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四川省成都七中2014-2015学年高一下学期期初考试数学试卷


2014-2015 学年四川省成都七中高一(下)期初数学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.设全集 U=R,A={x|x<1},B={x|log2x<1},则 A∩B=( ) A. {x|0<x<1} B. {x|0<x<2} C. {x|﹣1<x<1} D. {x|﹣1<x<2}

2.在平行四边形 ABCD 中, A. B. C.

+ D.

+

=(



3. 已知角 θ 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边在直线 y=2x 上, 则 sinθ= ( ) A. B.
2 x

C.

或﹣

D.

或﹣

4.函数 f(x)=3x ﹣e 的零点有( ) A. 有一个 B. 有两个 C. 有三个 D. 不存在 5.sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为( A. B. C. ﹣ D. ﹣ )

6.已知函数 f(x)=

,则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是(



A. [﹣1,2] B. [0,2] C. [1,+∞) D. [﹣1,+∞) 7. 函数 y=Asin (ωx+φ) (ω>0, |φ|< , x∈R) 的部分图象如图所示, 则函数表达式为 ( )

A. D.

B.

C.

8.定义在 R 上的非常值函数 f(x)满足 y=f(x+1)和 y=f(x﹣1)都是奇函数,则函数 y=f (x)一定是( ) A. 偶函数 B. 奇函数 C. 周期函数 D. 以上结论都不正确 9. 非零实数 a、 b 满足 4a ﹣2ab+4b ﹣c=0 (c>0) , 当|2a+b|取到最大值时, 则 的值为 ( A. B. C. D.
2 2



10.已知点 A、B 是函数 f(x)=x 图象上位于对称轴两侧的两动点,定点 F(0, ) ,若 向量 , 满足 ) ,+∞) D. [0,3] ? =2(O 为坐标原点) .则三角形 ABO 与三角形 AFO 面积之和的取

2

值范围是(

A. (2,+∞) B. [3,+∞) C. [

二、填空题(本大题有 5 小题,每空 5 分,共 25 分) 11.若向量 =(2,m) , =(1,﹣3)满足 ⊥ ,则实数 m 的值为 .

12.若 tanα>0,则 sin2α 的符号是

. (填“正号”、“负号”或“符号不确定”)

13.已知函数 f(x)=3sin(ωx+φ) , (ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离为 2,则 f(1) +f(2)+…+f(2016)= . 14.将曲线 C1:y=ln 关于 x 轴对称得到的曲线 C2,再将 C2 向右平移 1 个单位得到函数 f (x)的图象,则 f( +1)= .

15.设函数 y=f(x)的定义域为 D,若存在实数 x0,使 f(x0)=x0 成立.则称 x0 为 f(x) 的不动点或称(x0.f(x) )为函数 y=f(x)图象的不动点;有下列说法: 2 ①函数 f(x)=2x ﹣x﹣4 的不动点是﹣1 和 2; 2 ②若对于任意实数 b,函数 f(x)=ax +(b+1)x+b﹣2. (a≠0)恒有两个不相同的不动点, 则实数 a 的取值范围是 0<a≤2; 2 ③函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0) ,若 y=f(x)没有不动点,则函数 y=f(f(x) )也没有不动 点; ④设函数 f(x)= (x﹣1) ,若 f(f(f(x) ) )为正整数,则 x 的最小值是 121; 以上说法正确的是 .

三、解答题(本题 6 小题,16~19 题各 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分) 16. (12 分) (2015 春?成都校级月考) (1)化简 ;

(2)计算:4

+2log23﹣log2 .

