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高中数学选修1-1知识点总结


高中数学必修五公式 三角函数 a b c ? ? ? 2 R ( R为三角形外接圆半径) 一.正弦定理: sin A sin B sin C a ? ?a ? 2 R sin A (sin A ? 2 R ) ? b ? ) 变形: ?b ? 2 R sin B (sin B ? 推论: a : b : c ? sin A : sin B : sin C 2R ? c ? b2 ? c2 ? a 2 ?c ? 2 R sin C (sin C ? 2 R ) cos A ? ? 2bc 二.余弦定理:a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 2 a ? c2 ? b2 cos B ? b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 2ac 2 2 2 2 a ? b2 ? c 2 c ? a ? b ? 2ab cos C cos C ? 2ab 1 1 1 三.三角形面积公式: S?ABC ? bc sin A ? ac sin B ? ab sin C , 2 2 2 第二章 数列 一.等差数列: 1.定义:an+1-an=d(常数) 2.通项公式: an ? a1 ? ?n ? 1? ? d 或 an ? am ? ?n ? m? ? d 第一章
n?n ? 1? d 2 2 4.重要性质(1) m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq

3.求和公式: S n ?

n?a1 ? an ?

? n a1 ?

(2) Sm, S2m ? Sm, S3m ? S2m仍成等差数列 二.等比数列:1.定义:

an ?1 ? q(q ? 0) an
n ?1

2.通项公式: an ? a1 ? q 3.求和公式:

或 an ? am ? q

n?m

Sn ? na1( , q ?1 )
Sn ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? (q ? 1 ) 1? q 1? q 4.重要性质(1) m ? n ? p ? q ? am an ? a p aq

(2) Sm, S2m ? Sm, S3m ? S2m仍成等比数列? q ? ?1或m为奇数?

三.数列求和方法总结: 1.等差等比数列求和可采用求和公式(公式法). 2.非等差等比数列可考虑 (分组求和法) ,(错位相减法)等转化为等差或等比数 列再求和, 若不能转化为等差或等比数列则采用(拆项相消法)求和. 注意(1):若数列的通项可分成两项之和(或三项之和)则可用(分组求和法) 。 (2)若一个等差数列与一个等比数列的对应相乘构成的新数列求和,采用(错 位相减法). 过程:乘公比再两式错位相减
第 1 页 共 6 页

(3)若数列的通项可拆成两项之差,通过正负相消后剩有限项再求和的方法 为(拆项相消法). 常见的拆项公式:1.

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

2. 4.

1 1 1 1 ? ( ? ) n( n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

3.

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 n ? n ?1 ? ( n ?1 ? n )

5.

四.数列求通项公式方法总结: 1..找规律(观察法). 2..若为等差等比(公式法) ?n ? 1? ?S an ? ? 1 ?S n ? S n ?1 ?n ? 2 ?

3.已知 Sn,用(Sn 法)即用公式

4. 叠加法 5.叠乘法等 第三章:不等式 一 . 解 一 元 二 次 不 等 式 三 部 曲 : 1. 化 不 等 式 为 标 准 式 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<O(a>0)。
2.计算△的值,确定方程ax2 ? bx ? c ? 0的根。

3.根据图象写出不等式的解集. 特别的:若二次项系数 a 为正且有两根时写解集用口决: (不等号)大于 0 取两边,小于 0 取中间 二.分式不等式的求解通法: (1)标准化:①右边化零,②系数化正. (2)转 换:化为一元二次不等式(依据:两数的商与积同号)
常用的解分式不等式的同解变形法则为 f ( x) () 1 ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) f ( x) (2) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0且g ( x) ? 0 g ( x) f ( x) f ( x) (3) ?a? ? a ? 0,再通分 g ( x) g ( x)

三.二元一次不等式 Ax+By+C>0(A、B 不同时为 0) ,确定其所表示的平面区域 用口诀:同上异下 (注意:包含边界直线用实线,否则用虚线) 四.线性规划问题求解步骤:画(可行域)移(平行线)求(交点坐标,最优解, 最值)答.

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五 . 基本不等式:

a?b ? 2

ab (a ? 0, b ? 0) (当且仅当 a=b 时,等号成立)

变形 (1)a ? b ? 2 ab(积定和最小):变形 ; (2)ab ? (

利用基本不等式求最值应用条件:一正数 旧知识回顾:1. 求方程ax2 ? bx ? c ? 0的根方法: (1)十字相乘法:左列分解二次项系数 a,右列分解常数项 c,交叉相乘再相加 凑成一次项系数 b。
(2)求根公式:x1, 2 ? ?b ? b2 ? 4ac 2a 韦 达

a?b 2 ) (和定积最大) . 2 二定值 三相等

2









b c 若x1 , x2是方程ax 2 ? bx ? c ? ( 0 a ? 0)的两根,则有x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? a a 高二数学选修 2-1 知识点

