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2013高考数学 解题方法攻略 轨迹方程 理


2013 高考理科数学解题方法攻略—轨迹方程 题目 高中数学复习专题讲座曲线的轨迹方程的求法 高考要求 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方 程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系 这类 问题除了考查学生对圆锥曲线的定义,性质等基础知识的掌握,还充分考查了各种数学思想 方法及一定的推理能力和运算能力,因此这类问题成为高考命题的热点,也是同学们的一大 难点 重难点归纳 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法 (1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简 即得动点轨迹方程 (2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆 等),可用定义直接探求 (3)相关点法 根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程 (4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的 x,y 分别随另一变量的变化而变化,我们可以以这 个变量为参数,建立轨迹的参数方程 求轨迹方程,一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程” 是两个不同的概念 典型题例示范讲解 y 2 2 例 1 如图所示,已知 P(4,0)是圆 x +y =36 内的一 点, 、 A Q B B 是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形 APBQ 的顶 点Q的 R 轨迹方程 A 命题意图 本题主要考查利用“相关点代入法”求 曲 线 o x P 的轨迹方程 知识依托 利用平面几何的基本知识和两点间的距 离 公 式建立线段 AB 中点的轨迹方程 错解分析 欲求 Q 的轨迹方程,应先求 R 的轨迹方 程, 若 学生思考不深刻,发现不了问题的实质,很难解决此题 技巧与方法 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题,可先确定一个较易于求得的点的轨 迹方程,再以此点作为主动点,所求的轨迹上的点为相关点,求得轨迹方程 解 设 AB 的中点为 R,坐标为(x,y),则在 Rt△ABP 中,|AR|=|PR| 2 2 2 2 2 又因为 R 是弦 AB 的中点,依垂径定理 在 Rt△OAR 中,|AR| =|AO| -|OR| =36-(x +y ) 又|AR|=|PR|= ( x ? 4) 2 ? y 2 所以有(x-4) +y =36-(x +y ),即 x +y -4x-10=0 因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动 设 Q(x,y),R(x1,y1),因为 R 是 PQ 的中点,所以 x1= 代入方程 x +y -4x-10=0,得 2 2 2 2 2 2 2 2 x?4 y?0 , y1 ? , 2 2 x?4 2 y x?4 ) ? ( )2 ? 4 ? -10=0 2 2 2 2 2 整理得 x +y =56,这就是所求的轨迹方程 ( -1- 例 2 设点 A 和 B 为抛物线 y =4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知 OA⊥OB,OM⊥AB, 求点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线 命题意图 本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程 知识依托 直线与抛物线的位置关系 错解分析 当设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)时,注意对“x1=x2”的讨论 技巧与方法 将动点的坐标 x、y 用其他相关的量表示出来,然后再消掉这些量,从而就 建立了关于 x、y 的关系 解法一 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0) 直线 AB 的方程为 x=my+a

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