17. (12 分) (2015 春?成都校级月考)设 =(﹣1,1) , =(4,3) , =(5,﹣2) , (1)求证 与 不共线,并求 与 的夹角的余弦值. (2)求 在 方向上的投影.
2

18. (12 分) (2015 春?成都校级月考)已知函数 f(x)=8x ﹣6kx+2k﹣1. (1)若函数 f(x)的零点在(0,1]内,求实数 k 的范围; (2)是否存在实数 k,使得函数 f(x)的两个零点 x1,x2 满足 x1 +x2 =1,x1x2>0. 19. (12 分) (2015 春?成都校级月考)已知函数 f(x)=alog2x,g(x)=blog3x(x>1) ,其 中常数 a.b≠0. (1)证明:用定义证明函数 k(x)=f(x)?g(x)的单调性; x x (2)设函数 φ(x)=m?2 +n?3 ,其中常数 m,n 满足 m.n<0,求 φ(x+1)>φ(x)时 的 x 的取值范围. 20. (13 分) (2015 春?雅安校级期中)半径长为 2 的扇形 AOB 中,圆心角为 面两个图形从扇形中切割一个矩形 PQRS,设∠POA=θ. (1)请用角 θ 分别表示矩形 PQRS 的面积; (2)按图形所示的两种方式切割矩形 PQRS,问何时矩形面积最大. ,按照下
2 2

21. (14 分) (2015 春?成都校级月考)已知函数 f(x)= 上不间断. (1)求正实数 a 的值; (2)当 x≥1 时,函数 h(x)=kx﹣2|x﹣2|≥0 恒成立.求实数 k 的取值范围; (3)若关于 x 的方程 f(x)=m|x|=0 恰好有 4 个解,求实数 m 的取值范围.

的图象在 R

2014-2015 学年四川省成都七中高一(下)期初数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.设全集 U=R,A={x|x<1},B={x|log2x<1},则 A∩B=( ) A. {x|0<x<1} B. {x|0<x<2} C. {x|﹣1<x<1} D. {x|﹣1<x<2} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出集合的等价条件,根据集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解:A={x|x<1},B={x|log2x<1}={x|0<x<2}, 则 A∩B={x|0<x<1}, 故选:A 点评: 本题主要考查集合的基本运算.比较基础.

2.在平行四边形 ABCD 中, A. B. C.

+ D.

+

=(



考点: 专题: 分析: 解答: + = = = + + .

向量的加法及其几何意义. 平面向量及应用. 根据题意,画出图形,结合图形,利用平面向量的加法运算法则进行运算即可. 解:画出图形,如图所示; + =( + )+

故选:D.

点评: 本题考查了平面向量的加减运算问题,解题时应画出图形,结合图形进行解答问题, 是容易题. 3. 已知角 θ 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边在直线 y=2x 上, 则 sinθ= ( ) A. B. C. 或﹣ D. 或﹣

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用任意角的三角函数的定义,分类讨论求得 sinθ 的值. 解答: 解:由于角 θ 的终边在直线 y=2x 上,若角 θ 的终边在第一象限,则在它的终边上 任意取一点 P(1,2) , 则由任意角的三角函数的定义可得 sinθ= = = .

若角 θ 的终边在第三象限,则在它的终边上任意取一点 P(﹣1,﹣2) , 则由任意角的三角函数的定义可得 sinθ= = =﹣ ,

故选:D. 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题. 4.函数 f(x)=3x ﹣e 的零点有( ) A. 有一个 B. 有两个 C. 有三个 D. 不存在 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. x 2 x 2 分析: 令 f(x)=0,得到 e =3x ,作出函数 y=e ,和 y=3x 的图象,利用数形结合即可得 到结论 x 2 x 2 解答: 解:令 f(x)=0,得到 e =3x ,作出函数 y=e ,和 y=3x 的图象如图: 由图象可知两个图象的交点为 3 个,
2 x

即函数 f(x)=3x ﹣e 的零点的个数为 3 个, 故选:C 点评: 本题主要考查函数零点公式的判定,利用函数和方程之间的关系转化为两个图象的 交点问题是解决本题的关键. 5.sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为( )

2

x

A.

B.

