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2015届高三数学 黄金考点汇编13 三角函数的图像和性质 理(含解析)


考点 13 三角函数的图像和性质(理)
【考点分类】 热点一 三角函数的图像 1.【2014 浙江高考理第 4 题】为了得到函数 y ? sin 3 x ? cos 3 x 的图像,可以将函数

y ? 2 sin 3 x 的图像(
A.向右平移 C.向右平移

) B.向左平移 D.向左平移

?

?
12

4

个单位 个单位

?

?

4

个单位 个单位

12

2.【2014 高考上海理科第 12 题】设常数 a 使方程 sin x ? 3 cos x ? a 在闭区间[0,2 ? ]上恰 有三个解 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? .

-1-

【考点】解三角方程,方程的解与函数图象的交点. 3.【2014 辽宁高考理第 9 题】将函数 y ? 3sin(2 x ? 图象对应的函数( )

?
3

) 的图象向右平移

?
2

个单位长度,所得

A.在区间 [

? 7? ] 上单调递减 B.在区间 [ , ] 上单调递增 12 12 12 12
,

? 7?

C.在区间 [?

? ?

, ] 上单调递减 D.在区间 [? , ] 上单调递增 6 3 6 3

? ?

4.【2014 高考江苏卷第 5 题】已知函数 y ? cos x 与函数 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,它们的 图像有一个横坐标为

?
3

的交点,则 ? 的值是

.

5.【2014 全国 1 高考理第 6 题】如图,图 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点, 角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f ( x) ,则 y ? f ( x)在[0, ? ] 的图像大致为( )

-2-

y

1 O
D

x

-3-

【考点定位】1.解直角三角形;2、三角函数的图象. 6.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科】函数

f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0, ?
别是( (A) 2, ? (C) 4, ? )

?
2

?? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则 ? , ? 的值分
(B) 2, ? (D) 4,

2
π 3

y

?
3

?
6

O -2

5π 12

x

?
6

?
3

7.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)理】将函数 y ? 3 cos x ? sin x ( x ? R ) 的 图象向左平移 m (m ? 0) 个单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A.
π 12



B.

π 6

C.

π 3

D.

5π 6

8.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理】将函数 y ? sin ? 2 x ? ? ? 的图象沿 轴向左平移

?
8

个单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的一个可能取值为(



-4-

A.

3? 4

B.

?
4

C. 0

D. ?

?
4

【答案】B 【解析】得到的偶函数解析式为 y ? sin ? 2 ? x ?

? ? ? ?

??

? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ? ? ,显然 ? ? . 8? 4 ?4 ?? ? ?

9.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三 角形 ABC 夹在两平行线 ι
1

,ι

2

之间,ι //ι

1

,ι

与半圆相交于 F,G 两点,与三角形 ABC 两 从ι
1

边相交于 E,D 两点.设弧 FG 的长为 x(0<x<π ),y=EB+BC+CD, 若ι 函数 y=f(x)的图像大致是

平行移动到 ι

2

, 则

10.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理】 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 . (1)若 y ? f ( x) 在 [?

? 2?
4 , 3

] 上单调递增,求 ? 的取值范围;

-5-

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

?
6

个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数

y ? g ( x) 的图像,区间 [a, b] ( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x) 在 [a, b] 上至少含有 30 个
零点,在所有满足上述条件的 [a, b] 中,求 b ? a 的最小值.

【方法规律】 1.用“五点法”作图应抓住四条:①将原函数化为 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 或

y ? A cos(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的形式;②求出周期 T=

2π ;③求出振幅 A;④列出一个周 ω

期内的五个特殊点,当画出某指定区间上的图象时,应列出该区间内的特殊点. 2. y ? A sin(?x ? ? ) 的图象有无穷多条对称轴,可由方程 ?x ? ? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) 解出;它
kπ -φ
ω

还有无穷多个对称中心, 它们是图象与 x 轴的交点, 可由 ?x ? ? ? k? (k ? Z ) , 解得 x= (k∈Z),即其对称中心为(

kπ -φ
ω

,0)(k∈Z).

