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高一数学上册课堂练习题33


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第一章综合素能检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的。) 1.已知集合 A={0,1,2,3,4,5},B={1,3,6,9},C={3,7,8},则 (A∩B)∪C 等于( A.{0,1,2,6,8} C.{1,3,7,8} [答案] C [解析] A∩B={1,3},(A∩B)∪C={1,3,7,8},故选 C. 2. 陕西文)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足: (09· 对任意的 x1,2∈[0, x f(x2)-f(x1) +∞)(x1≠x2),有 <0,则( x2-x1 A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) [答案] A [解析] 若 x2-x1>0,则 f(x2)-f(x1)<0, 即 f(x2)<f(x1), ∴f(x)在[0,+∞)上是减函数, ∵3>2>1,∴f(3)<f(2)<f(1), 又 f(x)是偶函数,∴f(-2)=f(2), ∴f(3)<f(-2)<f(1),故选 A. 3.已知 f(x),g(x)对应值如表.
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) B.{3,7,8} D.{1,3,6,7,8}

)

B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)

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x f(x) x g(x) 则 f(g(1))的值为( A.-1 C.1 [答案] C )

0 1 0 -1

1 0 1 0

-1 -1 -1 1

B.0 D.不存在

[解析] ∵g(1)=0,f(0)=1,∴f(g(1))=1. 4.已知函数 f(x+1)=3x+2,则 f(x)的解析式是( A.3x+2 C.3x-1 [答案] C [解析] 设 x+1=t,则 x=t-1, ∴f(t)=3(t-1)+2=3t-1,∴f(x)=3x-1.
?2x-1 (x≥2) ? 5.已知 f(x)=? 2 ,则 f(-1)+f(4)的值为( ? ?-x +3x (x<2)

)

B.3x+1 D.3x+4

)

A.-7 C.-8 [答案] B [解析]

B.3 D.4

f(4)=2×4-1=7,f(-1)=-(-1)2+3×(-1)=-4,

∴f(4)+f(-1)=3,故选 B. 6.f(x)=-x2+mx 在(-∞,1]上是增函数,则 m 的取值范围是 ( ) A.{2} C.[2,+∞) B.(-∞,2] D.(-∞,1]
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[答案] C [解析] m 2 m2 m m f(x)=-(x- 2 ) + 4 的增区间为(-∞, 2 ],由条件知 2

≥1,∴m≥2,故选 C. 7.定义集合 A、B 的运算 A*B={x|x∈A,或 x∈B,且 x?A∩B}, 则(A*B)*A 等于( A.A∩B C.A [答案] D [解析] A*B 的本质就是集合 A 与 B 的并集中除 去它们的公共元素后,剩余元素组成的集合. 因此(A*B)*A 是图中阴影部分与 A 的并集, 除去 A 中阴影部分后 剩余部分即 B,故选 D. [点评] 可取特殊集合求解. 如取 A={1,2,3},B={1,5},则 A*B={2,3,5},(A*B)*A={1,5} =B. 8.(广东梅县东山中学 2009~2010 高一期末)定义两种运算:a ? b= a2-b2,a?b= (a-b)2,则函数 f(x)= A.奇函数 B.偶函数 C.奇函数且为偶函数 D.非奇函数且非偶函数 [答案] A [解析] 由运算? 与?的定义知, 4-x2 f(x)= , (x-2)2-2
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) B.A∪B D.B

为(

)

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∵4-x2≥0,∴-2≤x≤2, 4-x2 4-x2 ∴f(x)= =- x , (2-x)-2 ∴f(x)的定义域为{x|-2≤x<0 或 0<x≤2}, 又 f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
? x≤0, ?x+2, 9.(08· 天津文)已知函数 f(x)= ? 则不等式 ? ?-x+2, x>0,

f(x)≥x2 的解集为( A.[-1,1] C.[-2,1] [答案] A

) B.[-2,2] D.[-1,2]

[解析] 解法 1:当 x=2 时,f(x)=0,f(x)≥x2 不成立,排除 B、 D;当 x=-2 时,f(x)=0,也不满足 f(x)≥x2,排除 C,故选 A.
?x≤0 ?x>0 ? 解法 2:不等式化为? 或? 2 , 2 ? ?-x+2≥x ?x+2≥x

解之得,-1≤x≤0 或 0<x≤1,即-1≤x≤1. 10. 调查了某校高一一班的 50 名学生参加课外活动小组的情况, 有 32 人参加了数学兴趣小组,有 27 人参加了英语兴趣小组,对于既 参加数学兴趣小组,又参加英语兴趣小组的人数统计中,下列说法正 确的是( ) B.最多 13 人 D.最少 9 人

A.最多 32 人 C.最少 27 人 [答案] D

[解析] ∵27+32-50=9,故两项兴趣小组都参加的至多有 27 人,至少有 9 人.

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1 11.设函数 f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=2,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)=( A.0 5 C.2 [答案] C 1 [解析] f(1)=f(-1+2)=f(-1)+f(2)=2,又 f(-1)=-f(1)=- 1 2,∴f(2)=1, 5 ∴f(5)=f(3)+f(2)=f(1)+2f(2)=2.
?g(x),若f(x)≥g(x), ? 12. 已知 f(x)=3-2|x|, g(x)=x -2x, F(x)=? ?f(x),若f(x)<g(x). ?
2

) B.1 D.5

则 F(x)的最值是(

)

A.最大值为 3,最小值-1 B.最大值为 7-2 7,无最小值 C.最大值为 3,无最小值 D.既无最大值,又无最小值 [答案] B [解析] 作出 F(x)的图象,如图实线部分,知有最大值而无最小 值,且最大值不是 3,故选 B.

