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高中立体几何中二面角经典求法


高中立体几何中二面角求法
摘要:在立体几何中,求二面角的大小是历届高考的热点,几乎每年必考,而对于求二 面角方面的问题,同学们往往很难正确地找到作平面角的方法,本文对求二面角的方法作了 一个总结,希望对学生有帮助。 (一) 、二面角定义的回顾: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的 平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角 ? ? l ? ? 的棱上任取一点 O,分别在两个 半平面内作射线 AO ? l , BO ? l ,则 ?AOB 为二面角 ? ? l ? ? 的平面角。

?
A

B
O

l B

O

A

?

(二)、二面角的通常求法 1、由定义作出二面角的平面角; 2、利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角; 3、作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。 4、空间坐标法求二面角的大小 5、平移或延长(展)线(面)法 6、射影公式 S 射影=S 斜面 cosθ 7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 1、利用定义作出二面角的平面角,并设法求出其大小。 例 1、 如图,已知二面角α -а -β 等于 120° ,PA⊥α ,A∈α ,PB⊥β ,B∈β . 求∠APB 的大小. 解: 设平面∩PABα =OA,平面 PAB∩β =OB。
∴PA⊥а A P

∵PA⊥α , а ?α

同理 PB⊥а ∴а ⊥平面 PAB
O

又∵OA?平面 PAB ∴а ⊥OA 同理а ⊥OB. ∴∠AOB 是二面角α -а -β 的平面角. 在四边形 PAOB 中, ∠AOB=120° ,. ∠PAO=∠POB=90° , 所以∠APB=60°

B

2、 三垂线定理(逆定理)法 由二面角的一个面上的斜线(或它的射影)与二面角的棱垂直,推得它位于二面角的另 一的面上的射影(或斜线)也与二面角的棱垂直,从而确定二面角的平面角。 例2:如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,侧棱AA1长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求 面C1DE与面CDE所成二面角的正切值. D1 解:在长方体 ABCD—A B C D 中
1 1 1 1

C1

过点C1,作C1O ? DE,连结CO
由三垂线定理可得: CO ? DE

A1
D

B1 C O E B

??C1OC为二面角C1 ? DE ? C的平面角

又 ? ABCD是边长为 2的正方形

A

? CD?????CE=1, DE= 5
1 1 在Rt ?CDE 中, S ?CDE ? CD ? CE ? DE ? CO 2 2
? CO ? 2 5 5

又 ? CC1 ? 1

3、找(作)公垂面法

? C OC ? arg tan 2 5 ?? 1 5

? tan?C1OC ?

2 5 5

由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直,因此公垂面与两个面的交 线所成的角,就是二面角的平面角。 例 5、如图,已知 PA 与正方形 ABCD 所在平面垂直,且 AB=PA,求平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的大小。 解: ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD.P A B C D

又 CD⊥AD,故 CD⊥平面 PAD. 而 CD?平面 PCD, 所以 平面 PCD⊥平面 PAD. 同理可证 平面 PAB⊥平面 PAD.

因为 平面 PCD∩平面 PAD=PD,平面 PAB∩平面 PAD=PA,所以 PA、PD 与所求二面 角的棱均垂直,即∠APD 为所求二面角的平面角,且∠APD=45°.

5、平移或延长(展)线(面)法 将图形中有关线段或平面进行平移或延长 (展) , 以其得到二面角的两个平面的交线。 例 3、正三角形 ABC 的边长为 10,A∈平面α ,B、C 在平面α 的同侧,且与α 的距离分 别是 4 和 2,求平面 ABC 与α 所成的角的正弦值。 解:设 E、F 分别为 B、C 的射影,连 EF 并延长交 BC 延长线于 D,连 AD;AE ∵E、F 是 B、C 射影 ∵CF 丄α ∴BE 丄α ;
1 , 2

∴BE∥CF 又 CF:BE= ∴BC=DC,

B C

∴C 是 BD 的中点

∵Δ ABC 是正三角形∴∠B=∠BCA=∠BAC=60° , 又∠ACB+∠ACD=180° , ∴∠ACD=120° 又 AC=DC ,
?

