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广东省东莞市2013-2014学年高二下学期期末考试数学理(A卷)试题 Word版含答案


2013-2014 学年广东省东莞市高二(下)期末试卷(A 卷) 数学(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题各有四个选项支,仅有一 个选项支正确) 1. (5 分)对两个变量 x 和 y 进行回归分析,得到一组样本数据: (x1,y1) , (x2,y2) ,… , (xn,yn) ,则下列说法中不正确的是( ) A. 由样本数据得到的回归方程 = x+ 必过样本点的中心( , ) B. 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好

C. 用相关指数 R =1﹣

2

来刻画回归效果,R 的值越小,说明模型

2

的拟合效果越好

D. 用相关指数 R =1﹣

2

来刻画回归效果,R 的值越大,说明模型

2

的拟合效果越好 2. (5 分)复数 z= A. 2﹣i (i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数 z 为( B.2+i
2

) D.4+2i

C.4﹣2i

3. (5 分)随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ ) ,已知 P(ξ<0)=0.4,则 P(ξ<2)=( ) A. 0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.6 4. (5 分)用反证法证明命题:“若 a、b、c 是三连续的整数,那么 a、b、c 中至少有一个是 偶数”时,下列假设正确的是( ) A.假设 a、b、c 中至多有一个偶数 B. 假设 a、b、c 中至多有两个偶数 C.假设 a、b、c 都是偶数 D.假设 a、b、c 都不是偶数 5. (5 分)曲线 y=ln(x+1)在 x=0 处的切线方程是( ) A. y=x B.y=﹣x C.y﹣ x D.y=2x

6. (5 分)若随机变量 X 服从两点分布,其中 P(X=0)= ,则 E(3X+2)和 D(3X+2) 的值分别是( A. 4 和 2 7. (5 分) (x A.第 3 项 + ) B.4 和 4
11

C.2 和 4 )

D.2 和 2

) 的展开式中,常数项是( B.第 4 项

C.第 7 项

D.第 8 项

8. (5 分)计算: A.﹣

|1﹣x |dx=( B.

2

) C.2 D.

9. (5 分)7 人排成一排,限定甲要排在乙的左边,乙要排在丙的左边,甲、乙相邻,乙、 丙不相邻,则不同排法的种数是( ) A. 60 B.120 C.240 D.360 10. (5 分)设 f(x)= x + ax +bx+c,当 x=x1∈(﹣1,0)时取得极大值,当 x=x2∈(0, 1)时取得极小值,则 2b﹣a 的取值范围为( A.﹣3,1) B.(﹣2,1) ) C.(﹣1,1)
3 2

D.(﹣2,﹣1)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. (5 分)某班收集了 50 位同学的身高数据,每一个学生的性别与其身高是否高于或低于 中位数的列联表如下: 高于中位数低于中位数总计 7 27 男 20 13 23 女 10 20 50 总计30 为了检验性别是否与身高有关系,根据表中的数据,得到 k 的观测值 k=
2 2

≈4.84,

因为 K ≥3.841, 所以在犯错误的概率不超过 _________ 的前提下认为性别与身高有关系.

12. (5 分)若(1﹣2x)

2014

=a0+a1x+…+a2014x

2014

,则

+

+…+

=

_________ .

13. (5 分)等比数列{an}中,a1=1,a2=2,f(x)=x(x﹣a1) (x﹣a2) (x﹣a3) (x﹣a4) ,f′ (x)为函数 f(x)的导函数,则 f′ (0)= _________ . 14. (5 分)从装有 n+1 个球(其中 n 个白球,1 个黑球)的口袋中取出 m 个球(0<m≤n, m,n∈N) ,共有 种取法.在这 种取法中,可以分成两类:一类是取出的 m 个球全 ,即有

部为白球,另一类是取出 m﹣1 个白球,1 个黑球,共有 等式: 成立.试根据上述思想化简下列式子: =

_________ . (1≤k<m≤n, k, m, m∈N) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (12 分)已知 z 是复数,若 z+2i 为实数(i 为虚数单位) ,且 z(1﹣2i)为纯虚数.