3.相邻两对称轴间的距离为 ,相邻两对称中心间的距离也为 . 2 2 【解题技巧】 根据 y ? A sin(?x ? ? ) ? k ( A ? 0, ? ? 0) 的图象求其解析式的问题, 主要从以下 四个方面来考虑: 最高点-最低点 (1)A 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 A= ; 2 最高点+最低点 (2)k 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 k= ; 2

T

T

-6-

(3)ω 的确定:结合图象,先求出周期 T,然后由 T=

2π (ω >0)来确定 ω ; ω

(4)φ 的确定:法一:代入图像的最高点坐标 ( x1 , y1 ) 或最低点坐标 ( x2 , y2 ) ,则

?x1 ? ? ?

?
2

? 2k? (k ? Z ) 或 ?x2 ? ? ?

3? ? 2k? (k ? Z ) ,求 ? 值. 2

φ 法二:由函数 y=Asin(ω x+φ )+k 最开始与 x 轴的交点的横坐标为- (即令 ω x+φ =0, ω φ ω 如 : 【河北省唐山市 2014-2015 学年度高三年级摸底考试 10】将函数 f(x)=sinω x(其中 ω

x=- )确定 φ .

>0)的图象向右平移 ? 个单位长度,所得图象关于 x ? ? 对称,则 ω 的最小值是 6 2

A.6

B. 2
3

C. 9

4

D. 3
4

【易错点睛】 研究三角函数图像的变换时, 要注意由 y ? A sin ?x( A ? 0, ? ? 0) 的图像变换成

y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图像的变换过
程: y ? A sin(?x ? ? ) ? A sin[? ( x ?

? )]( A ? 0, ? ? 0) 的图像由 y ? A sin ?x( A ? 0, ? ? 0) ?

的图像向左( ? ? 0 )或向右( ? ? 0 )平移

? 个单位长度. ?

如:【2014 浙江高考第 4 题】为了得到函数 y ? sin 3 x ? cos 3 x 的图像,可以将函数

y ? 2 sin 3 x 的图像(
B.向右平移 C.向右平移 答案:D

) B.向左平移 D.向左平移

?

?
12

4

个单位 个单位

?

?

4

个单位 个单位

12

-7-

解析: y ? sin 3 x ? cos 3 x ?

? ?? ? 2 sin ? 3 x ? ? ,故只需将 y ? 2 sin 3 x 向左平移 个单位. 12 4? ?

考点:三角函数化简、图像平移. 热点二 三角函数的最值 1.【2014 全国 2 高考理第 14 题】 函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为 _________.

2.【2014 高考湖北理第 17 题】某实验室一天的温度(单位: ? C )随时间 t (单位: h )的变 化近似满足函数关系;

f (t ) ? 10 ? 3 cos

?
12

t ? sin

?
12

t , t ? [0,24) .

(1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11 ? C ,则在哪段时间实验室需要降温?

-8-

当 t ? 2 时, sin(

t ? ) ? 1 ;当 t ? 14 时, sin( t ? ) ? ?1 ; 12 3 12 3

?

?

?

?

于是 f (t ) 在 [0,24) 上取得最大值 12,取得最小值 8.

3.【2014 高考江西理第 16 题】已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) ,其中

a ? R, ? ? ( ?
(1)当 a ?

? ?

, ) 2 2 2, ? ?

?
4

时,求 f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的最大值与最小值;

(2)若 f ( ) ? 0, f (? ) ? 1 ,求 a, ? 的值.

?

2

试题解析:解(1)当 a ?
f ( x) ? sin( x ?

2, ? ?
?
2 )?

?
4

时,

?
4

) ? 2 cos( x ?

2 2 ? sin x ? cos x ? 2 sin x ? sin( ? x) 2 2 4
-9-

因为 x ? [0, ? ] ,从而

?
4

? x ? [?

