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导数的概念


§2.1 导数概念
导数和微分是继连续性之后,函数 研究的进一步深化。 导数反映的是因变量相对于自变量 变化的快慢程度, 而微分则是指明当自变量有微小变 化时,函数大体上变化多少。

1

导数概念的产生
导数思想最早由法国数学家 Fermat在研究极值问题中提出
微分学的创始人 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz (1642 ~ 1727) (1646 ~ 1716)

(1601~1665)

2

引例
1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为

S ? S (t )
则从t0到t0 ? ?t的平均速度:

S (t 0 )

s(t0 ? ?t )

S (t 0 ? ?t ) ? S (t 0 ) v? ?t
在t0时刻的瞬时速度:

o

s

S (t 0 ? ?t ) ? S (t 0 ) v ? lim ?t ?0 ?t

s ? gt
1 2
3

2

2.切线问题 割线的极限位置——切线位置

播放

4

y

如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即

y ? f ( x)

N T

C
o
?

M
?

x0

x

x

MN ? 0, ?NMT ? 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y). y ? y0 f ( x ) ? f ( x0 ) 割线MN的斜率为 tan ? ? ? , x ? x0 x ? x0
C N ?沿曲线 ?? ? ? M , x ? x0 ,

切线MT的斜率为
5

f ( x ) ? f ( x0 ) k ? tan ? ? lim . x ? x0 x ? x0

记x ? x0 ? ?x

f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ? lim ? x ?0 ?x 两个问题的共性 S (t 0 ? ?t ) ? S (t 0 ) 瞬时速度 v ? lim ?t ?0 ?t f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) 切线斜率 k ? lim ? x ?0 ?x 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题

加速度

电流强度

线密度等
6

一、导数的定义
设y ? f ( x )在点x0的某个邻域内有定义, 当自变量 x在x0处取得增量?x时, 相应地函数y取得增量 ?y ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 );
如果
?y f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

存在,则称f ( x)在x0可导, 此极限称为y ? f ( x)在x0点

的导数;
7

dy 记作: , dx x ? x0


y?

x ? x0

,

d f ( x) , d x x ? x0

f ?( x0 ) ;

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
?y 说明: 1、若 lim 不存在,则称 f ( x )在x0点不可导; ?x ?0 ?x ?y 若 lim ? ?,不可导,也称导数为 无穷。 ?x ?0 ?x

2、导数的其它形式
f ( x ) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . x ? x0 x ? x0

( x ? x0 ? ?x)
8

3、如果函数 y ? f ( x )在 (a, b)内的每点 处都可导 , 就称函数f ( x )在 (a, b)内可导 .
对 于 任 一x ? (a , b) f ( x ? ?x ) ? f ( x ) f ?( x ) ? lim ?x ?0 ?x dy df ( x ) 称 为 f ( x) 的 导 函 数 .也 可 记 作y?, 或 . dx dx

4、f ?( x0 ) ? f ?( x )

x ? x0

.

9

引例 1

S ? S (t )

S (t 0 ? ?t ) ? S (t 0 ) ? S ?(t0 ) v ? lim ?t ?0 ?t

引 例2

y ? f ( x)
? f ?( x0 )

f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) k ? lim ? x ?0 ?x

10

二、由定义求导数
练习

求y ? 3x ? 5在x ? 1点的导数。
2
?x ?0

解 f ?(1) ? lim f (1 ? ?x ) ? f (1)
?x

3(1 ? ?x ) ? 5 ? 3 ? 5 6?x ? 3(?x ) 2 ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x
2

?6

11

三、左右导数
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 1.左导数: f ??( x0 ) ? lim? ; ?x ?0 ?x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 2.右导数: f ?? ( x0 ) ? lim? ; ?x ?0 ?x
?y ?y ?y ? lim 存在 ? lim? ? lim? ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
★结 论 : f ?( x0 ) 存在 ★

? f ?? ( x 0 ) = f ?? ( x 0 )

如果 f ( x ) 在开区间?a , b ? 内可导,且 f ?? (a ) 及

f ?? (b ) 都存在,就说 f ( x ) 在闭区间?a , b? 上可导.

12

. 例5 讨论函数 f ( x ) ? x 在x ? 0处的可导性

f (0 ? ?x) ? f (0) ?x ? ? , ?x ?x
y
y? x

o

x

?x f (0 ? ?x) ? f (0) f ?? (0) ? lim? ? lim? ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x

? 1,

f ?? (0) ?

?x f (0 ? ?x) ? f (0) lim? ? lim? ? ? 1 . ?x ?0 ? x ? 0 ?x ?x

即 f ?? (0) ? f ?? (0), ?函数y ? f ( x )在x ? 0点不可导.
13

四、导数的几何意义
1.几何意义
f ?( x0 )表示曲线 y ? f ( x ) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率, 即 f ?( x0 ) ? tan ? , (?为倾角) o
?

y
y ? f ( x)

T

M

x0

x

切线方程为 y ? y 0 ? f ?( x 0 )( x ? x 0 ).
1 法线方程为 y ? y0 ? ? ( x ? x0 ). f ?( x0 ) ( f ?( x0 ) ? 0)
14

1 1 例6 求等轴双曲线y ? 在点( ,2)处的切线的 x 2 斜率, 并写出在该点处的切线 方程和法线方程 .

例7. 问曲线

y?x

3 2

上在哪一点处的

切线与直线 y

? 3x ? 1 平行?

并写出切线方程 .

15

五、可导与连续的关系
定理 凡可导函数都是连续函数. 注意:

1、连续不一定可导。

如f ( x) ? x
f ( x)在x ? 0点连续,

y

y? x

o

x

但f ?? (0) ? 1

f ?? (0) ? ?1

?函数y ? f ( x )在x ? 0点不可导.

2、如果 f ( x)在x ? x0点不连续,则一定不可 导。 3、讨论分段函 数在分段 点的导数问 题
可用左、右导。
16

1 ? ? x sin , x ? 0 讨论函数 f ( x ) ? ? , 9.(2) x ? x?0 ? 0, 在x ? 0处的连续性与可导性 .
1 解 ? sin 是有界函数 , x 1 ? lim x sin ? 0 x ?0 x

? f ( x )在x ? 0处连续. x ?0 1 (0 ? ?x ) sin ?0 1 ?y 0 ? ? x ? sin 但在x ? 0处有 ? ?x ?x ?x ?y 当?x ? 0时, 在 ? 1和1之间振荡而极限不存在. ?x ? f ( x )在x ? 0处不可导.
17

? f (0) ? lim f ( x ) ? 0

六、小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;

2. f ?( x 0 ) ? a ? f ?? ( x 0 ) ? f ?? ( x 0 ) ? a;
3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续,但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
不连续,一定不可导.

6. 判断可导性
连续

直接用定义;

看左右导数是否存在且相等.
18

思考题
函 数 f ( x ) 在 某 点 x0 处 的 导 数

f ?( x0 ) 与导函数 f ?( x ) 有什么区别与联
系?

19

思考题解答
由导数的定义知, f ?( x 0 ) 是一个具体的 I 上每一 数值, f ?( x ) 是由于 f ( x ) 在某区间 I 上的一个新函数,即 点都可导而定义在 ? x ? I ,有唯一值 f ?( x ) 与之对应,所以两
者的区别是:一个是数值,另一个是函数.两 者的联系是:在某点x 0 处的导数 f ?( x 0 ) 即是导 函数 f ?( x ) 在 x 0 处的函数值.

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