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高一数学必修四第一章 1.3.2 第1课时


第1课时

1.3.2
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奇偶性 奇偶性的概念

第 1 课时

【读一读学习要求,目标更明确】 1.理解函数的奇偶性及其几何意义; 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 3.掌握判断函数奇偶性的方法与步骤.

第1课时

【看一看学法指导,学习更灵活】 通过自己动手计算,独立地去经历发现、猜想与证明的
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全过程,从而建立奇偶函数的概念.通过函数奇偶性概 念的形成过程,培养学生观察、归纳、抽象的能力,渗 透数形结合的数学思想, 培养学生从特殊到一般的概括 归纳问题的能力.

填一填·知识要点、记下疑难点

第1课时

1.函数奇偶性的概念
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任意 (1)偶函数: 如果对于函数 f(x)的定义域内________一个 f(-x)=f(x) x,都有___________________,那么函数 f(x)就叫做偶
函数.

任意 (2)奇函数: 如果对于函数 f(x)的定义域内__________一
f(-x)=-f(x) 个 x,都有______________________,那么函数 f(x)就

叫做奇函数.

填一填·知识要点、记下疑难点

第1课时

2.奇、偶函数的图象
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y轴 (1)偶函数的图象关于_________对称. 原点 (2)奇函数的图象关于___________对称.

3.判断函数奇偶性要注意定义域优先原则,即首先要 看定义域是否关于原点对称.

研一研·问题探究、课堂更高效7

第1课时

问题探究一 偶函数的概念
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导引 “对称”是大自然的一种美,这种“对称美”在 数学中也有大量的体现,让我们看看下列各函数有 什么共性?

问题 1 观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.

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第1课时

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第1课时

答 函数 f(x)=x2 是定义域为全体实数的抛物线;函数
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1 f(x)=|x|-1 是定义域为全体实数的折线;函数 f(x)= 2 x 是定义域为非零实数的两支曲线,各函数之间的共性为 图象关于 y 轴对称.

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问题 2

第1课时

观察一对关于 y 轴对称的点的坐标有什么关系?

答 若点(x,f(x))在函数图象上,则相应的点(-x,f(x)) 也在函数图象上,即函数图象上横坐标互为相反数的点,
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它们的纵坐标一定相等.

问题 3 你能从函数 y=x2 的图象上任意两点的关系上说明 图象为什么关于 y 轴对称吗?

答 对于 R 内任意的一个 x,都有 f(-x)=(-x)2=x2 =f(x), 即图象上总存在任意的两点(x, f(x)), (-x, f(x)) 关于 y 轴对称.

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第1课时

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小结

偶函数的定义:一般地,如果对于函数 f(x)的定义

域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶 函数.

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第1课时

例 1 判断下列函数哪些是偶函数. (1)f(x)=x2+1; (2)f(x)=x2,x∈[-1,3];
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(3)f(x)=0.
解 (1)由解析式可知函数的定义域为 R,由于 f(-x) =(-x)2+1=x2+1=f(x),所以函数为偶函数.

(2)由于函数的定义域不关于原点对称,故函数不是偶函 数.
(3)函数的定义域为 R,由于 f(-x)=0=f(x),所以函数 为偶函数.

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第1课时

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小结

利用定义法判断函数是不是偶函数时,首先应看

函数定义域是否关于原点对称,即对于定义域内的任意 一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量.

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第1课时

跟踪训练 1 判断下列函数是否为偶函数. (1)f(x)=(x+1)(x-1); x3-x2 (2)f(x)= . x-1
解 (1)函数的定义域为 R,因函数 f(x)=(x+1)(x-1)

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=x2-1,又因 f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),所以 函数为偶函数.
x3-x2 (2)函数 f(x)= 不是偶函数,因为它的定义域为 x-1 {x|x∈R 且 x≠1},并不关于原点对称.

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问题探究二 问题 1
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第1课时

奇函数的概念

1 观察函数 f(x)=x 和 f(x)= 的图象(如图),你能发 x

现两个函数图象有什么共同特征吗?

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第1课时

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答 容易得到定义域关于原点对称,图象关于原点对称.

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问题 2

求出当 x 取-3,-2,-1,1,2,3 时,函数 f(x)=x

的值,及当 x 分别等于-3,-2,-1,1,2,3 时函数 f(x) 1 =x的函数值,从中你能发现什么规律吗? 答 对函数 f(x)=x 有:f(-3)=-3=-f(3),f(-2)=-2
=-f(2),f(-1)=-1=-f(1);

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1 1 1 对函数 f(x)=x有:f(-3)=- =-f(3),f(-2)=- =- 3 2 f(2),f(-1)=-1=-f(1).
存在的规律是:两个关于原点对称的 x 的值,其函数值互为 相反数.

