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2016广东高考理数大二轮 专项训练【专题1】集合与常用逻辑用语(含答案)


2016 广东高考理数大二轮 专项训练
第1讲
考情解读

集合与常用逻辑用语

(1)集合是高考必考知识点,经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查

集合的运算,近几年也出现一些集合的新定义问题.(2)高考中考查命题的真假判断或命题的 否定或充要条件的判断.

1.集合的概念、关系 (1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性,求解含参数的集合问题时要根据互异性进 行检验. (2)集合与集合之间的关系:A?B,B?C?A?C,空集是任何集合的子集,含有 n 个元素的集 合的子集数为 2n,真子集数为 2n-1,非空真子集数为 2n-2. 2.集合的基本运算 (1)交集:A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. (2)并集:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. (3)补集:?UA={x|x∈U,且 x?A}. 重要结论:A∩B=A?A?B; A∪B=A?B?A. 3.四种命题及其关系 四种命题中原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,遇到复杂问题正面解决 困难的,采用转化为反面情况处理. 4.充分条件与必要条件 若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p?q,则 p,q 互为充要条件. 5.基本逻辑联结词 (1)命题 p∨q,只要 p,q 有一真,即为真;命题 p∧q,只有 p,q 均为真,才为真;綈 p 和 p 为真假对立的命题. (2)命题 p∨q 的否定是(綈 p)∧(綈 q);命题 p∧q 的否定是(綈 p)∨(綈 q). 6.全称量词与存在量词 “?x∈M,p(x)”的否定为“?x0∈M,綈 p(x0)” ; “?x0∈M,p(x0)”的否定为“?x∈M,綈

p(x)”.

热点一 集合的关系及运算 例1 (1)(2014· 四川改编)已知集合 A={x|x2-x-2≤0}, 集合 B 为整数集, 则 A∩B=________.

(2)(2013· 广东改编)设整数 n≥4,集合 X={1,2,3,?,n},令集合 S={(x,y,z)|x,y,z∈X, 且三条件 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中,则下列命 题正确的是________. ①(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S; ②(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S; ③(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S; ④(y,z,w)?S,(x,y,w)?S. 思维启迪 明确集合的意义,理解集合中元素的性质特征. 答案 (1){-1,0,1,2} (2)② 解析 (1)因为 A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},又因为集合 B 为整数集,所以集合 A∩B ={-1,0,1,2}. (2)因为(x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中,不妨令 x=2,y=3,z=4,w=1,则(y,z,w)=(3,4,1) ∈S,(x,y,w)=(2,3,1)∈S,故(y,z,w)?S,(x,y,w)?S 的说法均错误,可以排除①③④, 故②正确. 思维升华 (1)对于集合问题,抓住元素的特征是求解的关键,要注意集合中元素的三个特征

的应用,要注意检验结果. (2)对集合的新定义问题,要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征,将问题转化为熟 悉的知识进行求解,也可利用特殊值法进行验证. (1)已知集合 M={1,2,3},N={x∈Z|1<x<4},则 M∩N=________. (2)(2013· 山东改编 ) 已知集合 A = {0,1,2} ,则集合 B = {x - y|x ∈ A , y ∈ A} 中元素的个数是 ________. 答案 (1){2,3} (2)5 解析 (1)集合 N 是要求在(1,4)范围内取整数,所以 N={x∈Z|1<x<4}={2,3},所以 M∩N= {2,3}. (2)x-y∈{-2,-1,0,1,2}. 热点二 四种命题与充要条件 例2 (1)(2014· 天津改编)设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的________条件.

(2)(2014· 江西改编)下列叙述中正确的是________.