3? ? , ] 4 4

2 故 f ( x) 在 [0, ? ] 上的最大值为 , 最小值为-1. 2 ? a ? ?1 ? ? ? ? ? f ( ) ? 0 ? cos ? (1 ? 2a sin ? ) ? 0 ? (2)由 ? 2 得? ,又 ? ? (? , ) 知 cos ? ? 0, 解得 ? ?. 2 ? ?? 2 2 ?2a sin ? ? sin ? ? a ? 1 ? ? f ( ? ) ? 1 6 ? ?

考点:三角函数性质 4.【2013年全国高考新课标(I)理科】设当x=θ 时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值, 则cosθ =______.

【解题技巧】求三角函数的最值问题,最主要的题型是:通过三角恒等变形将所给解析式化 为 y ? A sin(?x ? ? ) ? k ( A ? 0, ? ? 0) 的形式,再进行求解. ①当 x ? R 时, ymax ? A ? k , ymin ? ? A ? k ; ②当 x ? ?a, b? 时,则先求 ?x ? ? 的范围,再利用正弦函数 y ? sin t 的图像写出函数

y ? sin(?x ? ? ) 的最值,再进一步求解.
如: 【2014 全国 2 高考理第 14 题】 函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值 为_________. 【答案】1 【解析】由题意知:

f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? = sin[? ? ? x ? ? ?] ? 2sin ? cos ? x ? ? ?

- 10 -

= sin ? cos ? x ? ? ? ? cos ? sin ? x ? ? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? = cos ? sin ? x ? ? ? ?

sin ? cos ? x ? ? ?
= sin[? x ? ? ? ? ? ] = sin x ,即 f ( x) ? sin x ,因为 x ? R ,所以 f ( x) 的最大值为 1. 【考点】本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解,熟练公式是解答 好本类题目的关键. 【易错点睛】在求函数的最值时,一般思路通过三角恒等变换化成 y ? A sin(?x ? ? ) ? k 的形 式,但不要忽视变形中的等价性,如定义域的变化. 如:【河南省安阳一中 2015 届高三第一次月考 6】函数 y ? ( ) A.[-4,0] B. [?4,4) C. [?4,0) D. (?4,0]

cos 3 x ? cos x 的值域是 cos x

热点三 三角函数的性质 1. 【2014 高考北京版理第 14 题】 设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 是常数, . A ? 0, ? ? 0 ) 若 f ( x) 在区间 [ 为 .

? ?

? 2? ? , ] 上具有单调性,且 f ( ) ? f ( ) ? ? f ( ) ,则 f ( x) 的最小正周期 6 2 2 3 6

- 11 -

2.【2014 高考安徽卷理第 11 题】若将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? 所得图像关于 y 轴对称, 则 ? 的最小正值是________. 【答案】

? ?

??

? 的图像向右平移 ? 个单位, 4?

3? 8

3.【2014 陕西高考理第 2 题】函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?
6

) 的最小正周期是(



A.

?
2

B.?

C.2?

D.4?

4.【2014 大纲高考理第 16 题】若函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 在区间 ( 的取值范围是 .

? ?

, ) 是减函数,则 a 6 2

- 12 -

5.【2014 高考福建理第 16 题】已知函数

1 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x) ? . 2

(1)若 0 ? ? (2)求函数

?

?
2

,且 sin ?

?

2 ,求 f (? ) 的值; 2

f ( x) 的最小正周期及单调递增区间.

- 13 -

6.【2014 高考上海理科科题】函数 y ? 1 ? 2 cos (2 x) 的最小正周期是
2

.

【答案】

?
2 2? ? ? 4 2

【解析】由题意 y ? ? cos 4 x , T ? 【考点】三角函数的周期.