(1)求复数 z; (2)若复数(z+mi) 在复平面上对应的点在第四象限,求实数 m 的取值范围. 16. (12 分)偏差是指个别测定值与测定的平均值之差,在成绩统计中,我们把某个同学的 某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差, 在某次考试成绩统计中, 某老师为了对学生 数学偏差 x(单位:分)与物理偏差 y(单位:分)之间的关系进行分析,随机挑选了 8 位 同学,得到他们的两科成绩偏差数据如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 学生序号 20 15 13 3 2 数学偏差 x ﹣5 ﹣10 ﹣18 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 物理偏差 y ﹣0.5 ﹣2.5 ﹣3.5 (1)若 x 与 y 之间具有线性相关关系,求 y 关于 x 的线性回归方程; (2)若该次考试该班数学平均分为 120 分,物理平均分为 91.5 分,试由(1)的结论预测 数学成绩为 128 分的同学的物理成绩. 参考数据: =20×6.5+15×3.5+13×3.5+3×1.5+2×0.5+(﹣5)×(﹣0.5)+(﹣10)×(﹣2.5)+(﹣ 18)×(﹣3.5)=324 x =20 +15 +13 +3 +2 +(﹣5) +(﹣10) +(﹣18) =1256.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

17. (14 分)抽奖游戏规则如下:一个口袋中装有完全一样的 8 个球,其中 4 个球上写有数 字“5”,另外 4 个球上写有数字“10”. (1)每次摸出一个球,记下球上的数字后放回,求抽奖者四次摸球数字之和为 30 的概率; (2)若抽奖者每交 2 元钱(抽奖成本)获得一次抽奖机会,每次摸出 4 个球,若 4 个球数 字之和为 20 或 40 则中一等奖,奖励价值 20 元的商品一件;若 4 个球数字之和为 25 或 35 则中二等奖,奖励价值 2 元的商品一件;若 4 个球数字之和为 30 则不中奖.试求抽奖者收 益 ξ(奖品价值﹣抽奖成本)的期望. 18. (14 分)已知 f(x)=alnx,g(x)=f(x)+bx +cx,且 f′ (2)=1,g(x)在 x= 和 x=2 处有极值. (1)求实数 a,b,c 的值; (2)若 k>0,判断 g(x)在区间(k,2k)内的单调性. 19. (14 分)将正整数按如图的规律排列,把第一行数 1,2,3,10,17,…记为数列{an} (n∈N+) ,第一数列 1,4,9,16,25,…记为数列{bn}(n∈N+) (1)写出数列{an},{bn}的通项公式; 3 (2)若数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,用数学归纳法证明:3(Tn+Tn)=2n +4n (n∈N+) ; (3)当 n≥3 时,证明: < + + +…+ < .
2

20. (14 分) 定义: 若曲线 y=f (x) 与 y=g (x) 都和直线 y=kx+b 相切, 且满足: f (x) ≤kx+b≤g (x)或 g(x)≤kx+b≤f(x)恒成立,则称直线 y=kx+b 为曲线 y=f(x)与 y=g(x)的“内 公切线”.已知 f(x)=﹣ x ,g(x)=e . (1)试探究曲线 y=f(x)与 y=g(x)是否存在“内公切线”?若存在,请求出内公切线的方 程;若不存在,请说明理由; 2 (2)g′ (x)是函数 g(x)的导设函数,P(x1,g(x1) ) ,Q(x2,g(x ) )是函数 y=g(x) 图象上任意两点,x1<x2,且存在实数 x3,使得 g′ (x3)= x1<x3<x2. ,证明:
2 x

2013—2014 学年度第二学期教学质量检查 高二理科数学(A 卷)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 D 5 A 6 A 7 B 8 C 9 C 10 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. 0.05 12. ?1 13. 64 14. Cn? k
m

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)设 z ? x ? yi ? x, y ? R ? . 由 z ? 2i ? x ? ( y ? 2)i 为实数,得 y ? 2 ? 0 ,即 y ? ?2 . 又 ???1 分 ??2 分

z ?1? 2i ? ? ? x ? 2i ??1? 2i ? ? x ? 4 ? 2 ?1? x ? i ,
分 由 z ?1 ? 2i ? 为纯虚数,得 ? ∴x ? 4, ∴ z ? 4 ? 2i . (2)∵ ( z ? mi) ? (?m ? 4m ? 12) ? 8(m ? 2)i ,
2 2