①若 a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0” ; ②若 a,b,c∈R,则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c” ; ③命题“对任意 x∈R,有 x2≥0”的否定是“存在 x∈R,有 x2≥0” ; ④l 是一条直线,α,β 是两个不同的平面,若 l⊥α,l⊥β,则 α∥β. 思维启迪 的含义. 答案 (1)充要 (2)④ 解析 (1)当 b<0 时,显然有 a>b?a|a|>b|b|; 当 b=0 时,显然有 a>b?a|a|>b|b|; 当 b>0 时,a>b 有|a|>|b|,所以 a>b?a|a|>b|b|. 综上可知 a>b?a|a|>b|b|. (2)由于“若 b2-4ac≤0,则 ax2+bx+c≥0”是假命题,所以“ax2+bx+c≥0”的充分条件不 是“b2-4ac≤0” ,①错; 因为 ab2>cb2,且 b2>0,所以 a>c.而 a>c 时,若 b2=0,则 ab2>cb2 不成立,由此知“ab2>cb2” 是 “a>c” 的充分不必要条件, ②错; “对任意 x∈R, 有 x2≥0” 的否定是 “存在 x∈R, 有 x2<0” , ③错;由 l⊥α,l⊥β,可得 α∥β,理由:垂直于同一条直线的两个平面平行,④正确. 思维升华 (1)四种命题中,原命题与逆否命题等价,逆命题与否命题等价;(2)充要条件的判 断常用“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,判断一个命题为假可以借助反例. (1)命题“若 a,b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是________. (2)“log3M>log3N”是“M>N 成立”的________条件.(从“充要” 、 “充分不必要” 、 “必要不 充分”中选择一个正确的填写) 答案 (1)若 a+b 不是偶数,则 a,b 不都是偶数 解析 (1)判断词“都是”的否定是“不都是” . (2)由 log3M>log3N, 又因为对数函数 y=log3x 在定义域(0, +∞)单调递增, 所以 M>N; 当 M>N 时, 由于不知道 M、 N 是否为正数, 所以 log3M、 log3N 不一定有意义. 故不能推出 log3M>log3N, 所以“log3M>log3N”是“M>N 成立”的充分不必要条件. 热点三 逻辑联结词、量词 例3 (1)已知命题 p:?x∈R,x-2>lg x,命题 q:?x∈R,sin x<x,则下列命题正确的是 (2)充分不必要 要明确四种命题的真假关系;充要条件的判断,要准确理解充分条件、必要条件

________. ①命题 p∨q 是假命题 ②命题 p∧q 是真命题 ③命题 p∧(綈 q)是真命题 ④命题 p∨(綈 q)是假命题 (2)已知 p:?x∈R,mx2+2≤0,q:?x∈R,x2-2mx+1>0,若 p∨q 为假命题,则实数 m 的 取值范围是_________________________________________________________________. 思维启迪 (1)先判断命题 p、q 的真假,再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假;(2)含量

词的命题要理解量词含义,确定参数范围. 答案 (1)③ (2)[1,+∞)

解析 (1)对于命题 p,取 x=10,则有 10-2>lg 10,即 8>1,故命题 p 为真命题;对于命题 q, π π 取 x=- ,则 sin x=sin(- )=-1,此时 sin x>x,故命题 q 为假命题,因此命题 p∨q 是真命 2 2 题,命题 p∧q 是假命题,命题 p∧(綈 q)是真命题,命题 p∨(綈 q)是真命题,故③正确. (2)∵p∨q 为假命题,∴p 和 q 都是假命题. 由 p:?x∈R,mx2+2≤0 为假命题, 得綈 p:?x∈R,mx2+2>0 为真命题, ∴m≥0.① 由 q:?x∈R,x2-2mx+1>0 为假命题, 得綈 q:?x∈R,x2-2mx+1≤0 为真命题, ∴Δ=(-2m)2-4≥0?m2≥1?m≤-1 或 m≥1.② 由①和②,得 m≥1. 思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念:命题的否定只否定命题的结论,真假

与原命题相对立;(2)判断命题的真假要先明确命题的构成.由命题的真假求某个参数的取值 范围,还可以考虑从集合的角度来思考,将问题转化为集合间的运算. (1)已知命题 p:在△ABC 中, “C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要条件;命题 q: “a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件,则下列命题中正确的是________. ①p 真 q 假 ②p 假 q 真 ③“p∧q”为假 ④“p∧q”为真 (2)已知命题 p: “?x∈[1,2],x2-a≥0” ,命题 q: “?x0∈R,x20+2ax0+2-a=0” .若命题 “(綈 p)∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是________. 答案 (1)③ (2)(1,+∞)