C. ﹣

D. ﹣

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用两角和的正弦公式,求得所给式子的值. 解答: 解:sin80°cos20°﹣cos80°sin20°=sin(80°﹣20°)=sin60°= 故选:B. 点评: 主要考查两角和的正弦公式的应用,属于基础题. ,

6.已知函数 f(x)=

,则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是(



A. [﹣1,2] B. [0,2] C. [1,+∞) D. [﹣1,+∞) 考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据分段函数的表达式,分别进行求解即可得到结论. 2 解答: 解:当 x≤1 时,x +1≤2,得﹣1≤x≤1, 当 x>1 时,由 1﹣log2x≤2,得 log2x≥﹣1. ∴x≥ ,∴x>1 综上可知,实数 x 的取值范围是 x≥﹣1. 故选:D 点评: 本题主要考查不等式的求解,利用分段函数的表达式分别进行求解是解决本题的关 键. , x∈R) 的部分图象如图所示, 则函数表达式为 (

7. 函数 y=Asin (ωx+φ) (ω>0, |φ|<



A. D.

B.

C.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题.

分析: 通过函数的图象求出 A,周期 T,利用周期公式求出 ω,图象经过(3,0)以及 φ 的范围,求出 φ 的值,得到函数的解析式. 解答: 解:由函数的图象可知 A=2,T=2×(5﹣1)=8,所以 图象经过(3,0) ,所以 0=2sin( 所以函数的解析式为: ) ,又 ; ,ω= ; ,因为函数的

,所以 φ=

故选 C. 点评: 本题是基础题,考查三角函数的图象求函数的解析式的方法,考查学生的视图能力, 计算能力,常考题型. 8.定义在 R 上的非常值函数 f(x)满足 y=f(x+1)和 y=f(x﹣1)都是奇函数,则函数 y=f (x)一定是( ) A. 偶函数 B. 奇函数 C. 周期函数 D. 以上结论都不正确 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 y=f(x+1)奇函数,即有 f(1﹣x)=﹣f(1+x) ,由 y=f(x﹣1)是奇函数,即为 f(﹣x﹣1)=﹣f(x﹣1) ,将 x 换成 x﹣1,x+1,再将﹣x 换成 x,x 换成 x+2,结合周期函 数的定义,即可得到结论. 解答: 解:y=f(x+1)奇函数, 即有 f(1﹣x)=﹣f(1+x) , 将 x 换成 x﹣1,即有 f(2﹣x)=﹣f(x) ,① y=f(x﹣1)是奇函数, 即为 f(﹣x﹣1)=﹣f(x﹣1) , 将 x 换成 x+1,即有 f(﹣x﹣2)=﹣f(x) ,② 则由①②可得,f(﹣x﹣2)=f(2﹣x) , 即有 f(x﹣2)=f(x+2) , 将 x 换成 x+2,可得 f(x+4)=f(x) , 即有函数 f(x)是最小正周期为 4 的函数. 故选:C. 点评: 本题考查函数的奇偶性和周期性的定义,考查赋值法的运用,考查一定的推理和分 析能力,属于中档题.
2 2

9. 非零实数 a、 b 满足 4a ﹣2ab+4b ﹣c=0 (c>0) , 当|2a+b|取到最大值时, 则 的值为 ( A. B. C. D.



考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 4a ﹣2ab+4b ﹣c=0(c>0) ,化为 = 西不等式即可得出. 2 2 解答: 解:4a ﹣2ab+4b ﹣c=0(c>0) , 化为 = 由柯西不等式可得: ≥ = ,

2

2

=

,利用柯

=(2a+b) ,

2

当|2a+b|取到最大值时,

=

,化为



故选:D. 点评: 本题考查了柯西不等式的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
2

10.已知点 A、B 是函数 f(x)=x 图象上位于对称轴两侧的两动点,定点 F(0, ) ,若 向量 , 满足 ) ,+∞) D. [0,3] ? =2(O 为坐标原点) .则三角形 ABO 与三角形 AFO 面积之和的取

值范围是(

A. (2,+∞) B. [3,+∞) C. [

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 通过设点 A(﹣x,x ) (x>0) 、利用
2

?