????3

? ?x ? 4 ? 0 , ? ?2 ?1 ? x ? ? 0

????5 分 ???6 分 ??7 分 ???9


2 ? ?12 ? 4m ? m ? 0, 根据条件,可知 ? ? ?8(m ? 2) ? 0,

????10 分 ???11 分 ???12 分

解得 ? 2 ? m ? 2 , ∴实数 m 的取值范围是 ? ?2, 2 ? .

16. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意, x ?

20 ? 15 ? 13 ? 3 ? 2 ? (?5) ? (?10) ? (?18) 5 ? , ??1 分 8 2 6.5 ? 3.5 ? 3.5 ? 1.5 ? 0.5 ? (?0.5) ? (?2.5) ? (?3.5) 9 y? ? , ??2 8 8



所以

?? b

?x y
i ?1 8 i

8

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

2 i

5 9 324 ? 8 ? ? 2 8 ? 1, ? 5 4 1256? 8 ? ( ) 2 2

???4 分



?x ? 9 ? 1 ? 5 ? 1 , ? ? y ?b a 8 4 2 2 关 于 的 线 x y

????6 分 性 回 归 方 程 :

?? y

1 1 x? . 4 2

????7 分 ???8 分

(2)由题意,设该同学的物理成绩为 w ,则物理偏差为: w ? 91 .5 . 而数学偏差为 128-120=8, ∴ w ? 91.5 ? ????9 分

1 1 ?8 ? , 4 2

??10 分 ??11 分 ???12 分

解得 w ? 94 , 所以,可以预测这位同学的物理成绩为 94 分.

17. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意,每次摸球写有数字“5”的概率为

1 . 2

?1 分

四次摸球数字之和为 30 ,只能是两次摸到写有数字“ 5 ” ,另两次写有数字 “10”. ????2 分 设 X 为 4 次摸球中写有数字“5”的次数,则 X ~ B ( 4, ) , 所 以 抽 奖 者 四 次 摸 球 数 字 之 和 为 30

1 2

?3 分 的 概 率 为 :

1 1 3 P( X ? 2) ? C 42 ? ( ) 2 ? (1 ? ) 4? 2 ? .??5 分 2 2 8
(2)由题意,抽奖者获得的收益 ? 可取 18 元、0 元、-2 元.
4

??6 分

从 8 个球中任取 4 个球的结果数为 C8 ,其中恰好有 k 个球写有数字“5”的结果数

为 C4 ? C4
k

4? k



所以从 8 个球中任取 4 个球,其中恰好 k 个球写有数字“5”的概率为:
k 4? k C4 ? C4 P(Y ? k ) ? , k ? 0,1,2,3,4 , C84

????8 分

4 4?4 0 4 ?0 C4 ? C4 C4 ? C4 1 ? ? 所以 P(? ? 18) ? P(Y ? 0) ? P(Y ? 4) ? ,??? 9 4 4 35 C8 C8



1 4?1 3 4 ?3 C4 ? C4 C4 ? C4 16 P(? ? 0) ? P(Y ? 1) ? P(Y ? 3) ? ? ? , 4 4 35 C8 C8

???? 10



P(? ? ?2) ? P(Y ? 2) ?
因此,随机变量 ? 的分布列为

2 4? 2 C4 ? C4 18 ? , 35 C84

??11 分

?
P

18

0

-2

1 35

16 35

18 35
????12 分

E (? ) ? 18 ?

1 16 18 18 ? 0 ? ? (?2) ? ?? . 35 35 35 35

???13 分

所以,(1)抽奖者四次摸球数字之和为 30 的概率为

3 ;(2) 抽奖者收益的期望为 8

-

18 元.?14 分 35

18. (本小题满分 14 分) 解: (1) 由 f ( x) ? a ln x , 得 f ?( x ) ? 2分

a a , ∴ f ?( 2) ? ? 1 , 即a ? 2, ∴ f ( x) ? 2 ln x .? x 2

∴ g ( x) ? 2 ln x ? bx2 ? cx , 从而 g ?( x) ? 3分

2 2bx2 ? cx ? 2 ? 2bx ? c ? . x x

??