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第1课时

问题 3

你能把问题 2 中的由具体的函数值得出的规律抽

象成一般形式吗?
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对于 R 内任意的一个 x,都有 f(-x)=-f(x).事实

上这就是奇函数的概念.

小结

(1)奇函数的定义:一般地,对于函数 f(x)的定义

域的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么 f(x)就叫做 奇函数.(2)如果一个函数 f(x)是奇函数或偶函数,那么 我们就说函数 f(x)具有奇偶性.

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第1课时

例2

判断下列函数的奇偶性.
4 5

1 (1)f(x)=x ;(2)f(x)=x ;(3)f(x)=x+x;
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1 (4)f(x)= 2;(5)f(x)= x; x (6)f(x)= 1-x2+ x2-1.



(1)对于函数 f(x)=x4,其定义域为 R,因为定义域

内的每一个 x,都有 f(-x)=(-x)4=x4=f(x),所以,函 数 f(x)=x4 为偶函数.

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(2)对于函数 f(x)=x5,其定义域为 R,因为定义域内的每 一个 x, 都有 f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x). 所以, 函数 f(x)
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=x5 为奇函数.
1 (3)函数 f(x)=x+x的定义域为{x|x∈R 且 x≠0},因为定
? 1? 1 义域内的每一个 x,都有 f(-x)=-x+ =-?x+x?= ? ? -x

1 -f(x),所以,函数 f(x)=x+x为奇函数.

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第1课时

1 (4)根据偶函数的定义,易得 f(x)= 2为偶函数. x
(5)对于函数 f(x)= x,其定义域为{x|x≥0},因为函数的
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定义域关于原点不对称, 所以函数 f(x)= x既不是奇函数 也不是偶函数.
(6)对于函数 f(x)= 1-x2+ x2-1,其定义域为{-1,1}, 因为定义域内的每一个 x, 都有 f(x)=0, 所以 f(-x)=f(x), 故函数 f(x)= 1-x2+ x2-1为偶函数. f(-x)=-f(x), 又 故函数 f(x)= 1-x2+ x2-1为奇函数. 即该函数既是奇 函数又是偶函数.

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第1课时

小结
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(1)对于一个函数来说,它的奇偶性有四种可能:是

奇函数但不是偶函数;是偶函数但不是奇函数;既是奇函 数又是偶函数;既不是奇函数也不是偶函数.(2)用定义判 断函数奇偶性的步骤:①先求定义域,看是否关于原点对 称;②再判断 f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是否恒成立.

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跟踪训练 2 判断下列各函数的奇偶性: 2+x ; 2-x

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(1)f(x)=(x-2)
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?x<-1?, ?x+2 ? (2)f(x)=?0 ?|x|≤1?, ?-x+2 ?x>1?. ?
解 2+x (1)由 ≥0,得定义域为[-2,2),关于原点不对 2-x

称,故 f(x)为非奇非偶函数.

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第1课时

(2)x<-1 时,f(x)=x+2,-x>1, ∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x);
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x>1 时,f(x)=-x+2,-x<-1, f(-x)=-x+2=f(x). -1≤x≤1 时,f(x)=0,-1≤-x≤1, f(-x)=0=f(x). ∴对定义域内的每个 x 都有 f(-x)=f(x), 因此 f(x)是偶函数.

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例3

如图,给出了偶函数 y=f(x)的局部图象,试比较 f(1)

与 f(3)的大小.
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∵f(-3)>f(-1),又 f(-3)=f(3),f(-1)=f(1).

∴f(3)>f(1).

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第1课时

小结

本题有两种解法, 一种是通过图象观察, f(-3)>f(-1),

选用偶函数定义,得 f(3)>f(1);另一种方法是利用偶函数图象
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的对称性.

跟踪训练 3 如图, 给出了奇函数 y=f(x)的局部图象, f(- 则
-2 4)=________.

解析

f(-4)=-f(4)=-2.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

第1课时

1.下列说法正确的是( B )
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A.如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数为 奇函数 B.如果一个函数为偶函数,则它的定义域关于坐标原点对称 C.如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数为 偶函数 D.如果一个函数的图象关于 y 轴对称,则这个函数为奇函数

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2.设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下 列结论恒成立的是( A )
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A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数
解析 由 f(x)是偶函数,可得 f(-x)=f(x),

由 g(x)是奇函数可得 g(-x)=-g(x), 故|g(x)|为偶函数,∴f(x)+|g(x)|为偶函数.

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3.已知 y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则 F(x) 是( B )
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A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
解析 F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x).

又 x∈(-a,a)关于原点对称,∴F(x)是偶函数.

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第1课时

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1. 两个定义: 对于 f(x)定义域内的任意一个 x, 如果都有 f(- x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0?f(x)为奇函数;如果都有 f(-x)=f(x)?f(-x)-f(x)=0?f(x)为偶函数. 2.两个性质:函数为奇函数?它的图象关于原点对称;函 数为偶函数?它的图象关于 y 轴对称.


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