解析 (1)△ABC 中,C>B?c>b?2Rsin C>2Rsin B(R 为△ABC 外接圆半径),所以 C>B?sin C>sin B. 故“C>B”是“sin C>sin B”的充要条件,命题 p 是假命题. 若 c=0,当 a>b 时,则 ac2=0=bc2,故 a>b ac2>bc2,若 ac2>bc2,则必有 c≠0,则 c2>0,

则有 a>b,所以 ac2>bc2?a>b,故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件,故命题 q 也是假 命题. (2)命题 p 为真时 a≤1; “?x0∈R,x20+2ax0+2-a=0”为真,即方程 x2+2ax+2-a=0 有 实根,故 Δ=4a2-4(2-a)≥0,解得 a≥1 或 a≤-2.(綈 p)∧q 为真命题,即綈 p 真且 q 真, 即 a>1.

1.解答有关集合问题,首先正确理解集合的意义,准确地化简集合是关键;其次关注元素的 互异性,空集是任何集合的子集等问题,关于不等式的解集、抽象集合问题,要借助数轴和 Venn 图加以解决. 2.判断充要条件的方法,一是结合充要条件的定义;二是根据充要条件与集合之间的对应关 系,把命题对应的元素用集合表示出来,根据集合之间的包含关系进行判断,在以否定形式 给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法. 3.含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的,这类试题首先把其中的基本命 题的真假判断准确,再根据逻辑联结词的含义进行判断. 4.一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系,但一个命题与这个命题的否定是互 相对立的、一真一假的.

真题感悟 1.(2014· 浙江改编)设全集 U={x∈N|x≥2},集合 A={x∈N|x2≥5},则?UA=________. 答案 {2} 解析 因为 A={x∈N|x≤- 5或 x≥ 5}, 所以?UA={x∈N|2≤x< 5},故?UA={2}. 2.(2014· 重庆改编)已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2x>0; q: “x>1”是“x>2”的充分不必要条件. 则下列命题为真命题的是________. ①p∧q ②綈 p∧綈 q ③綈 p∧q ④p∧綈 q 答案 ④ 解析 因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意 x∈R,y=2x>0 恒成立,故 p 为真命题; 因为当 x>1 时,x>2 不一定成立,反之当 x>2 时,一定有 x>1 成立,故“x>1”是“x>2”的必 要不充分条件,故 q 为假命题,则 p∧q、綈 p 为假命题,綈 q 为真命题,綈 p∧綈 q、綈 p∧ q 为假命题,p∧綈 q 为真命题,故④为真命题. 押题精练 1.已知集合 A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若 A?B,则实数 c 的取值范围是 ________. 答案 [1,+∞)

解析 A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c),因为 A?B, 画出数轴,如图所示,得 c≥1. 2.已知下列命题: ①命题“?x∈R,x2+1>3x”的否定是“?x∈R,x2+1<3x” ; ②已知 p,q 为两个命题,若“p∨q”为假命题,则“(綈 p)∧(綈 q)”为真命题; ③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件; ④“若 xy=0,则 x=0 且 y=0”的逆否命题为真命题. 其中正确的命题是________. 答案 ② 解析 命题“?x∈R,x2+1>3x”的否定是“?x∈R,x2+1≤3x” ,故①错; “p∨q”为假命 题说明 p 假 q 假,则(綈 p)∧(綈 q)为真命题,故②正确;a>5?a>2,但 a>2 a>5,故“a>2”

是“a>5”的必要不充分条件,故③错;因为“若 xy=0,则 x=0 或 y=0” ,所以原命题为假 命题,故其逆否命题也为假命题,故④错. x+2 3.已知 p: ≥0,q:x2-2x+1-m2≤0(m<0),且 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 m 10-x 的取值范围. x+2 解 由 ≥0,得-2≤x<10,即 p:-2≤x<10; 10-x 由 x2-2x+1-m2≤0(m<0), 得[x-(1+m)]· [x-(1-m)]≤0, 所以 1+m≤x≤1-m, 即 q:1+m≤x≤1-m. 又因为 p 是 q 的必要条件,
?m+1≥-2, ? 所以? 解得 m≥-3, ? ?1-m<10,

又 m<0,所以实数 m 的取值范围是-3≤m<0.