1 和 x ? 2 处有极值, 2 1 1 2 ? ( )2 b ? c ? 2 2 ? 2 2 b ? 2c ? 2 1 2 2 ? 0, ∴ g ?( ) ? ? 0 , g ?(2) ? x 2 x
∵ g ( x) 在 x ? 分 解得: b ? 1 , c ? ?5 , 经检验: b ? 1 , c ? ?5 满足题意. (2)由(1) , g ( x) ? 2 ln x ? x 2 ? 5x , g ?( x) ? 令 g ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? ????7 分 ????8 分

??5

2 x2 ? 5x ? 2 ? x ? 0? . x

1 1 或 x ? 2 ;令 g ?( x) ? 0 ,得 ? x ? 2 . 2 2

∴ g ( x) 在 ? 0, ? , ? 2, 2 ? 上单调递减.??9 分 +? ? 上单调递增,在 ? , 若 2k ? 分 若0 ? k ? 区间 ( ,2 k ) 内 若

? ?

1? 2?

?1 ?2

? ?

1 1 , 且k ? 0 ,即 0 ? k ? 时, g ( x) 在区间 (k ,2k ) 内的单调递增; ?10 4 2 1 1 1 1 ? 2k ? 2 ,即 ? k ? 时, g ( x) 在区间 (k , ) 内的单调递增,在 2 4 2 2
????11 分

1 2

的单调递减;

1 1 ? k ? 2k ? 2 ,即 ? k ? 1 时, g ( x) 在区间 (k ,2k ) 内的单调递减;?12 分 2 2 1 若 ? k ? 2 ? 2k ,即 1 ? k ? 2 时, g ( x) 在区间 ( k ,2) 内的单调递减,在区间 2
(2,2k ) 内的单调 递增;
???13 分 ???14 分

若 k ? 2 , g ( x) 在区间 (k ,2k ) 内的单调递增.

19.(本小题满分 14 分) 解: (1)由 an?1 ? an ? 2n ? 1,得: an ? a1 ? 1 ? 3 ?

? 2n ? 3 ? n2 ? 2n ? 2 ,

?3 分

bn ? n2 .

????4 分

(2)① 当 n ? 1 时, T1 ? S1 ? 1 ,∴ 3?T1 ? S1 ? ? 6 ,又 2n ? 4n ? 6 ,∴ n ? 1 时等式
3

成立;??5 分 ② 假设 n ? k 时等式成立,即 3?Tk ? Sk ? ? 2k 3 ? 4k , 则 n ? k ? 1 时,

3 ?Tk ?1 ? Sk ?1 ? ? 3 ?Tk ? Sk ? ? 3 ? bk ?1 ? ak ?1 ? ? 2k 3 ? 4k ? 3 ?? k ? 1? ? ? k ? 1? ? 2 ? k ? 1? ? 2? ? ?
2 2

? 2k 3 ? 4k ? 6 ? 6 ? k ? 1? ? 6 ? k ? 1?
2

? 2k ? k 2 ? 1? ? 6 ? k ? 1? ? 6k ? k ? 1? ? ? 2k 2 ? 4k ? 6 ? ? k ? 1?
2 ? ?2 ? k ? 1? ? 4? ? k ? 1? ? ?

? 2 ? k ? 1? ? 4 ? k ? 1? ,
3

∴ n ? k ? 1 时等式也成立.
3

????8 分 ??9 分 ??

根据①②, 3?Tn +Sn ? ? 2n ? 4n ? n ? N? ? 都成立. (3)当 n ? 3 时, bn ? n2 ? 0 ,∴ 11 分 又

1 1 1 ? ? ? b1 b2 b3

?

1 1 1 5 ? ? ? . bn b1 b2 4

1 1 1 ? ? ? b1 b2 b3

?

1 1 1 1 ? ? ? ? bn 1 22 32

?