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

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二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确 答案填在题中横线上) 13. (2010· 江苏, 1)设集合 A={-1,1,3}, B={a+2, 2+4}, a A∩B ={3},则实数 a=________. [答案] -1 [解析] ∵A∩B={3},∴3∈B, ∵a2+4≥4,∴a+2=3,∴a=-1.
?2 (n=1) ? 14.已知函数 y=f(n)满足 f(n)=? ,则 f(3)= ? ?3f(n-1) (n≥2)

________. [答案] 18 [解析] 由条件知,f(1)=2,f(2)=3f(1)=6,f(3)=3f(2)=18. 15.已知函数 f(x)= 2-ax 实数 a 的取值范围是________. [答案] (0,2] [解析] a<0 时,f(x)在定义域上是增函数,不合题意,∴a>0. 2 由 2-ax≥0 得,x≤a, 2 ∴f(x)在(-∞,a]上是减函数, 2 由条件a≥1,∴0<a≤2. 16.国家规定个人稿费的纳税办法是:不超过 800 元的不纳税; 超过 800 元而不超过 4000 元的按超过 800 元的 14%纳税;超过 4000 元的按全部稿酬的 11%纳税.某人出版了一本书,共纳税 420 元,则 这个人的稿费为________. [答案] 3800 元
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(a≠0)在区间[0,1]上是减函数,则

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[解析] 由于 4000×11%=440>420,设稿费 x 元,x<4000,则(x -800)×14%=420, ∴x=3800(元). 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 74 分, 共 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)设集合 A={x|a≤x≤a+3},集合 B={x|x< -1 或 x>5},分别就下列条件求实数 a 的取值范围: (1)A∩B≠?,(2)A∩B=A. [解析] (1)因为 A∩B≠?,所以 a<-1 或 a+3>5,即 a<-1 或 a>2. (2)因为 A∩B=A,所以 A?B,所以 a>5 或 a+3<-1,即 a>5 或 a<-4. 18.(本题满分 12 分)二次函数 f(x)的最小值为 1,且 f(0)=f(2)= 3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求 a 的取值范围. [解析] (1)∵f(x)为二次函数且 f(0)=f(2), ∴对称轴为 x=1. 又∵f(x)最小值为 1,∴可设 f(x)=a(x-1)2+1 ∵f(0)=3,∴a=2,∴f(x)=2(x-1)2+1, 即 f(x)=2x2-4x+3. 1 (2)由条件知 2a<1<a+1,∴0<a<2. 19. (本题满分 12 分)图中给出了奇函数 f(x)的局部图象, 已知 f(x) 的定义域为[-5,5],试补全其图象,并比较 f(1)与 f(3)的大小. (a>0)

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[解析] 奇函数的图象关于原点对称,可画出其图象如图.显见 f(3)>f(1).

20.(本题满分 12 分)一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长 分别为 40cm 与 60cm 现将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为 矩形的一个角,问怎样剪法,才能使剩下的残料最少? [解析] 如图,剪出的矩形为 CDEF,设 CD=x,CF=y,则 AF =40-y. ∵△AFE∽△ACB. 40-y x AF FE ∴AC=BC即∴ 40 =60 2 ∴y=40-3x.剩下的残料面积为: 1 2 2 S=2×60×40-x· 3x2-40x+1200=3(x-30)2+600 y= ∵0<x<60∴当 x=30 时,S 取最小值为 600,这时 y=20. ∴在边长 60cm 的直角边 CB 上截 CD=30cm, 在边长为 40cm 的 直角边 AC 上截 CF=20cm 时,能使所剩残料最少. 21.(本题满分 12 分) a (1)若 a<0,讨论函数 f(x)=x+x ,在其定义域上的单调性;

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a (2)若 a>0,判断并证明 f(x)=x+x在(0, a]上的单调性. a [解析] (1)∵a<0,∴y=x在(-∞,0)和(0,+∞)上都是增函数, a 又 y=x 为增函数,∴f(x)=x+x在(-∞,0)和(0,+∞)上都是增 函数. a (2)f(x)=x+x 在(0, a]上单调减, 设 0<x1<x2≤ a,则 f(x1)-f(x2) a(x2-x1) a a =(x1+x )-(x2+x )=(x1-x2)+ x x 1 2 1 2 a =(x1-x2)(1-x x )>0, 1 2 ∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在(0, a]上单调减. 22.(本题满分 14 分)设函数 f(x)=|x-a|,g(x)=ax. (1)当 a=2 时,解关于 x 的不等式 f(x)<g(x). (2)记 F(x)=f(x)-g(x),求函数 F(x)在(0,a]上的最小值(a>0). [解析] (1)|x-2|<2x,则
?x≥2, ?x<2, ? ? ? 或? ? ? ?x-2<2x. ?2-x<2x.

2 2 ∴x≥2 或3<x<2.即 x>3. (2)F(x)=|x-a|-ax,∵0<x≤a, ∴F(x)=-(a+1)x+a. ∵-(a+1)<0, ∴函数 F(x)在(0,a]上是单调减函数,∴当 x=a 时,函数 F(x) 取得最小值为-a2.

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