7.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷理】 已知函数 f ( x) ? A cos(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? R ) , 则 “ f ( x) 是奇函数” 是? ? A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?
2

的 (



8.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】函数 y ? sin 2 x ? 2 3 sin 2 x 的最小 正周期 T 为_______. 【答案】 ? 【解析】

y ? sin 2 x ? 3(1 ? cos 2 x) ? 2sin(2 x ? ) ? 3,? T ? ? . 3
- 14 -

?

9.【2013 年普通高等学校统一考试天津卷理科】

?? ? 已知函数 f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ?
(Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期;
? ?? (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

10.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】已知函数

?? ? f ( x) ? sin( wx ? ? )( w ? 0,0 ? ? ? ? ) 的周期为 ? ,图象的一个对称中心为 ? ,0 ? ,将函数 f ( x) ?4 ?
图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将得到的图象向右平移个 长度后得到函数 g ( x) 的图象. (1)求函数 f ( x) 与 g ( x) 的解析式

? 单位 2

?? ? ? (2)是否存在 x0 ? ? , ? , 使得 f ( x0 ), g ( x0 ), f ( x0 ) g ( x0 ) 按照某种顺序成等差数列?若存在, ?6 4?
请确定 x0 的个数,若不存在,说明理由; (3)求实数 a 与正整数 n ,使得 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 ?0, n? ? 内恰有 2013 个零点

- 15 -

(Ⅲ)依题意, F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ,令 F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ? 0

- 16 -

- 17 -

【方法规律】 y ? A sin(?x ? ? ) 、 y ? A cos(?x ? ? ) 、 y ? A tan(?x ? ? ) 的性质: ①周期性 2π 函数 y=Asin(ω x+φ )和 y=Acos(ω x+φ )的最小正周期为 ,y=tan(ω x+φ )的最小 |ω | π 正周期为 . |ω | ②奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin ω x 或 y=Atan ω x, 而偶函数一般可化为 y=Acos ω x +b 的形式. ③研究函数的单调性、最值、对称性等问题,要注意整体意识,即将 ?x ? ? 看作一个整体. 如: 【山东省菏泽市 2014 届高三 3 月模拟考试】 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin 2 ? x ? 3 ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调增区间; (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向左平移
?
6

个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的

图象;若 y ? g ( x) 在 [0, b](b ? 0) 上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值.

试题解析: (Ⅰ)由题意得: f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin 2 ? x ? 3
? sin 2? x ? 3 cos 2? x ? 2sin(2? x ? ) , 3

?

????????????????2 分 ???????????4 分

? 由周期为 ? ,得 ? ? 1 ,得 f ? x ? ? 2sin(2 x ? ) ,
3

- 18 -

函数的单调增区间为: 2k? ? 整理得 k? ?
?
12 ? x ? k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2



5? ,k ? Z , 12

所以函数 f ( x) 的单调增区间是 [k? ?

?
12

, k? ?

5? ] , k ? Z .?????????6 分 12

【解题技巧】研究函数的单调性、最值、对称性等问题,要注意整体意识,即将 ?x ? ? 看作 一个整体.如(上例) 【易错点睛】求形如 y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )(其中 A≠0,ω >0)的函数的单调 区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ω x+φ (ω >0)”视为一 个“整体”;②A>0(A<0)时,所列不等式的方向与 y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R)的单调 区间对应的不等式方向相同(反).

1 x) 的单调递增区间(教材第 39 页) 3 2 ? 1 1 ? 1 ? 【解析】 y ? sin( ? x) ? ? sin( x ? ) ,令 t ? x ? ,则 y ? ? sin t 的单调递增区间 3 2 2 3 2 3
如:求 y ? sin(

?

?

是 y ? sin t 的单调递减区间 ?

3? ?? ? ? 2k? , ? 2k? ? (k ? Z ) ,即 2 ?2 ?

1 ? 3? x? ? ? 2k? , 2 2 3 2 5? 11? 解之得 ? 4k? ? x ? ? 4k? , 3 3 ? 2k? ?
即 y ? sin(

?

?
3

?