=2、计算可知 B( ,

) ,过点 A、

B 分别作 x 轴垂线且垂足分别为 C、D,通过 S△ ABO+S△ AFO=S 梯形 ACDB﹣S△ ACO﹣ S△ BDO+S△ AFO、利用面积计算公式及基本不等式计算即得结论. 2 2 解答: 解:依题意,不妨设点 A(﹣x,x ) (x>0) 、B(p,p ) (p>0) , ∵ ? =2,即﹣xp+(xp) =2,
2 2

∴(xp) ﹣xp﹣2=0, 解得:xp=2 或 xp=﹣1(舍) , ∴p= ,即 B( , ) ,

过点 A、B 分别作 x 轴垂线,垂足分别为 C、D, 则 S△ ABO+S△ AFO=S 梯形 ACDB﹣S△ ACO﹣S△ BDO+S△ AFO = (AC+BD)?CD﹣ AC?CO﹣ BD?OD+ OF?CO = (x +
2

)?(x+ )﹣ x ?x﹣ ?

2

? + ? ?x

= (x + +2x+ = ( +2x+ ) = ( + ≥ ?2 =3, 故选:B. )

3

﹣x ﹣

3

+ )

(当且仅当 =

即 x= 时等号成立)

点评: 本题考查平面向量数量积运算,涉及面积的计算方法、基本不等式等基础知识,注 意解题方法的积累,属于中档题. 二、填空题(本大题有 5 小题,每空 5 分,共 25 分) 11.若向量 =(2,m) , =(1,﹣3)满足 ⊥ ,则实数 m 的值为 .

考点: 数量积的坐标表达式. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量垂直的等价条件进行求解即可. 解答: 解:∵向量 ∴ ? =2﹣3m=0, 解得 m= , 故答案为: 点评: 本题主要考查向量数量积的应用,根据向量垂直的坐标公式进行求解是解决本题的 关键. =(2,m) , =(1,﹣3)满足 ⊥ ,

12.若 tanα>0,则 sin2α 的符号是 正号 . (填“正号”、“负号”或“符号不确定”) 考点: 二倍角的正弦;三角函数值的符号. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由已知, 利用三角函数的基本关系式可得 sin2α= 即可得解. 解答: 解:∵tanα>0, ∴sin2α= = >0. = >0,

故答案为:正号. 点评: 本题主要考查了二倍角的正弦函数公式,三角函数基本关系式的应用,属于基础题. 13.已知函数 f(x)=3sin(ωx+φ) , (ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离为 2,则 f(1) +f(2)+…+f(2016)= 0 . 考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值. 分析: 直接利用图象对称轴的距离,求出函数的周期,继而求出 f(x)=3sin( x+φ) ,

分别求出 f(1) ,f(2) ,f(3) ,f(4)的值,发现其规律得到答案. 解答: 解:函数 f(x)=3sin(ωx+φ) , (ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离为 2, ∴周期为 4,则 ω= ∴f(x)=3sin( ∴f(1)=3sin( = x+φ) , +φ)=3cosφ, ,

f(2)=3sin(π+φ)=﹣3sinφ, f(3)=3sin( +φ)=﹣3cosφ,

f(4)=3sin(2π+φ)=3sinφ, ∴f(1)+f(2)+…+f(2016)=504[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0, 故答案为:0. 点评: 本题考查函数周期的求法以及归纳推理好三角函数的诱导公式,涉及三角函数的图 象的应用,考查计算能力.

14.将曲线 C1:y=ln 关于 x 轴对称得到的曲线 C2,再将 C2 向右平移 1 个单位得到函数 f (x)的图象,则 f( +1)= .

