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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 3.2双曲线的几何性质 苏教版选修2-1


2.3.2

双曲线的几何性质

课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌 握直线与双曲线的位置关系.

1.双曲线的几何性质 标准方程 x y 2- 2=1 a b (a>0,b>0)
2 2

y x 2- 2=1 a b (a>0,b>0)

2

2

图形

焦点 焦距 范围 性 对称性 质 顶点 轴长 实轴长=____,虚轴长=____ 离心率 渐近线 2.(1)双曲线的对称中心叫做双曲线的________; 2 2 x y (2)双曲线 2- 2=1 的两个顶点为 A1(-a,0)、A2(a,0).设 B1(0,-b)、B2(0,b),线段 a b A1A2 叫做双曲线的________,它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长,线段 B1B2 叫做双 曲线的________,它的长等于 2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.实轴和虚轴等长的双曲线 叫做________双曲线,等轴双曲线的渐近线方程为________. b (3)当双曲线的离心率 e 由小变大时, 双曲线的形状就从扁狭逐渐变得________, 原因是 a b 2 = e -1,当 e 增大时, 也增大,渐近线的斜率的绝对值________. a

一、填空题 x y 1.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方程为 a b ________________________________________________________________________. 2 2 x y 2.以双曲线 - =1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是 9 16 ____________________. 2 2 3.双曲线与椭圆 4x +y =1 有相同的焦点,它的一条渐近线方程为 y= 2x,则双曲线 的方程为________. 2 2 x y 4.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是双曲线上一点,且 a b PF1⊥PF2,PF1·PF2=4ab,则双曲线的离心率是______.
-12 2

x y 5.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线的右支上, a b 且 PF1=4PF2,则此双曲线的离心率 e 的最大值为________. 2 2 5 x y 6.两个正数 a、b 的等差中项是 ,一个等比中项是 6,且 a>b,则双曲线 2- 2=1 的离 2 a b 心率 e=______. 7.在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边,且 a=10,c-b=6,则顶点 A 运动的轨迹方程是______________________. 2 2 x y 8 .与双曲线 - = 1 有共同的渐近线,并且经过点 ( - 3 , 2 3) 的双曲线方程为 9 16 ________________. 二、解答题 9.根据下列条件,求双曲线的标准方程. ?15 ? (1)经过点? ,3?,且一条渐近线为 4x+3y=0; ?4 ? π (2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直,与两个顶点连线的夹角为 . 3

2

2

10.已知双曲线的渐近线方程为 3x±4y=0,求此双曲线的离心率.

能力提升 11.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐 近线垂直,那么此双曲线的离心率为____________. 2 2 x y 12.过双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线 l, a b

-2-

垂足为 P,设 l 与双曲线的左、右两支相交于点 A、B. 2 a (1)求证:点 P 在直线 x= 上; c (2)求双曲线的离心率 e 的范围;

x y 1.双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)既关于坐标轴对称,又关于坐标原点对称;其顶点为(±a, a b 0),实轴长为 2a,虚轴长为 2b;其上任一点 P(x,y)的横坐标均满足|x|≥a. b 2 2 2 2 2.双曲线的离心率 e 的取值范围是(1,+∞),其中 c =a +b ,且 = e -1,离心率 e a 越大,双曲线的开口越大. 2 2 2 2 x y b x y 3.双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,也可记为 2- 2=0;与双曲线 a b a a b 2 2 2 2 x y x y (λ ≠0). 2- 2=1 具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为 2- 2=λ a b a b 2.3.2 双曲线的几何性质 知识梳理 1. 标准方程

2

2

x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

-3-

图形

x≥a 或 x≤-a,y∈R y≥a 或 y≤-a,x∈R 关于 x 轴、y 轴和原点对称 (-a,0),(a,0) (0,-a),(0,a) 性 实轴长=2a,虚轴长=2b 质 c 离心率 e= (e>1) a b a 渐近线 y=± x y=± x a b 2.(1)中心 (2)实轴 虚轴 等轴 y=±x
(3)开阔 增大 作业设计 2 1.y=± x 2 解析 由题意知,2b=2,2c=2 3,则 b=1,c= 3,a= 2;双曲线的渐近线方程为 y 2 =± x. 2 2 2 2.x +y -10x+9=0 x2 y 2 4 解析 双曲线 - =1 的右焦点为(5,0),渐近线为 y=± x,即 4x±3y=0. 9 16 3 |4×5| ∴r= 2 =4. 2 4 +3 2 2 ∴所求圆方程为(x-5) +y =16, 2 2 即 x +y -10x+9=0. 2 2 3.2y -4x =1 3? 3? ? ? 2 2 解析 由于椭圆 4x +y =1 的焦点坐标为?0,± ?, 则双曲线的焦点坐标为?0,± ?, 2 2 ? ? ? ? a 1 1 3 ? ?2 2 2 2 2 2 2 又由渐近线方程为 y= 2x,得 = 2,即 a =2b ,又由? ? =a +b ,得 a = ,b = , b 2 4 ?2? 2 2 又由于焦点在 y 轴上,因此双曲线的方程为 2y -4x =1. 4. 5 解析 由题意,|PF1-PF2|=2a,① 2 2 PF2 1+PF2=4c . 2 2 2 ①平方得 PF1+PF2-2PF1·PF2=4a , 2 2 即 4c -8ab=4a ,因此 b=2a. 2 2 2 2 2 由于 c -a =4a ,因此 c =5a ,即 e= 5. 5 5. 3 解析 |PF1-PF2|=2a,即 3PF2=2a, 2a 所以 PF2= ≥c-a,即 2a≥3c-3a,即 5a≥3c, 3

焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴长

F1(-c,0),F2(c,0)
|F1F2|=2c

F1(0,-c),F2(0,c)

-4-

c 5 则 ≤ . a 3
13 3 解析 a+b=5,ab=6,解得 a,b 的值为 2 或 3. c 13 又 a>b,∴a=3,b=2.∴c= 13,从而 e= = . a 3 6. 7. - =1(x>3) 9 16 解析 以 BC 所在直线为 x 轴,BC 的中点为原点建立直角坐标系,则 B(-5,0),C(5,0), 而 AB-AC=6<10.故 A 点的轨迹是双曲线的右支, 其方程为 - =1(x>3). 9 16 8. - =1 9 4 4 解析 ∵所求双曲线与双曲线 - =1 有相同的渐近线,∴可设所求双曲线的方程为 9 16 9 - =λ (λ ≠0). 16

x2

y2

x2

y2

x2 y 2

x2

y2

x2

y2

∵点(-3,2 3)在双曲线上, 2 2 (-3) (2 3) 1 ∴λ = - = . 9 16 4 ∴所求双曲线的方程为 - =1. 9 4 4 15 ?15 ? 9.解 (1)因直线 x= 与渐近线 4x+3y=0 的交点坐标为? ,-5?,而 3<|-5|,故双 4 ?4 ?

x2 y2

x2 y2 曲线的焦点在 x 轴上,设其方程为 2- 2=1, a b

? - =1, b 由? a 4 b ?a =???-3??? ,
2 2 2 2 2

?15?2 ?4? ? ? 32

?a =9, ? 解得? 2 ?b =16. ?

2

故所求的双曲线方程为 - =1. 9 16 (2)设 F1、F2 为双曲线的两个焦点.依题意,它的焦点在 x 轴上. 因为 PF1⊥PF2,且 OP=6, 所以 2c=F1F2=2OP=12,所以 c=6. π 又 P 与两顶点连线夹角为 , 3 π 2 2 2 所以 a=OP·tan =2 3,所以 b =c -a =24. 6 故所求的双曲线方程为 - =1. 12 24

x2

y2

x2

y2

-5-

10.解 由渐近线方程 3x±4y=0,即 ± =0, 4 3 可设双曲线方程为 - =λ (λ ∈R 且 λ ≠0), 16 9 即 - =1. 16λ 9λ 2 当 λ >0 时,焦点在 x 轴上,c =16λ +9λ =25λ , c 5 λ 5 所以 e= = = . a 4 λ 4 当 λ <0 时,焦点在 y 轴上, 方程化为 - =1, -9λ -16λ 2 2 所以 c =-25λ ,a =-9λ , c 5 -λ 5 所以 e= = = . a 3 -λ 3 5 5 故所求双曲线的离心率为 或 . 4 3 11. 5+1 2

x y

x2

y2

x2

y2

y2

x2

解析 = x,

设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),如图所示,双曲线的一条渐近线方程为 y

x2 y2 a b

b a

b b b 2 c a c 2 2 2 2 ∴c -a -ac=0,两边同除以 a ,得 e -e-1=0,
而 kBF=- ,∴ ·(- )=-1,整理得 b =ac. 1+ 5 1- 5 解得 e= 或 e= (舍去). 2 2

b a 2 a a2 ?a ab? 则 l 的方程为 y=- (x-c),从而点 P 坐标为? , ?.因此点 P 在直线 x= 上. b c ?c c ?
12.(1)证明 设双曲线的右焦点为 F(c,0),斜率大于零的渐近线方程为 y= x.

(2)解

a y=- (x-c), ? ? b 由? x y ? ?a -b =1,
2 2 2 2 4 4 2 4 2 2 2 4

消去 y 得(b -a )x +2a cx-a (a c +b )=0. ∵A、B 两点分别在双曲线左、右两支上,设 A、B 两点横坐标分别为 xA、xB. 2 2 2 4 -a (a c +b ) 4 4 由 b -a ≠0 且 xAxB<0.即 <0, b4-a4 得 b >a .即 2>1,∴e=
2 2

b2 a

1+ 2> 2.
-6-

b2 a

故 e 的取值范围为( 2,+∞).

-7-



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