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(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 第43课 等比数列 文


第 43 课
C. ?
2

等比数列
) D. ?
9

1. (2012 安徽高考)公比为 3 2 等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 ,则 log 2 a16 ? ( A. 4 【答案】B B. 5

【解析】∵ a3a11 ? 16 ,∴ a7 ? 16 ,∵ an ? 0 ∴ a7 ? 4 ,∴ a16 ? a7 ? q ? 32 ,∴ log 2 a16 ? 5 . 2. (2012 北京高考)已知为等比数列,下面结论种正确的是( A. a1 ? a3 ? 2a2 C.若 a1 ? a3 ,则 a1 ? a2 【答案】B 【解析】当 a1 ? 0, q ? 0 时,可知 a1 ? 0, a3 ? 0, a2 ? 0 ,∴A 选项错误; 当 q ? ?1 时,C 选项错误; 当 q ? 0 时, a3 ? a2 ? a3q ? a1q ? a4 ? a2 ,与 D 选项矛盾. B. a1 ? a3 ? 2a2
2 2 2



D.若 a3 ? a1 ,则 a4 ? a2

? 3. (2012 深圳二模)无限循环小数可以化为有理数,如 0.1 ?

1 ? ? 13 , 0.015 ? 5 ,…, ??? , 0.13 ? 9 99 333

?? 请你归纳出 0.017 ?
【答案】

(表示成最简分数

m , n, m ? N ? ) . n

17 990 0.017 17 . ? 1 ? 0.01 990
aan?1 aa1 ? aa2 ? aa3 ??? aa n ?


?? 【解析】 0.017 ? 0.017 ? 0.00017 ? 0.0000017 ? … ?

4. (2012 佛山二模)已知等比数列 {an } 的首项为 2 ,公比为 2,则 【答案】4 【解析】∵等比数列 {an } 中, a1 ? q ? 2 ,∴ an ? 2 ,
n

aan?1 aa1 ? aa2 ? aa3 ??? aan
n?1

?

a2n?1 a2 ? a22 ? a23 ??? a2n
n n?1

?

22
1 2

22 ? 22 ? 22 ??? 22
3

?

22 22 ? 2
1 2

? 23 ????? 2n

? 2

22

n?1

2(1? 2n ) 1? 2

? 2

2

2n?1

2(1? 2n ) 1? 2

? 2

2

2n?1

(2n?1 ? 2)

? 2

2

2n?1

2n?1

2?2

? 4.

1

6. (2012 珠海二模)已知等比数列 {an } 中, a2 ? 2 , a5 ? 128 . (1)求通项 an ; (2)若 bn ? log 2 an ,数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,求满足不等式 Sn ? 2012 的 n 的最大值. 【解析】 (1)∵数列 {an } 是等比数列, a2 ? 2 , a5 ? 128 ,

1 ? ? a1q ? 2 ? a1 ? ,解得 ? 2, ∴? 4 ? a1q ? 128 ?q ? 4 ?
∴ an ? a1q (2)∵ an ? 2
2 n ?3

n ?1

1 ? ? 4n?1 ? 22 n?3 . 2
2 n ?3

,∴ bn ? log 2 an ? log 2 2

? 2n ? 3 ,

又∵ bn ? bn ?1 ? (2n ? 3) ? [2(n ? 1) ? 3] ? 2 , ∴数列 {bn } 是一个以 ?1 为首项, 2 为公差的等差数列. ∴ Sn ? ?n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n2 ? 2n , 2

2 2 ∵ Sn ? 2012 ,即 n ? 2n ? 2012 ,∴ n ? 2n ? 2012 ? 0

∴ 1 ? 2013 ? n ? 1 ? 2013 , 经过估算,得到 n 的最大值为 45 .

2

6. (2011 湖北高考)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数 列 ? b n ? 中的 b 3 、 b 4 、 b 5 . (1) 求数列 ? b n ? 的通项公式; (2) 数列 ? b n ? 的前 n 项和为 S 求证:数列 ? S n ?
n



? ?

5 4

? ? 是等比数列. ?

【解析】(1)设成等差数列的三个正数分别为 a ? d , a, a ? d . ∴ a ? d ? a ? a ? d ? 15 ,解得 a ? 5 . ∴数列 ? b n ? 中的 b 3 , b 4 , b 5 依次为 7 ? d ,10,18 ? d . 依题意,有 (7 ? d )(18 ? d ) ? 100 , 解得 d ? 2 或 d ? ?13 (舍去) . ∴数列 {bn } 的第三项是 5,公比为 2, ∵ b3 ? b1 ? q ,∴ 5 ? 4b1 ,即 b1 ?
2

5 . 4

∴ bn ? b1 ? q

n ?1

5 ? ? 2n ?1 ? 5 ? 2n ?3 . 4

5 (1 ? 2n ) 5 (2) ∵ Sn ? 4 ? 5 ? 2n ? 2 ? , 1? 2 4 5 n?2 ∴ Sn ? ? 5 ? 2 . 4 5 Sn ?1 ? n ?1 4 ? 5? 2 ? 2 . ∴ 5 5 ? 2n ? 2 Sn ? 4 5 5 5 5 ∵ S1 ? ? ? ? ? 0 , 4 4 4 2
∴数列 ? S n ?

? ?

5 4

5 ? ? 是以 为首项, 2 ?

公比为 2 的等比数列.

3


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