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直线与圆的位置关系二学案


直线与圆的位置关系(二) 一、预习复习: 1、直线与圆的位置关系有几种?直线与圆的位置关系的判断方法有哪几种? 二、探究问题一:在⊙O 中,经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l ⊥OA,则圆心 O 到直线 l 的 距离是多少?直线 l 和⊙O 有什么位置关系? 小结:直线要想与圆相切必须 d=r,所以连接 OA 过 A 点作 OA 的垂线从作图中可以得出:

圆的切线判定定理:经过 几何语言:

并且

这条半径的直线是圆的切线。

常添的辅助线是





问题二: 如图, 直线 l 与⊙O 相切于点 A, 是过切点的半径, OA 直线 l 与半径 OA 是否一定垂直? 你能说明理由吗?

小结:圆的切线的性质:圆的切线

过切点的半径。反过来,经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

常添的辅助线是 。 判断: (1)经过半径外端的直线是圆的切线。 ( (2)垂直于半径的直线是圆的切线。 ( (3)经过直径的端点并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。 ( 三、典型例题: 心 O 到直线 l 的距离是多少?直线 l 和⊙O 有什么位置关系?

) ) )

·O ·A ·A

l

例 1、如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,求证:直线 AB 是⊙O 的切线。探究问题一:在⊙O 中,经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l ⊥OA,则圆

o

A

C

B

变式练习:1、已知:△ABC 内接于⊙O,过点 A 作直线 EF。 (1)如图 1,AB 为直径,要使 EF 为⊙O 的切线,还需添加的条件是(只需写出三种情况) : ① ;② ;③ 。 (2)如图 2,AB 是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证:EF 是⊙O 的切线。

(判定一条直线为圆的切线时,记住无交点,作垂线段,证半径,有交点,作半径,证垂直。 )

1

图1

图2

2、如图,点 D 是∠AOB 的平分线 OC 上任意一点,过 D 作 DE⊥OB 于 E,以 DE 为半径作⊙D,判断⊙D 与 OA 的位置关系,并证明你的结论。

3、如图,AB 是⊙O 的直径,点 D 在 AB 的延长线 上,BD=OB,点 C 在圆上,∠CAB=30°.求证:DC 是⊙O 的切线.

例 2、如图,AB 是⊙O 的直径,点 D 在 AB 的延长线上,DC 切⊙O 于 C,若∠A=25°,求∠D 度数。

变式练习: 1、如图 AB 为⊙O 的弦,BD 切⊙O 于点 B,OD⊥OA,与 AB 相交于点 C,求证:BD=CD。

2、如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,O 为 AB 上一点,以 O 为圆心,OB 长为半径的圆交 BC 于 D,DE⊥AC 于 E,求证:DE 是⊙O 的切线。

2

3、如图,AB 为⊙O 的直径,BC 切⊙O 于 B,AC 交⊙O 于 P,CE=BE,E 在 BC 上. 求证:PE 是⊙O 的切线. A P O

E C B 4、已知:如图,在 △ABC 中, AB ? AC ,以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D ,过点 D 作 DE ? AC 于点 E .求证: DE 是⊙O 的切线. C D E O A

B 四、课后练习:

2、已知:△ABC 是边长为 4 的等边三角形,点 O 在边 AB 上,⊙O 过点 B 且分别与边 AB,BC 相交于点 D,E,EF⊥AC,垂足为 F. (1)求证:直线 EF 是⊙O 的切线; (2)当直线 DF 与⊙O 相切时,求⊙O 的半径.

3、如图,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90 ,点 D 是 AC 的中点,且 ?A ? ?CDB ? 90 ,过点 A, D 作⊙O,使圆心 O 在 AB 上,⊙O 与 AB 交于点 E .
3

?

?

(1)求证:直线 BD 与⊙O 相切; (2)若 AD : AE ? 4 : 5, BC ? 6 ,求⊙O 的直径.

8、如图,AB=BC,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D,过 D 作 DE⊥BC,垂足为 E。 (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)作 DG⊥AB 交⊙O 于 G,垂足为 F,若∠A=30°,AB=8,求弦 DG 的长。

4


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