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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1【配套备课资源】章末检测


章末检测
一、选择题 1 1.物体运动的方程为 s= t4-3,则 t=5 时的瞬时速度为 4 A.5
2 2

( D.625 (

)

B.25

C.125

2.函数 y=x cos x 的导数为 A.y′=2xcos x-x sin x B.y′=2xcos x+x2sin x C.y′=x2cos x-2xsin x D.y′=xcos x-x2sin x 3.函数 y=3x-x3 的单调递增区间是 A.(0,+∞) C.(-1,1) B.(-∞,-1) D.(1,+∞)

)

(

)

4.若 f(x0)存在且 f′(x0)=0,下列结论中正确的是 A.f(x0)一定是极值点 B.如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值 C.如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极小值 D.如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极大值 5.曲线 y=-x3+3x2 在点(1,2)处的切线方程为 A.y=3x-1 C.y=3x+5 ln x 6.函数 f(x)= (0<x<10) x A.在(0,10)上是增函数 B.在(0,10)上是减函数 C.在(0,e)上是增函数,在(e,10)上是减函数 B.y=-3x+5 D.y=2x

(

)

(

)

(

)

D.在(0,e)上是减函数,在(e,10)上是增函数 3 3 7.若函数 y=a(x3-x)的递增区间是?-∞,- ?,? ,+∞?,则 a 的取值范围是( 3? ?3 ? ? A.a>0 C.a>1 1 8.函数 y= x-2sin x 的图象大致是 2 B.-1<a<0 D.0<a<1 ( )

)

9.已知函数 f(x)=ax3-x2+x-5 在(-∞,+∞)上既有极大值,也有极小值,则实数 a 的取 值范围为 1 A.a> 3 1 C.a< 且 a≠0 3 ( 1 B.a≥ 3 1 D.a≤ 且 a≠0 3 ) )

4 10. 已知点 P 在曲线 y= x 上, 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, α 的取值范围是( α 则 e +1 π π π A.[0, ) B.[ , ) 4 4 2 π 3π 3π C.( , ] D.[ ,π) 2 4 4

11.某公司生产某种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元, ?400x-1x2 ?0≤x≤400?, ? 2 已知总营业收入 R 与年产量 x 的关系是 R=R(x)=? 则总利

?80 000 ?x>400?, ?

润最大时,每年生产的产品数是 A.100 B.150 C.200 D.300 12.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx 的图象如图所示,则 x12+x22 等于

(

)

(

)

2 A. 3 8 C. 3 二、填空题

4 B. 3 16 D. 3

13. 如图, 函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=-x+8, f(5)+f′(5)=________. 则

14.函数 f(x)=x3-3x2+1 在 x=________处取得极小值. π 1 15.函数 f(x)= ex(sin x+cos x)在区间?0,2?上的值域为________. ? ? 2 16.已知 f(x)=(2x-x2)ex,给出以下四个结论: ①f(x)>0 的解集是{x|0<x<2};②f(- 2)是极小值,f( 2)是极大值;③f(x)没有最小值, 也没有最大值;④f(x)有最大值,没有最小值. 其中判断正确的是________. 三、解答题 17.已知函数 y=x3-3x,过点 A(0,16)作曲线 y=f(x)的切线,求此切线方程.

18.设函数 f(x)=x3-3ax2+3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11). (1)求 a,b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调性. a 19.设函数 f(x)= x3+bx2+cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两个根分别为 1,4.若 f(x)在 3 (-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围. 20.如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为 200 m2 的三级污水处理池,由于地形限 制,长、宽都不能超过 16 m,如果池外周壁建造单价为每米 400 元,中间两条隔墙建造 单价为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元(池壁厚度忽略不计,且池无盖).

(1)写出总造价 y(元)与污水处理池长 x(m)的函数关系式,并指出其定义域; (2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价. 21.函数 f(x)=x3+ax2+b 的图象在点 P(1,0)处的切线与直线 3x+y=0 平行. (1)求 a,b; (2)求函数 f(x)在[0,t] (t>0)内的最大值和最小值. 22.已知 f(x)是二次函数,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5),且 f(x)在区间[-1,4]上的最大值是 12. (1)求 f(x)的解析式; 37 (2)是否存在自然数 m,使得方程 f(x)+ =0 在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的 x 实数根?若存在,求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由.