(推荐时间:40 分钟) 1.(2014· 陕西改编)设集合 M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则 M∩N=________. 答案 [0,1) 解析 N={x|-1<x<1},M∩N=[0,1).

2.已知集合 A={1,2,3,4,5},B={5,6,7},C={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈B},则 C 中所含元 素的个数为_______________________________________________________________. 答案 13 解析 若 x=5∈A,y=1∈A,则 x+y=5+1=6∈B,即点(5,1)∈C;同理,(5,2)∈C,(4,1)

∈C,(4,2)∈C,(4,3)∈C,(3,2)∈C,(3,3)∈C,(3,4)∈C,(2,3)∈C,(2,4)∈C,(2,5)∈C,(1,4) ∈C,(1,5)∈C.所以 C 中所含元素的个数为 13. 3.设全集 U 为整数集,集合 A={x∈N|y= 7x-x2-6},B={x∈Z|-1<x≤3},则图中阴影 部分表示的集合的真子集的个数为________.

答案 7 解析 因为 A={x∈N|y= 7x-x2-6}={x∈N|7x-x2-6≥0}={x∈N|1≤x≤6},由题意,知 题图中阴影部分表示的集合为 A∩B={1,2,3},所以其真子集有:?,{1},{2},{3},{1,2}, {1,3},{2,3},共 7 个. 4. “(m-1)(a-1)>0”是“logam>0”的________条件. 答案 必要不充分
?0<m<1, ?m>1, ?m<1, ?m>1, ? ? ? ? 解析 (m-1)(a-1)>0 等价于? 或? logam>0 等价于? 或? 所以 ?a>1 ? ?a>1 ? ? ?a<1. ? ?0<a<1,

前者是后者的必要不充分条件. π 5.已知命题 p:?x∈(0, ),使得 cos x≤x,则该命题的否定是________. 2 π 答案 ?x∈(0, ),使得 cos x>x 2 解析 原命题是一个特称命题,其否定是一个全称命题.而“cos x≤x”的否定是“cos x>x” . 1 6.在△ABC 中, “A=60° ”是“cos A= ”的________条件. 2 答案 充要 1 1 解析 在 A=60° 时,有 cos A= ,因为角 A 是△ABC 的内角,所以,当 cos A= 时,也只有 2 2 A=60° ,因此,是充要条件.
? 1x ? 2 7.(2013· 湖北改编)已知全集为 R,集合 A=?x|?2? ≤1?,B={x|x -6x+8≤0},则 A∩?RB= ? ?

________. 答案 {x|0≤x<2 或 x>4} 解析 ∵A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},

∴A∩?RB={x|x≥0}∩{x|x>4 或 x<2} ={x|0≤x<2 或 x>4}. 8.已知集合 A={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈R},B={(x,y)|y=x2+1,x,y∈R},则集合 A ∩ B 的 元 素 个 数 是

_________________________________________________________________. 答案 2 解析 集合 A 表示直线 l:x+y-1=0 上的点的集合,集合 B 表示抛物线 C:y=x2+1 上的点 的集合.
? ?x+y-1=0, 由? 消去 y 得 x2+x=0, 2 ?y=x +1 ?