E A

F

D

∴∠CAD=∠CDA=30° ,又∠BAD=∠BAC+∠CAD , ∴∠BAD=90° ,∴BA 丄 AD , 又∵AE 是 AB 在平面α 上的射影, ∴AE⊥AD 又 BA⊥AD ,平面 ABC∩平面α =A, ∴∠BAE 是平面 ABC 与α 所成的角, ∴BE⊥平面α ,∴ BE⊥AE , ∴Δ ABC 是 RtΔ
2 2 Sin∠BAE=BE:AB= 5 ,即平面 ABC 与α 所成角的正弦值为 。 5

6、射影公式 由公式 S 射影=S 斜面 cosθ , 作出二面角的平面角直接求出。 运用这一方法的关键是从图 中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影,而且它们的面积容易求得。 例 4、如图,设 M 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点,求平面 BMD 与底面 ABCD 所成的二面角的大 小。 解:∵D1D⊥面 ABCD,C1C⊥面 ABCD,∴ ?BMD1 在
A1 D B1 H M C D1 C1

A

B

底面上的射影为?BDC,
1 2 设正方体的棱长 a,则 S?BCD= a ,BD1= 3 a 2

所以∴MH=

2 6 2 a,S?BMD1= a 2 4
6 3

由 S?BDC=S?BMD1cosθ 得θ =arccos

7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 例 6、在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E、F 分别在 BB1、DD1 上,且 AE⊥A1B,AF ⊥A1D. (1) 求证:A1C⊥平面 AEF; 若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角), 则在空间 中有定理: “若两条直线分别垂直于两个平面,则这两条直线所成的角与这两个平面所成角的 大小相等. ” (2) 、 试根据上述定理, 在 AB=4, AD=3, AA1=5 时, 求平面 AEF 与平面 D1B1BD 所成角的大小的余弦值 解:(1)∵A1B⊥BC 即 A1B 是 A1C 的射影 又∵A1B⊥AE ∴A1C⊥AE 同理 A1C⊥AF ∴A1C⊥平面 AEF (2) 的解法如下: 过 C 作 BD 的垂线交 AB 于 G. 又 D1D⊥CG,故 CG⊥平面 BB1D1D. 而 A1C⊥平面 AEF((1)已证),设 CG 与 A1C 所成的角为α ,则α 即为平面 BB1D1D 与平面 AEF 所成的角.
Sin∠BCG=Sin∠ABD=

D1 A1 F D A G

C1 B1 E C B

4 3 , ,Cos∠BCG= 5 5

,GC=

15 4

BG=

9 7 ,AG= 4 4

A1G =A1A +AG =

2

2

2

449 2 2 2 2 ,A1C =AB +AD +AA1 =50 16

在?A1CG 中,由余弦定理得 Cos∠A1CG=

12 2 25

求二面角的大小还有很多的方法,这里只是列举了几个常用的方法,希望同学们能在解题 的时候加以总结,争取在高考中旗开得胜!
如何用空间向量求解二面角 求解二面角大小的方法很多,诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等若干种。而这些方 法中最简单易学的就是向量法,但在实际教学中本人发现学生利用向量法求解二面角还是存在一些问题, 究其原因应是对向量法的源头不尽了解。 本文就简要介绍有关这类问题的处理方法, 希望对大家有所帮助。 在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题.对于空间向量 a 、 b ,有 cos< a , b
? ?
? ? ? ?

>=

a? b

| a |?|b|
例 1 在四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD.求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值. 证明: 建立如图空间直角坐标系,并设正方形边 长为 1,依题意 得 AB = (0,1,0),是面 VAD 的法向量, 设 n = (1,y,z)是面 VDB 的法向量,则
? ?? ?? ? y ? ?1, ? 3 ? n? VB ? 0, ? n = (1,-1,- )。 ?? ? ?? ?? 3 ? 3 ? n? VB ? 0. ?z ? ? 3 ? ?
?? ? ?
?

?

?

.利用这一结论,我们可以较方便地处理立体几何中二面角的问题.

z V

?? ?

D A x B

C y

∴cos< AB , n >

?? ?

?

AB ? n

| AB | ? | n |

?? ?

?

=-

21 , 7

又由题意知,面 VAD 与面 VDB 所成的二面角为锐角,所以其余弦值是

21 7

例 2 如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB = 90 ? ,AC=1,CB= 2 ,侧 棱 AA1=1,侧面 AA1B1B 的两条对角线交点为 D,B1C1 的中点为 M. ⑴求证 CD⊥平面 BDM; ⑵求面 B1BD 与面 CBD 所成二面角的余弦值. 解:⑴略

A D C B B1

A1

C1 M

⑵如图,以 C 为原点建立坐标系.设 BD 中点为 G,连结 B 1 G,则依 G(
?? ? 1 1 3 1 2 , ), B1G = (- ,- , ), 2 2 4 4 4
?? ?