1 11? ? 5? ? x) 的单调递增区间为 ? ? 4k? , ? 4k? ? (k ? Z ) . 2 3 ? 3 ?
【考点剖析】

1.最新考试说明:
- 19 -

(1)考查三角函数的值域与最值 (2)考查三角函数的单调性 (3)利用三角函数的值域和单调性求参数的值 2.命题方向预测: (1)三角函数的最值以及三角函数的单调性是历年高考的重要考点. (2)利用三角函数的单调性求最值、利用单调性求参数是重点也是难点. (3)题型不限,选择题、填空题、解答题都有可能出现,常与多个知识点交汇命题. 3.课本结论总结: (1)由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin (ω x+φ )的图象,有两种变换方式:①先相位变换再 |φ | 周期变换(伸缩变换): ;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是 (ω >0)个单 ω 位.原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言,即 x 本身加减多少值,而不是依赖于 ω x 加减多少值. (2) y ? sin x 的性质:①定义域为 R,值域为 ?? 1,1? ;②是周期函数,最小正周期为 2? ;③ 在 ??

? 3? ? ? ? ?? ? ? 2k? , ? 2k? ? (k ? Z ) 单调递增,在 ? ? 2k? , ? 2k? ? (k ? Z ) 单调递减;④当 2 2 ? 2 ? ?2 ?
?
2 ? 2k? , k ? Z 时, ymax ? 1 ;当 x ? ?

x?

?
2

? 2k? , k ? Z 时, ymin ? ?1 ;⑤其对称轴方程

为x?

?
2

? k? (k ? Z ) ,对称中心坐标为 ?k? ,0 ?, k ? Z .

(3) y ? cos x 的性质:①定义域为 R,值域为 ?? 1,1? ;②是周期函数,最小正周期为 2? ;③ 在 ?? ? ? 2k? ,2k? ?(k ? Z ) 单调递增,在 ?2k? , ? ? 2k? ?(k ? Z ) 单调递减;④当

x ? 2k? , k ? Z 时, ymax ? 1 ;当 x ? ? ? 2k? , k ? Z 时, ymin ? ?1 ;⑤其对称轴方程为

? ? ? x ? k? (k ? Z ) ,对称中心坐标为 ? k? ? ,0 ?, k ? Z . 2 ? ?
(4) y ? tan x 的性质:①定义域为 ? x | x ? 小正周期为 ? ;③在 ? ?

? ?

?

? ? k? , k ? Z ? ,值域为 R ;②是周期函数,最 2 ?

? ? ? ? ? k? , ? k? ?(k ? Z ) 单调递增;④其对称中心坐标为 2 ? 2 ?

? k? ? ,0 ?, k ? Z . ? ? 2 ?
4.名师二级结论: (1)由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin (ω x+φ )的图象,两种变换的区别:先相位变换再
- 20 -

周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ |个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移 |φ | 的量是 (ω >0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言,即 x 本身加减多 ω 少值,而不是依赖于 ω x 加减多少值. (2)在由图象求三角函数解析式时,若最大值为 M,最小值为 m,则 A= 2π 由周期 T 确定,即由 =T 求出,φ 由特殊点确定. ω (3)作正弦型函数 y=Asin(ω x+φ )的图象时应注意: ①首先要确定函数的定义域; ②对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根据周 期性作出整个函数的图象. (4)求三角函数值域(最值)的方法: ①利用 sin x、cos x 的有界性; ②形式复杂的函数应化为 y ? A sin(?x ? ? ) ? k 的形式逐步分析 ?x ? ? 的范围,根据正弦函 数单调性写出函数的值域; ③换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题. 5. y ? A sin(?x ? ? ) 、 y ? A cos(?x ? ? ) 、 y ? A tan(?x ? ? ) 的性质: ①周期性 2π 函数 y=Asin(ω x+φ )和 y=Acos(ω x+φ )的最小正周期为 ,y=tan(ω x+φ )的最小 |ω | π 正周期为 . |ω | ②奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin ω x 或 y=Atan ω x, 而偶函数一般可化为 y=Acos ω x +b 的形式. ③研究函数的单调性、最值、对称性等问题,要注意整体意识,即将 ?x ? ? 看作一个整体. 5.课本经典习题: (1)新课标 A 版第 147 页,第 A9 题(例题)已知 y ? (sin x ? cos x) ? 2 cos x .
2 2