由于 Δ>0,所以直线 l 与抛物线 C 有两个交点. 即 A∩B 有 2 个元素. π π 9.设命题 p:函数 y=sin 2x 的最小正周期为 ;命题 q:函数 y=cos x 的图象关于直线 x= 对 2 2 称.则下列判断正确的是________. ①p 为真;②綈 q 为假;③p∧q 为假;④p∨q 为真. 答案 ③ 解析 p 是假命题,q 是假命题,因此只有③正确. 10.已知集合 A={(x,y)|y=a},B={(x,y)|y=bx+1,b>0,b≠1},若集合 A∩B 只有一个真 子集,则实数 a 的取值范围是________. 答案 (1,+∞) 解析 由于集合 B 中的元素是指数函数 y=bx 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象 上的所有点,要使集合 A∩B 只有一个真子集,那么 y=bx+1(b>0,b≠1)与 y=a 的图象只能 有一个交点,所以实数 a 的取值范围是(1,+∞). 11.已知集合 P={x|x(x-1)≥0},Q={x|y=ln(x-1)},则 P∩Q=__________. 答案 (1,+∞) 解析 由 x(x-1)≥0 可得 x≤0 或 x≥1,则 P=(-∞,0]∪[1,+∞);又由 x-1>0 可得 x>1, 则 Q=(1,+∞),所以 P∩Q=(1,+∞). b 12.已知集合 A={x|x>2 或 x<-1},B={x|a≤x≤b},若 A∪B=R,A∩B={x|2<x≤4},则 = a ________. 答案 -4 解析 由 A={x|x>2 或 x<-1},A∪B=R,A∩B={x|2<x≤4},可得 B={x|-1≤x≤4},则 a b =-1,b=4,故 =-4. a

13.由命题“?x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求得实数 m 的取值范围是(a,+∞),则实 数 a=________. 答案 1 解析 根据题意可得:?x∈R,x2+2x+m>0 是真命题,则 Δ<0,即 22-4m<0,m>1,故 a= 1. 14.给出下列四个命题: ①命题“若 α=β,则 cos α=cos β”的逆否命题; ②“?x0∈R,使得 x20-x0>0”的否定是: “?x∈R,均有 x2-x<0” ; ③命题“x2=4”是“x=-2”的充分不必要条件; ④p:a∈{a,b,c},q:{a}?{a,b,c},p 且 q 为真命题. 其中真命题的序号是________.(填写所有真命题的序号) 答案 ①④ 解析 对①,因命题“若 α=β,则 cos α=cos β”为真命题, 所以其逆否命题亦为真命题,①正确; 对②,命题“?x0∈R,使得 x20-x0>0”的否定应是: “?x∈R,均有 x2-x≤0” ,故②错; 对③,因由“x2=4”得 x=± 2, 所以“x2=4”是“x=-2”的必要不充分条件,故③错; 对④,p,q 均为真命题,由真值表判定 p 且 q 为真命题,故④正确. 15.已知集合 M 为点集,记性质 P 为“对?(x,y)∈M,k∈(0,1),均有(kx,ky)∈M” .给出下 列集合:①{(x,y)|x2≥y},②{(x,y)|2x2+y2<1},③{(x,y)|x2+y2+x+2y=0},④{(x,y)|x3 +y3-x2y=0},其中具有性质 P 的点集序号是________. 答案 ②④ 1 1 1 解析 对于①:取 k= ,点(1,1)∈{(x,y)|x2≥y},但( , )?{(x,y)|x2≥y},故①是不具有性 2 2 2 质 P 的点集. 对于②:?(x,y)∈{(x,y)|2x2+y2<1},则点(x,y)在椭圆 2x2+y2=1 内部,所以对 0<k<1,点 (kx,ky)也在椭圆 2x2+y2=1 的内部,即(kx,ky)∈{(x,y)|2x2+y2<1},故②是具有性质 P 的点 集. 1 5 1 1 1 1 对于③:(x+ )2+(y+1)2= ,点( ,- )在此圆上,但点( ,- )不在此圆上,故③是不具有 2 4 2 2 4 4 性质 P 的点集. 对于④:?(x,y)∈{(x,y)|x3+y3-x2y=0},对于 k∈(0,1),因为(kx)3+(ky)3-(kx)2· (ky)=0?x3 +y3-x2y=0,所以(kx,ky)∈{(x,y)|x3+y3-x2y=0},故④是具有性质 P 的点集.综上,具 有性质 P 的点集是②④.


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