1 n2

1 1 1 1 1 ? ? 2? ? ? ? 1 2 2 ? 3 ?3 4 ? n ? ? n1
?
?
综上可知:

5 ? 1 1 ? ? 1 ?1 ?? ? ??? ? ?? 4 ? 2 3 ? ? 3 ?4
5 1 1 7 ? ? ?. 4 2 n 4

1 ?1 ? ?? ? ? n? ? n? 1

5 1 1 1 ? ? ? ? 4 b1 b2 b3

?

1 7 ? 成立. bn 4

???14 分

20. (本小题满分 14 分)可 解: (1)假设曲线 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 存在“内公切线” ,记内公切线与曲线 g ? x ? ? ex 的 切点为

? x0,y0 ? ,则切线 l 方程为: y ? ex

0

? ex0 ? x ? x0 ? .

???2 分

? y ? e x0 ? e x0 ? x ? x0 ? 1 2 ? x x 又由 ? 可得: x ? e 0 x ? ?1 ? x0 ? e 0 ? 0 . 1 2 4 ?y ? ? x ? 4
由于切线 l 也和曲线 f ? x ? ? ? 所以 ? ? e
2 x0

???3 分

1 2 x 相切, 4

? ?1 ? x0 ? e x0 ? e x0 e x0 ? 1 ? x0 ? 0 .
????4 分

?

?

ex0 ? 0

?ex0 ?1 ? x0 ? 0 .
x

当 x0 ? 0 时, e 0 ? 1, 当 x0 ? 0 时, e 0 ? 1,
x

?ex0 ?1 ? x0 ? 0 ; ?ex0 ?1 ? x0 ? 0 ; ?ex0 ?1 ? x0 ? 0 .
????5

当 x0 ? 0 时, e 0 ? 1,
x

所以 x0 ? 0, 分

y0 ? 1 ,故公切线 l 的方程为: y ? x ? 1 .

下面证明 y ? x ? 1 就是 f ? x ? 与 g ? x ? 内公切线,即证 ?

1 2 x ? x ? 1 ? ex . 4

? 1 ? 1 ?1 ? ∵ x ? 1 ? ? ? x2 ? ? x 2 ? x ? 1 ? ? x ? 1? ? 0 , ? 4 ? 4 ?2 ?
∴?

2

1 2 x ? x ? 1 成立. 4
x / x

????7 分

设 h ? x ? ? e ? x ?1,则 h ? x ? ? e ?1. 令 h ? x ? ? 0 ,得 x ? 0 .
/

当 x ? 0 时, h ? x ? ? 0 ,当 x ? 0 时, h ? x ? ? 0 ,
/ /

∴ h ? x ? 在 ? ??,0 ? 上为减函数,在 ? 0, ? ?? 上为增函数, 所以 h ? x ? ? h ? 0? ? 0 ,即 x ? 1 ? e .
x

???9 分

∴?

1 2 x ? x ? 1 ? e x , 即 y ? x ? 1 就 是 曲 线 y ? f ? x? 与 y ? g ? x? 的 内 公 切 4

线. ??10 分 (2)∵ g / ? x ? ? e x ,∴ e 3 ?
x

e x2 ? e x1 . x2 ? x1

要证明: x1 ? x3 ? x2 , 只需证明: e 1 ? e 3 ?
x x

e x2 ? e x1 ? e x2 , x2 ? x1
x x x x

只需证明: ? x2 ? x1 ? e 1 ? e 2 ? e 1 ? ? x2 ? x1 ? e 2 , 只需证明: ? x2 ? x1 ? e 1 ? e 2 ? e 1 ,及 e 2 ? e 1 ? ? x2 ? x1 ? e 2 ,
x x x x x x

只需证明:? x2 ? x1 ? ? 1 ? e 13 分 由(1)知: x ? 1 ? e 立, ∴ x1 ? x3 ? x2 .
x

x2 ? x1

,及 ? x1 ? x2 ? ? 1 ? e 1

x ? x2



????

? x ? R? ,所以 ? x2 ? x1 ? ?1 ? ex ? x 及 ? x1 ? x2 ? ?1 ? ex ? x
2 1 1

2



????14 分


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