考点: 函数的图象与图象变化.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数图象的对称变换和平移变换法则,求出函数 f(x)的解析式,将 x= 代入可得答案. 解答: 解:将曲线 C1:y=ln 关于 x 轴对称得到的曲线 C2, ∴曲线 C2 的方程为:y=﹣ln , 再将 C2 向右平移 1 个单位得到函数 f(x)的图象, ∴函数 f(x)=﹣ln ∴f( +1)=﹣ln , =﹣ln =﹣(﹣ )= ,

+1

故答案为: 点评: 本题考查的知识点是函数的图象与图象变化,函数求值,根据函数图象的对称变换 和平移变换法则,求出函数 f(x)的解析式,是解答的关键. 15.设函数 y=f(x)的定义域为 D,若存在实数 x0,使 f(x0)=x0 成立.则称 x0 为 f(x) 的不动点或称(x0.f(x) )为函数 y=f(x)图象的不动点;有下列说法: 2 ①函数 f(x)=2x ﹣x﹣4 的不动点是﹣1 和 2; 2 ②若对于任意实数 b,函数 f(x)=ax +(b+1)x+b﹣2. (a≠0)恒有两个不相同的不动点, 则实数 a 的取值范围是 0<a≤2; ③函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0) ,若 y=f(x)没有不动点,则函数 y=f(f(x) )也没有不动 点; ④设函数 f(x)= (x﹣1) ,若 f(f(f(x) ) )为正整数,则 x 的最小值是 121; 以上说法正确的是 ①③④ . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据已知中函数不动点的定义,逐一分析四个结论的真假,最后综合讨论结果,可 得答案. 2 2 解答: 解:令 2x ﹣x﹣4=x,解得 x=﹣1,或 x=2,故①函数 f(x)=2x ﹣x﹣4 的不动点 是﹣1 和 2,故①正确; 2 若对于任意实数 b,函数 f(x)=ax +(b+1)x+b﹣2. (a≠0)恒有两个不相同的不动点, 2 2 2 则 ax +(b+1)x+b﹣2=x 有两个不相等的实根,则△ =b ﹣4a(b﹣2)=b ﹣4ab+8a>0 恒成 立, 2 则 16a ﹣32a<0,解得 0<a<2,即实数 a 的取值范围是 0<a<2,故②错误; 2 2 ③函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0) ,若 y=f(x)没有不动点,则 ax +(b﹣1)x+c=0 无实根, 则函数 y=f(f(x) )也没有不动点; ④设函数 f(x)= (x﹣1) ,若 f(f(f(x) ) )= { [ (x﹣1)﹣1]﹣1}= 整数, 则 x 的最小值是 121,故④正确; 为正
2

故正确的命题的序号为:①③④, 故答案为:①③④ 点评: 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用, 此类题型往往综合较多的其它知识点, 综合性强,难度中档. 三、解答题(本题 6 小题,16~19 题各 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分) 16. (12 分) (2015 春?成都校级月考) (1)化简 ;

(2)计算:4

+2log23﹣log2 .

考点: 对数的运算性质;运用诱导公式化简求值. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的求值. 分析: (1)根据诱导公式和二倍角公式化简即可; (2)根据对数的运算性质计算即可. 解答: 解: (1) = =﹣ ;

(2)4

+2log23﹣log2 =2+log29﹣log2 =2+log28=5.

点评: 本题考查的知识点是对数的运算性质,和三角形函数的化简,属于基础题.

17. (12 分) (2015 春?成都校级月考)设 =(﹣1,1) , =(4,3) , =(5,﹣2) , (1)求证 与 不共线,并求 与 的夹角的余弦值. (2)求 在 方向上的投影.

考点: 数量积表示两个向量的夹角;向量的投影. 专题: 综合题. 分析: (1)根据共线向量的判断方法易得 与 不共线,再结合向量的数量积的运算,可 得 cos<a,b>的值, (2)根据数量积的运算与投影的概念,可得 在 方向上的投影为 计算可得答案. 解答: 解: (1)∵ =(﹣1,1) , =(4,3) ,且﹣1×3≠1×4, ∴ 与 不共线, 又 ? =﹣1×4+1×3=﹣1,| |= ,| |=5, ,代入向量的坐标,

∴cos< , >=

=

=﹣



(2)∵ ? =﹣1×5+1×(﹣2)=﹣7, ∴ 在 方向上的投影为 = =﹣ .