M-m
2

,k=

M+m
2

,ω

①求它的递减区间;②求它的最大值和最小值. 【解析】 y ? (sin x ? cos x) ? 2 cos x ? 1 ? 2 sin x cos x ? 1 ? cos 2 x ? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x
2 2

? 2 sin( 2 x ?
①令

?
4

)?2

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
4

?

3? ? 5? ? 2k? ,解得 ? k? ? x ? ? k? ,即函数的单调区间为 2 8 8
- 21 -

5? ?? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) ; ? 8 ?8 ?
②由题意得, ymax ?

2 ? 2 , ymin ? ? 2 ? 2 .

【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质 (2)新课标 A 版第 147 页,第 A10 题(例题)已知函数 f ( x) ? cos 4 x ? 2 sin x cos x ? sin 4 x . ①求 f ( x) 的最小正周期;②当 x ? ?0,

? ?? 时,求 f ( x) 的最小值以及取得最小值时 x 的集合. ? 2? ?

【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质 6.考点交汇展示: (1)与定积分的交汇 【2014 高考湖南卷第 9 题】已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ), 且 象的一条对称轴是( A. x ? ) B. x ?

?

2? 3 0

f ( x)dx ? 0, 则函数 f ( x) 的图

5? 6

7? 12

C. x ?

?
3

D. x ?

?
6

则x?

5? 是其中一条对称轴,故选 A. 6
- 22 -

【考点定位】三角函数图像 辅助角公式 定积分 (2)与平面向量的交汇 【2014 高考山东卷第 16 题】 已知向量 a ? (m, cos 2 x) ,b ? (sin 2 x, n) , 设函数 f ( x) ? a ? b , 且 y ? f ( x) 的图象过点 ( (Ⅰ)求 m, n 的值; (Ⅱ)将 y ? f ( x) 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? ? ? )个单位后得到函数 y ? g ( x ) 的图象.若

?

12

, 3) 和点 (

2? , ?2) . 3

y ? g ( x) 的图象上各最高点到点 (0,3) 的距离的最小值为 1,求 y ? g ( x) 的单调增区间.

得到 y ? g ( x ) 的单调递增区间为 [k? ?

?
2

, k? ], k ? Z .

- 23 -

考点:平面向量的数量积,三角函数的化简,三角函数的图象和性质 (3)与解三角形的交汇

- 24 -

【山东省淄博市 2014 届高三 3 月模拟考试】已知向量 a ? ? sin

? ?

x 1? , ?, 2 2?

? ? ? x x b ? ( 3 cos ? sin ,1) ,函数 f ( x) ? a ? b , ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . 2 2
(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)若 f ( B ? C ) ? 1, a ? 3, b ? 1 ,求 ?ABC 的面积 S .

试题解析: (Ⅰ)由题意得

x x x 1 f ( x) ? a ? b ? sin ( 3 cos ? sin ) ? 2 2 2 2 x x x 1 ? 3 sin cos ? sin 2 ? 2 2 2 2
=

π 3 1 ? cos x 1 3 1 sin x ? ? = sin x ? cos x ? sin( x ? ) ,????3 分 6 2 2 2 2 2

令 2kπ ?

π π π ( k ? Z) ? x ? ? 2kπ ? 2 6 2 2π π ? x ? 2kπ ? 3 3

解得 2kπ ?

( k ? Z)

- 25 -

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 ? 2kπ ?

? ?

2π π? , 2kπ ? ? ( k ? Z) .??????6 分 3 3?