?? ? 3 2 1 1 2 , , ), BD = (- , 4 4 4 2

z A D C G B x B1 C1 M y A1

∴ BD · B1G = 0,∴BD⊥B 1 G. 又 CD⊥BD,∴ CD 与 B1G 的夹角 ? 等于所求二面角的平面角. ∴ cos ? =
?? ?

?? ?

?? ?

CD? B1G | CD | ? | B1G |
?? ? ?? ?

?? ? ?? ?

=-

3 . 3

例 3 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC, E 是 PC 的中点, 作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. 求 二面角 C—PB—D 的大小 解:如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点,设

z P F E C G B

DC ? a
设点 F 的坐标为 ( x0 ,y0 ,z0 ) , PA = ? PB ,则
?? ?

?? ?

( x0 ,y0 ,z0 ? a) ? ? (a,a ,?a) .
从而 x0 ? ?a,y0 ? ?a,z0 ? (1 ? ? )a .所以
?? ?

D

y

A x

PE = (? x0 ,

a a 1 1 ? y0 , ? z0 ) ? (?? a, ( ? ? )a, (? ? ) a) . 2 2 2 2
?? ? ?? ?

由条件 EF⊥PB 知, PE · PB = 0,即 ? ?a ? ( ? ? )a ? (? ? )a ? 0 ,解得 ? ?
2 2 2

1 2

1 2

1 . 3

∴点 F 的坐标为 ( , ,

a 3

a 3

?? ? ?? ? 2a a a a a a 2a ) ,且 PE ? (? , ,? ) , FD ? (? ,? ,? ) , 3 3 3 3 3 6 6

∴ PB · FD ? ?

?? ?

?? ?

a 2 a 2 2a 2 ? ? ? 0 ,即 PB ? FD ,故 ?EFD 是二面角 C—PB—D 的平面角. 3 3 3

∵ PE · FD = ?

?? ?

?? ?

?? ? a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 6 ? ? ? ,且 | PE |? ? ? ? a, 9 18 9 6 9 36 36 6

a 2 a 2 4a 2 6 | FD |? ? ? ? a, 9 9 9 3
?? ?

?? ? ?? ?

∴ cos ?EFD ?

PE ? FD

| PE || FD |

?? ?

?? ?

?

a2 6 6 6 a? a 6 3

?

1 ? ,∴ ?EFD ? . 3 2

所以,二面角 C—PB—D 的大小为 例 4

? . 3

已 知 三 棱 柱 OAB — O1 A 1 B 1 中 , 平 面 OB B 1O1 ⊥ 平 面 OAB , ∠ AOB = 90 ? , ∠

O1OB = 60 ? ,且 OB = OO1 = 2, OA = 3 ,求二面角 O1 —AB
— O 的余弦值. 解:以 O 为原点,分别以 OA , OB 所在的直线为 x,y 轴,过 O 点且与平面 AOB 垂直的直线为 z 轴,建立空间直角 坐标系.如图,则 O (0,0,0), O1 (0,1, 3 ),A( 3 , 0,0), A1 ( 3 ,1, 3 ),B(0,2,0). ∴ AO1 = (- 3 ,1, 3 ), AB = (- 3 ,2,0). 显然 OZ 为平面 AOB 的法向量,取 n1 = (0,0,1),设 平面 O1 AB 的法向量为 n 2 = (x,y,z),则
? ? ?? ?

z

O

1

B1

A1

O

B

y

? ??

? ??

A x

n 2 · AO1 = 0, n 2 · AB = 0.
即?

?

? ??

?

? ??

? ? ?? 3 x ? y ? 3 z ? 0 ,令 y = 3 ,x = 2,z = 1,则 n 2 = (2, 3 ,1). ? ?? 3 x ? 2 y ? 0
? ?

∴cos< n1 , n 2 >=

n1 ? n 2

?

?

? ? | n1 | ? | n 2 | 2 2

=

1

=

2 , 4

故二面角 O1 —AB— O 的余弦值是

2 4


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