第一章 常用逻辑用语 1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句. 2、 “若 p ,则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论. 3.若原命题为“若 p ,则 q ” ,它的逆命题为“若 q ,则 p ”. 它的否命题为“若 ? p ,则 ? q ”. 它的逆否命题为“若 ? q ,则 ? p ”. 4.四种命题的真假性之间的关系: ?1? 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;

? 2 ? 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
5、若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件(充分必要条件) . 6、用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q . (遇假则假) 用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q . (遇真则真) 对一个命题 p 全盘否定,得到一个新命题,记作 ? p . (真假相反) 7、短语“对所有的” 、 “对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“ ? ”表 示. 含有全称量词的命题称为全称命题. 全称命题“对 ? 中任意一个 x ,有 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x ? ? , p ? x ? ” . 短语“存在一个” 、 “至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“ ? ”表示. 含有存在量词的命题称为特称命题. 特称命题“存在 ? 中的一个 x ,使 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x ? ? , p ? x ? ” . 8、全称命题 p : ?x ? ? , p ? x ? ,它的否定 ? p : ?x ? ? , ?p ? x ? .全称命题的 否定是特称命题.
第 3 页 共 6 页

第二章 圆锥曲线与方程 11、平面内与两个定点 F )的点的轨迹 1 ,F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2 称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 12、椭圆的几何性质: 焦点在 y 轴上 焦点的位置 焦点在 x 轴上

图形

标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 准线方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2 ? a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2 ?b ? x ? b 且 ? a ? y ? a

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0? ?1 ? 0, ?b? 、 ?2 ? 0, b ?
短轴的长 ? 2b

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ? ?1 ? ?b,0? 、 ?2 ? b,0?
长轴的长 ? 2a

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?

关于 x 轴、 y 轴、原点对称

c b2 e ? ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a a
a2 x?? c a2 y?? c

13、设 ? 是椭圆上任一点,点 ? 到 F1 对应准线的距离为 d1 ,点 ? 到 F2 对应准线 的距离为 d2 ,则

?F1 d1

?

?F2 d2

? e.

14、平面内与两个定点 F 1 ,F 2 的距离之差的绝对值等于常数(小于 F 1F 2 )的 点的轨迹称为双曲线. 这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线 的焦距.

第 4 页 共 6 页

15、双曲线的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 准线方程 渐近线方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2 x ? ?a 或 x ? a , y ? R

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2 y ? ?a 或 y ? a , x ? R

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
虚轴的长 ? 2b

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?
实轴的长 ? 2a

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?

关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

e?
a2 c b y?? x a x??

c b2 ? 1 ? 2 ? e ? 1? a a
a2 c a y?? x b y??

16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. (e ? 2 ) 17、设 ? 是双曲线上任一点,点 ? 到 F1 对应准线的距离为 d1 ,点 ? 到 F2 对应准

? e. d1 d2 18、 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线. 定 点 F 称为抛物线的焦点,定直线 l 称为抛物线的准线. 19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、 ? 两点的线段 ?? ,称为
线的距离为 d2 ,则 抛物线的“通径” ,即 ?? ? 2 p . 20、焦半径公式:
p ; 2 p 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 y2 ? ?2 px ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? ? x0 ? ; 2 p 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 x2 ? 2 py ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? y0 ? ; 2 p 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 x2 ? ?2 py ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? ? y0 ? . 2

?F1

?

?F2

若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? x0 ?

第 5 页 共 6 页

21、抛物线的几何性质: y 2 ? 2 px 标准方程 ? p ? 0? 图形

y 2 ? ?2 px

x2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

顶点

? 0, 0 ?
x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ?
x?? p 2
y轴

对称轴

焦点

? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?
x? p 2
e ?1

p? ? F ? 0, ? 2? ?
y?? p 2

p? ? F ? 0, ? ? 2? ?
y? p 2

准线方程

离心率

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

第三章 导数 1.常见函数的导数公式: (1) C ' ? 0 (C 为常数); (3) (sin x)' ? cos x ; (5) (a x )' ? a x ln a ; (7) (log a x)' ? (2) ( x n )' ? nxn?1 ( n ? Q ); (4) (cos x)' ? ? sin x ; (6) (e x )' ? e x ;

1 1 log a e ; (8) (ln x)' ? . x x 2.导数的运算法则:

法则 1 法则 2 法则 3

[u( x) ? v( x)]' ? u ' ( x) ? v ' ( x) .
[u( x)v( x)]? ? u '( x)v( x) ? u( x)v '( x) , [Cu( x)]? ? Cu '( x) .

? u ? u ' v ? uv ' (v ? 0) . ? ? ? v2 ?v?
第 6 页 共 6 页

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