【考点特训】 1.【四川省广安市 2014 年高 2011 级第三次诊断考试 8】关于函数 f(x)=sinx(sinx-cosx) 的叙述正确的是 (A)f(x)的最小正周期为 2π (B)f(x)在 [?

? 3? 内单调递增 , ]
8 8

(C)f(x)的图像关于 (? ? ,0) 对称 8 (D)f(x)的图像关于 x ? 【答案】D 【解析】 试题分析:f(x)=sin x-sinxcosx=
2

?
8

对称

1 (1-cos2x-sin2x) 2

- 26 -



2 1 ? - sin(2x+ ) 2 2 4

【考点】三角函数的化简,正弦型函数的图象与性质 2.【四川省成都市 2015 届高中毕业班摸底测试 8】已知函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x (ω >0) 的图象与直线 y=-2 的两个相邻公共点之间的距离等于 π ,则 f ( x) 的单调递减区间是

A、 ? k ? ? ? , k? ? 2? ? , k ? Z
? 6 3 ? ? 3 3 ?

B、 ? k? ? ? , k ? ? ? ? , k ? Z
? 3 6? ? 12 12 ?

C、 ? 2k? ? ? , 2k ? ? 4? ? , k ? Z D、 ? 2k? ? ? , 2k ? ? 5? ? , k ? Z

3.【湖北省部分重点中学 2014-2015 学年度上学期高三起点考试 5】已知函数 y = 2 sin x 的 定义域为[a,b] ,值域为[-2,1] ,则 b-a 的值不可能是( A. ).

5? 6

B.π

C.

7? 6

D. 2π

【答案】D. 【解析】

- 27 -

试题分析:如图: ,满足值域为[-2,1]的定义域区间至少长为

13? 5? 4? 2? 4? ,即 b-a ? [ ? ? , ] ,故 D 选项不符合. 6 6 3 3 3
考点:正弦函数的图像及性质.

3? 5? 2? ,至多长为 ? ? 2 6 3

4.【河南省安阳一中 2015 届高三第一次月考 11】 函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? ? )(| ? |? 左平移

? ) 的图象向 2

?
6

个单位后关于原点对称,则函数 f ( x) 在 [0, B. ?

?
2

] 上的最小值为( 1 2
D.



A. ?

3 2

1 2

C.

3 2

5.【北京市重点中学 2015 届高三 8 月开学测试 7】若将函数 f ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象向

- 28 -

右平移 ? 个单位,所得图象关于 y 轴对称, 则 ? 的最小正值是( A.



?
8

B.

?
4

C.

3? 8

D.

5? 4

6.【河北省唐山市 2014-2015 学年度高三年级摸底考试 10】将函数 f(x)=sinω x(其中 ω >0)的图象向右平移 ? 个单位长度,所得图象关于 x ? ? 对称,则 ω 的最小值是 6 2

A.6

B. 2
3

C. 9

4

D. 3
4

7.【河南省安阳一中 2015 届高三第一次月考 15】已知

?? ? ??? ??? ?? ?? 且 f ( x) 在区间 ? , ? 有最小值, 无最大值, f ( x) ? sin ? ? x ? ? (? ? 0),f ? ? ? f ? ? , 3? ? ?6? ?3? ?6 3?
则 ? =__________. 【答案】 【解析】

14 . 3

- 29 -

8.【江苏省扬州中学 2015 届高三 8 月开学考试 5】将函数 y ? sin( 2 x ? 向右平移

?
3

) 的图象上的所有点

?
6

个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来的 .

1 倍(纵坐标不变) ,则所得的图 2

象的函数解析式为

9.【江苏省扬州中学 2015 届高三 8 月开学考试 1】 f ( x) ? 3 sin x, x ? [0,2? ] 的单调减区间

- 30 -





10.【北京市重点中学 2015 届高三 8 月开学测试 15】 (本小题 13 分) 已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin ? x ? (1)求 f ? x ? 的最小正周期; (2)求 f ? x ? 在 ? ?