点评: 本题考查向量的数量积的运用,要求学生能熟练计算数量积并通过数量积来求出向 量的模和夹角或证明垂直. 18. (12 分) (2015 春?成都校级月考)已知函数 f(x)=8x ﹣6kx+2k﹣1. (1)若函数 f(x)的零点在(0,1]内,求实数 k 的范围; (2)是否存在实数 k,使得函数 f(x)的两个零点 x1,x2 满足 x1 +x2 =1,x1x2>0. 考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系;根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由条件利用二次函数的性质求得实数 k 的范围. (2)由条件利用二次函数的性质求得实数 k 的值,再结合(1)中 k 的范围,得出结论. 解答: 解: (1)由函数 f(x)=8x ﹣6kx+2k﹣1 的零点在(0,1]内,
2 2 2 2

可得

,求得 <k≤ .

(2)由题意可得

,求得 k> .

再根据 x1 +x2 =1= 求得 k= ,或 k=

2

2

﹣2x1x2=1,可得 (舍去) .

k﹣

2

=1,

结合(1)可得 <k≤ . 故不存在实数 k 满足题中条件. 点评: 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系,二次函数的性质,体现了转化、 分类讨论的数学思想,属于基础题. 19. (12 分) (2015 春?成都校级月考)已知函数 f(x)=alog2x,g(x)=blog3x(x>1) ,其 中常数 a.b≠0. (1)证明:用定义证明函数 k(x)=f(x)?g(x)的单调性;

(2)设函数 φ(x)=m?2 +n?3 ,其中常数 m,n 满足 m.n<0,求 φ(x+1)>φ(x)时 的 x 的取值范围. 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析:(1) 任取区间 (1, +∞) 上两个实数 x1, x2, 且 x1<x2, 则k (x1) ÷k (x2) = (
2

x

x



∈(0,1) ,进而分当 ab>0 时和当 ab<0 时两种情况,可得函数 k(x)=f(x)?g(x)的 单调性; x x x x (2)由函数 φ(x)=m?2 +n?3 ,可将 φ(x+1)>φ(x)化为 m?2 +2n?3 >0,结合 m?n <0,分当 m>0,n<0 时和当 m<0,n>0 时两种情况,可得满足条件的 x 的取值范围. 解答: 证明: (1)任取区间(1,+∞)上两个实数 x1,x2,且 x1<x2, 则 ∈(0,1) ,

∵函数 f(x)=alog2x,g(x)=blog3x(x>1) , ∴k(x1)÷k(x2)=(ab?log2x1?log3x1)÷(ab?log2x2?log3x2)=( ) ∈(0,1) ,
2

当 ab>0 时,k(x1)<k(x2) ,函数 k(x)=f(x)?g(x)在区间(1,+∞)上单调递增; 当 ab<0 时,k(x1)>k(x2) ,函数 k(x)=f(x)?g(x)在区间(1,+∞)上单调递减; x x (2)∵函数 φ(x)=m?2 +n?3 ,φ(x+1)>φ(x) ,m?n<0, x x ∴φ(x+1)﹣φ(x)=m?2 +2n?3 >0, 当 m>0,n<0 时, > ,则 x> ,

当 m<0,n>0 时,



,则 x<



点评: 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质,函数单调性的判断与证明,其中熟练 掌握函数单调性的证明方法定义法(作商法)的方法和步骤是解答本题的关键.

20. (13 分) (2015 春?雅安校级期中)半径长为 2 的扇形 AOB 中,圆心角为 面两个图形从扇形中切割一个矩形 PQRS,设∠POA=θ. (1)请用角 θ 分别表示矩形 PQRS 的面积; (2)按图形所示的两种方式切割矩形 PQRS,问何时矩形面积最大.