答案
1.C 2.A 3.C 4.B 13.2 14.2 1 1 π 15.?2,2e2? ? ? 16.①②④ 17.解 曲线方程为 y=x3-3x,点 A(0,16)不在曲线上. 设切点为 M(x0,y0), 则点 M 的坐标满足 y0=x03-3x0. 因为 f′(x0)=3(x02-1), 故切线的方程为 y-y0=3(x02-1)(x-x0). 点 A(0,16)在切线上,则有 16-(x03-3x0)=3(x02-1)(0-x0). 化简得 x03=-8,解得 x0=-2. 所以,切点为 M(-2,-2),切线方程为 9x-y+16=0. 18.解 (1)求导得 f′(x)=3x2-6ax+3b. 由于 f(x)的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11), 所以 f(1)=-11,f′(1)=-12, ? ?1-3a+3b=-11, 即? ?3-6a+3b=-12, ? 解得 a=1,b=-3. (2)由 a=1,b=-3 得 f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3). 令 f′(x)>0,解得 x<-1 或 x>3; 又令 f′(x)<0,解得-1<x<3. 故当 x∈(-∞,-1)和 x∈(3,+∞)时,f(x)是增函数, 当 x∈(-1,3)时,f(x)是减函数. a 19.解 由 f(x)= x3+bx2+cx+d, 3 得 f′(x)=ax2+2bx+c. 因为 f′(x)-9x=0,即 ax2+2bx+c-9x=0 的两个根分别为 1,4, ?a+2b+c-9=0, ? 所以? (*) ? ?16a+8b+c-36=0. a 由于 a>0,所以“f(x)= x3+bx2+cx+d 在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“f′(x)= 3 ax2+2bx+c≥0 在(-∞,+∞)内恒成立”. 由(*)式得 2b=9-5a,c=4a. 又 Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9). 5.A 6.C 7.A 8.C 9.C 10.D 11.D 12.C

?a>0, ? 由? 得 1≤a≤9, ? ?Δ=9?a-1??a-9?≤0,

即 a 的取值范围是[1,9]. 200 20.解 (1)设长为 x m,则宽为 m. x

?x≤16, ? 25 据题意,得?200 解得 ≤x≤16, 2 ? x ≤16, ? 200 400 y=?2x+2·x ?×400+ ×248+16 000 ? ? x 25 259 200 =800x+ +16 000? 2 ≤x≤16?. ? ? x
259 200 (2)由(1)知 y′=800- , x2 令 y′=0,解得 x=18, 当 x∈(0,18)时,函数 y 为减函数; 当 x∈(18,+∞)时,函数 y 为增函数. 25 ∴在 x∈? 2 ,16?上,函数 y 单调递减, ? ? ∴当长为 16 m,宽为 12.5 m 时,总造价 y 最低为 45 000 元. ?f?1?=0 ? 21.解 (1)f′(x)=3x2+2ax,由已知条件? ? ?f′?1?=-3
? ? ?a+b+1=0 ?a=-3 即? ,解得? . ? ? ?2a+3=-3 ?b=2

(2)由(1)知 f(x)=x3-3x2+2, f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). f′(x)与 f(x)随 x 变化状态如下: x 0) +∞) f′(x) f(x) 因此根据 f(x)图象, 当 0<t≤2 时,f(x)的最大值为 f(0)=2, 最小值为 f(t)=t3-3t2+2; 当 2<t≤3 时,f(x)的最大值为 f(0)=2,最小值为 f(2)=-2; 当 t>3 时,f(x)的最大值为 f(t)=t3-3t2+2,最小值为 f(2)=-2. 22.解 (1)∵f(x)是二次函数,且 f(x)<0 的解集是(0,5), ∴可设 f(x)=ax(x-5)(a>0). ∴f(x)在区间[-1,4]上的最大值是 f(-1)=6a. 由已知,得 6a=12,∴a=2, + ? 0 2 - ? 0 -2 + ? (-∞, 0 (0,2) 2 (2,

由 f(x)=f(0),解得 x=0,或 x=3.

∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R). 37 (2)方程 f(x)+ =0 等价于方程 2x3-10x2+37=0 x 设 h(x)=2x3-10x2+37, 则 h′(x)=6x2-20x=2x(3x-10). 10 当 x∈?0, 3 ?时,h′(x)<0,h(x)是减函数; ? ? 10 当 x∈? 3 ,+∞?时,h′(x)>0,h(x)是增函数. ? ? 10 1 ∵h(3)=1>0,h? 3 ?=- <0,h(4)=5>0, ? ? 27 10 10 ∴方程 h(x)=0 在区间?3, 3 ?,? 3 ,4?内分别有唯一实数根,而在区间(0,3),(4,+ ? ? ? ? ∞)内没有实数根, 37 ∴存在唯一的自然数 m=3,使得方程 f(x)+ =0 在区间(m,m+1)内有且只有两个不 x 等的实数根.


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