? ?

??

3 2 , x?R. ? ? 3 cos x ? 3? 4

? ? ?? 上的最小值和最大值. , ? 4 4? ?

- 31 -

范围是 [?

5? ? 5? ? ? ? , ] ,再由正弦函数 y ? sin x 在 [? , ] 的取值情况可知当 2 x ? ? ? ,即 6 6 6 6 3 2 ? 1 ? ? ? 1 时, f ? x ? 取最小值 ? ,当 2 x ? ? , 即 x ? 时, f ? x ? 取最大值 . x?? 12 2 3 6 4 4

11.【湖北省武汉市 2015 届高三 9 月调研测试 16】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x) ?

1 . 2

(1)若 sin(

?
4

??) ?

2 ,且 0 ? ? ? ? ,求 f (? ) 的值; 2

(2)当 f ( x) 取得最小值时,求自变量 x 的集合. 【答案】 (1) f (? ) ? ? 【解析】 试题分析: (1)首先根据 ? 的范围 0 ? ? ? ? ,可求得 ? ?

1 3? ; (2) {x | x ? k? ? , k ? Z} . 2 8

?
4

的范围

?
4

?

?
4

?? ?

5? ,再由 4
- 32 -

三角函数的性

12.【湖北省武汉市 2015 届高三 9 月调研测试 18】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x) ? (1)若 sin ? ?

1 . 2

5 ? ,且 ? ? ? ? ,求 f (? ) 的值; 5 2

(2)当 f ( x) 取得最小值时,求自变量 x 的集合.

- 33 -

【答案】 (1) f (? ) ? ?

1 3? ; (2) {x | x ? k? ? , k ? Z} . 10 8

【考点预测】 1.【热点 1 预测】设 ? ? 0 ,则函数 f ( x) ? ? sin ? x 的图像可能是( )
- 34 -

【答案】D 【解析】函数 f ( x) 为奇函数,排除 B、C 选项,又周期 T ? ? , ? ? 2, 故选 D. 2. 【热点 2 预测】 设函数 f (x)=|sinx|+cos2x,x [- ? ,? ], 则函数 f (x)的最小值是 ( 2 2 (A)-1 (B)0 (C) 1 2
9 (D) 8

)

3.【热点 3 预测】.已知函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? ? ) 在 x ? 数,则 ? , ? 的一组可能值依次为( (A) ) (C)

?
12

时有极大值,且 f ( x ? ? ) 为奇函

?
6

,?

?
12

(B)

? ?
6 12 ,

?
3

,?

?
6

(D)

? ?

, 3 6

4. 【热点 4 预测】 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的最大值为 4, 最小值为 0, 最小正周期为 直线 x ?

?
2



?
3

是其图像的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为(



- 35 -

A. y ? 4sin(4 x ? C. y ? 2sin(4 x ? 【答案】D

?

?

6 3

) )?2

B. y ? 2sin(2 x ? D. y ? 2sin(4 x ?

? ?
3

)?2 )?2

6

5.【热点 5 预测】已知函数 f ( x) ? ax sin x ? cos x ,且 f ( x) 在 x ? (1)求 a 的值,并讨论 f ( x) 在 [?? , ? ] 上的单调性; (2)设函数 g ( x) ? ln( mx ? 1) ?

?
4

处的切线斜率为

2? 。 8

x2 ? [0, ] ,使得 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,求 m 的取值范围 2

?

1? x , x ? 0 ,其中 m > 0,若对任意的 x1 ? [0, ??) 总存在 1? x

- 36 -

(Ⅱ)当 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) 单调递增,? f ( x) min ? f (0) ? 1

则依题 g ( x) ? 1 在 x ? [0, ??) 上恒成立

m?2 ) m g ?( x) ? , ( x ? 0, m ? 0) (mx ? 1)( x ? 1) 2 m( x 2 ?

??8 分

- 37 -


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