,按照下

考点: 弧度制的应用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)根据矩形的面积公式,分别表示即可,

(2)根据三角函数中 θ 的范围,分别计算求出各自的最大值,比较即可. 解答: 解: (1)对于图 1,由题意知 PS=OPsinθ=2sinθ,OS=OPcosθ=2cosθ, ∴SPQRS=S1=OP?OS=4sinθcosθ=2sin2θ, (0<θ< ) , ﹣θ) ,

对于图 2 由题意知,设 PQ 的中点为 N,PM=2sin(

∴MN=0M﹣ON=2cos(

﹣θ)﹣ ﹣θ)? sinθ= 时,Smax=2, [sin(2θ+

=

sinθ, sin( ﹣θ)sinθ, (0<θ< ) ,

∴SPQRS=S2=2PM?MN=4sin(

(2)对于图 1,当 sin2θ=1 时,即 θ= 对于图 2,S2= ∵0<θ< ∴ <2θ+ , < , )≤1, 时,Smax= sin( ﹣θ)sinθ=

)﹣ ],

∴ <sin(2θ+ 当 sin(2θ+

)=1,即 θ=



综上所述,按照图 2 的方式,当 θ=

时,矩形面积最大.

点评: 本题考查了图形的面积最大问题,关键是三角形函数的化简和求值,属于中档题.

21. (14 分) (2015 春?成都校级月考)已知函数 f(x)= 上不间断. (1)求正实数 a 的值; (2)当 x≥1 时,函数 h(x)=kx﹣2|x﹣2|≥0 恒成立.求实数 k 的取值范围; (3)若关于 x 的方程 f(x)=m|x|=0 恰好有 4 个解,求实数 m 的取值范围. 考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数 f(x)=

的图象在 R

的图象在 R 上不间断,可得 x=0 时,

两段函数的函数值相等,即 4=2×|﹣a|,解得正实数 a 的值; (2)当 x≥1 时,函数 h(x)=kx﹣2|x﹣2|≥0 恒成立.k≥ ,分当 x∈[1,2]时和当 x∈

(2,+∞)时,两种情况讨论,可得满足条件的实数 k 的取值范围;

(3)若关于 x 的方程 f(x)=m|x|=0 恰好有 4 个解,函数 y=f(x)与 y=m|x|的图象有四个 交点,对 m 值进行分类讨论,数形结合可得实数 m 的取值范围. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)= ∴4=2×|﹣a|, 解得 a=2,或 a=﹣2(舍去) , ∴正实数 a=2, (2)当 x≥1 时,函数 h(x)=kx﹣2|x﹣2|≥0,即 k≥ 当 x∈[1,2]时,k≥ 当 x∈(2,+∞)时,k≥ = ﹣2 为减函数,故 k≥2, =2﹣ 为增函数,故 k≥0; , 的图象在 R 上不间断.

综上所述:k≥2, 即实数 k 的取值范围为[2,+∞) , (3)若关于 x 的方程 f(x)=m|x|=0 恰好有 4 个解, 即函数 y=f(x)与 y=m|x|的图象有四个交点, ①当 m<0 时,函数 y=f(x)与 y=m|x|的图象无交点,不满足条件; ②当 m=0 时,函数 y=f(x)与 y=m|x|的图象有三个交点,不满足条件; ③当 m>0 时,若与 y=mx 与 y=2x﹣4 平行,即 m=2,则函数 y=f(x)与 y=m|x|的图象有 三个交点, 则 m≥2 时,函数 y=f(x)与 y=m|x|的图象有三个交点, 2 若 y=﹣mx 与 y=﹣(x +5x+4)相切,则函数 y=f(x)与 y=m|x|的图象有五个交点, 2 2 即 x +(5﹣m)x﹣4=0 的△ =(5﹣m) ﹣16=0,解得:m=1,或 m=9(舍去) , 即 m=1 时,函数 y=f(x)与 y=m|x|的图象有五个交点, 0<m<1 时,函数 y=f(x)与 y=m|x|的图象有六个交点, 故当 1<m<2 时,函数 y=f(x)与 y=m|x|的图象有四个交点, 故实数 m 的取值范围为(1,2)

点评: 本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的零点与方程的根,恒成立问题,是函 数图象和性质的综合应用,难度较大.


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