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人教B版选修(2-2)3.1.3《复数的几何意义》word练习题1


复数的几何意义 一、数系的扩充和复数的概念 1.复数的引入:回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面:一方面数学本身发展的 需要;另一方面由于实际的需要.而复数的引入 属于前者. 我们知道,方程 x 2 ? 1 ? 0 在实数范围内无解,于是需引入新数 i 使 方程有解,显然,需 要 i 2 ? ?1 . 数系的扩充过程: 自然数集 N 引入负数 整数集 Z 引入分数 有理数集 Q 引入无理数 实 数集 R 引入虚数 复数集 C . 2.复数的代数形式:由实数的运算类似地得到新数 i 可以同实数进行加、减、乘运算, 于是得到:形如 a ? bi(a,b ? R) 的数叫做复数,并且把 z ? a ? bi(a,b ? R) 的这一表现形式 叫做复数的代数形式,其中的 a 叫做复数的实部 ,b 叫复数的虚部.注意复数 部是 ? 3 ,而不是 ? 3i . 3.复数相等的充要条件 a? b i ? c ? d? i 且 ? ab ? d c (a,b,c,d ? R) 注意事项: 1 ? 3i 的虚 2 ?实数a(b ? 0) ? (1)复数 a ? bi ? ?纯虚数bi (a ? 0) ?虚数a ? bi (b ? 0) ?非纯虚数a ? bi (a ? 0) ? ? ?实数集R (2)复数集 C ? ?虚数集?R (3)两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数,则不能比较大小. 二、复数的几何意义 1.复数可以用平面直角坐标系的点来唯一 表示,于是: 复数集 C ? ?a ? bi|a,b ? R? 与坐标系中的点集 ?(a,b) | a,b ? R? , 可以建立一一对应. [来 2.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内,x 轴叫做实轴,y 轴 0) 对 叫做虚轴,x 轴的单位是1,y 轴的单位是 i,实轴与虚轴的交点叫做原点,且原点 (0, Z ? a ? bi 应复数 0.于是有下面的一一对应关系:复数 复平面内的点 Z (a,b) . 3.由于平面向量与坐标平面的点一一对应,于是有: 复数 Z ? a ? bi 一一对应 平面向量 OZ . 在这些意义下,我们就可以把复数 z ? a ? bi 说成点 Z 或向量 OZ ,这给研究复数运算的 几何意义带来了方便. 4.复数的模就是这个复数对应的向量的模,复数 z ? a ? bi 的模为 z ? a2 ? b2 . 三、复数代数形式的四则运算 1.复数的加法、减法 ①运算法则 (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i . 其运算法则类似于多项式的合并同类项 ②复数加法的运算律 对于任意的 z1,z2,z3 ? C ,有: 交换 律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 . 结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) . [ ③复数加法的几何意 义 设 OZ1 , OZ2 分别与复数 a ? bi , c ? di 对应,根据向量加法的平行四边形(三角形) 法则,则有 OZ1 ? OZ2 ? OZ (如图 1) . 由平面向量的坐标运算:OZ1 ? OZ2 ? (a ? c,b ? d ) ,即得 OZ 与复数 (a ? c) ? (b ? d )i 对 应. 可见,复数的加法可以按向量加法的法则进行. ④复数减法的几何意义 设 OZ1 , OZ2 分别与复数 a ? bi , c ? di 对应(如图 2) , 根据向量加法的三角形法则有: OZ2 ? Z2 Z1 ? O

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