0

12 最小值为. 5
x-4y+3=0

3x+5y-25=0

2

3

4

5

6

7

X

求z=2x+y的最大值.

ìy ? x ? ? ? ? 例2 已知x、y满足: x + y 2 í ? ? ? y ? 3x 6 ? ? ?
y 2x+y=0

y=x

M

最优解(3,3), 最大值9.

O

x

x+y=2
y=3x-6

小结作业

1.在线性约束条件下求目标函数的最大 值或最小值,是一种数形结合的数学思 想,它将目标函数的最值问题转化为动 直线在y轴上的截距的最值问题来解决.
2.对于直线l:z=Ax+By,若B>0,则 当直线l在y轴上的截距最大(小)时,z取 最大(小)值;若B<0,则当直线l在y轴 上的截距最大(小)时,z取最小(大)值.

作业:
P91练习:1,2.

3.3.2

简单的线性规划问题

第二课时

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.在线性规划问题中,约束条件,目标 函数,可行解,可行域,最优解的含义 分别是什么? (1)线性约束条件: 变量x、y满足的一次不等式组.

(2)目标函数: 关于x,y的二元函数.

(3)可行解: 满足线性约束条件的解(x,y).

(4)可行域: 由所有可行解组成的集合.
(5)最优解: 使目标函数取得最大或最小值的可行解

2.线性规划理论和方法来源于实际又 服务于实际,它在实际应用中主要解 决两类问题:一是在人力、物力、资 金等资源条件一定的情况下,如何使 用它们来完成最多的任务;二是对给 定的一项任务,如何合理安排和规划, 使之以最少的人力、物力、资金等资 源来完成该项任务.对不同的背景材料, 我们作些实例分析.

探究(一):营养配置问题
? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

【背景材料】营养学家指出,成人良好 的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳 水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的 脂肪.已知1kg食物A含有0.105kg碳水化 合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花 费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水 化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪, 花费21元.

思考1:背景材料中有较多的相关数据, 你有什么办法理顺这些数据?
食物/kg A 碳水化合物 蛋白质/kg /kg 0.105 0.07 脂肪/kg 0.14

B

0.105

0.14

0.07

思考2:设每天食用xkg食物A,ykg食 物B,问题中的约束条件用不等式组怎 样表示?
? 0.105x 0.105y 0.075 ? 7x 7y 5 ? ? ? ? ? ? ? 0.07x + 0.14y 0.06 ? 7x + 14y 6 ? ? ? ? 即í í ? 0.14x + 0.07y 0.06 ? 14x + 7y 6 ? ? ? ? ? x 吵 0, y 0 ? x 吵 0, y 0 ? ? ? ? ? ?

思考3:设总花费为z元,则目标函数是 什么? z=28x+21y 思考4:为了满足营养专家指出的日常饮 食要求,同时使花费最低,需要解决什 么问题? 在线性约束条件下,求目标函数最小值.

思考5:作可行域,使目标函数取最小 值的最优解是什么?目标函数的最小值 为多少? y 1 4 最优解 ( 7 , 7 ), 28x+21y=0 ? 7x 7y 5 ? 最小值16. ? ? A
7x+14y=6

? 7x + 14y 6 ? ? í ? 14x + 7y 6 ? ? ? x 吵 0, y 0 ? ? ?

O 7x+7y=5 14x+7y=6

x

思考6:上述分析得出什么结论? 每天食用食物A约143g,食物B约571g, 不仅能够满足日常饮食要求,同时使花 费最低,且最小花费为16元.

探究(二):产品数量控制问题
? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

【背景材料】要将两种大小不同的钢 板截成A、B、C三种规格,每张钢板可 同时截得三种规格的小钢板的块数如 下表所示:
A规格 第一种钢板 第二种钢板 2 1 B规格 1 2 C规格 1 3

生产中需要A、B、C三种规格的成品分 别15,18,27块,问分别截这两种钢板 各多少张,才能使所用钢板张数最小?

思考1:设用第一种钢板x张,第二种钢 板y张,则x、y满足的约束条件是什么? 目标函数是什么?
?2x ? y ? 15 ? x +2y ? 18 ? 约束条件: ? x +3y ? 27 ? ?x ? N , y ? N ?

目标函数:z=x+y.

思考2:作可行域,如何确定最优解?
y

2x+y=15

x+y=0
x+3y=27
18 39 M( , ) 5 5

?2x ? y ? 15 ? x +2y ? 18 ? ? x +3y ? 27 ? ?x ? N , y ? N ?

x+2y=18 在可行域内取与点M最临近的整点,并比较Z 值的大小.最优解(3,9)和(4,8).

O

x

思考3:如何回答原来的问题?
最优解:(3,9)和(4,8).

目标函数:z=x+y. 结论:截第一种钢板3张,第二种钢板9 张,或截第一种钢板4张,第二种钢板8 张,才能使所用钢板张数最小,且两种 截法都至少要两种钢板12张.

理论迁移

例 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥 料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷 酸盐4t、硝酸盐18t;生产1车皮乙种肥 料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t.现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t.若生 产1车皮甲种肥料,产生的利润为10 000 元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为 5 000元,那么分别生产甲、乙两种肥料 各多少车皮,能够产生最大的利润?

设生产甲、乙两种混合肥料的车皮数分 别为x,y,产生的利润为z万元.
y

x+0.5y=0 M(2,2)
O

?4 x ? y ? 10 ? ?6 x ? 5 y ? 22 ? x ? 0, y ? 0 ?
x

z=x+0.5y

6x+5y=22 4x+y=10

最优解M(2,2),最大利润为3万元.

小结作业

1.解决线性规划实际问题的基本思路: 设相关字母→定约束条件→写目标函数 →作可行域→找最优解→求最值→应答 实际问题.

2.一般地,最优解通常是可行域的顶点, 整点最优解在可行域的顶点附近.最优解 可能有多个,也可能在可行域的边界上 取得.

作业:

P93习题3.3 A组:3,4. B组:3.


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