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中考数学压轴题课件


2015年中考数学压 轴题

第一部分 函数图象中点的存在性问 题
? 1.1 因动点产生的相似三角形问题

? 例1

? 如图1,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y =ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO =BO=2,∠AOB=120°. ? (1)求这条抛物线的表达式; ? (2)连结OM,求∠AOM的大小; ? (3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点 C的坐标.

图1

? 思路点拨 ? 1.第(2)题把求∠AOM的大小,转化为求 ∠BOM的大小. ? 2.因为∠BOM=∠ABO=30°,因此点C在点 B的右侧时,恰好有∠ABC=∠AOM. ? 3.根据夹角相等对应边成比例,分两种情况讨 论△ABC与△AOM相似.

? ? ? ? ? ?

(1)如图2,过点A作AH⊥y轴,垂足为H. 在Rt△AOH中,AO=2,∠AOH=30°, 所以AH=1,OH= .所以 A (-1, 3) 3 因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点, 3 3 设y=ax(x-2),代入点A(-1,) 可得 a=. 3 所以抛物线的表达式为 y ? 3 x?x ? 2? ? 3 x2 ? 2 3 x 3 3 3

图2

3 3 2 3 ? (2)由 y ? 3 x?x ? 2? ? 3 x2 ? 3 x

? 得抛物线的顶点M的坐标为(1, ? 3 ) .所以 3 3 ? tan∠BOM= 3 ? 所以∠BOM=30°.所以∠AOM= 150°.

考点伸展
? 在本题情境下,如果△ABC与△BOM相似, 求点C的坐标
如图5,因为△BOM是30°底角的等腰三角形, ∠ABO=30°, 因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形,AB=AC, 根据对称性,点C的坐标为(-4,0).

图5

例2

图1

图2

图3

考点伸展
第(3)题的思路是,A、C、O三点是确定的, B是而∠QOA与∠QOC是互余的, 那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情 况. 这样,先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下 来, 再根据两直角边对应成比例确定点B的位置. 如图中,圆与直线x=1的另一个交点会不会是符合题意 的点Q呢? 如果符合题意的话,那么点B的位置距离点A很近,这与 OB=4OC矛盾.

例3

图1

图2

图3

图4

例4

? 如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、 A(2,0)、B(6,3) ? (1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐 标;

? 解:抛物线的对称轴为直线 , ? 解析式为 , 1 ? 顶点为M(1, ? ).
8

图1

? 如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0, 0)、A(2,0)、B(6,3).

? (2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、 CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、 A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形 O1A1B1C1的面积为S,A1、 B1的坐标分别为 (x1, y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示x2-x1,并求出当 S=36时点A1的坐标;

图2

图1

图1

图2

? 如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0, 0)、A(2,0)、B(6,3).

(3)在图1中,设点D的坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒 1个单位长度的速度沿着线段BC运动, 动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q 两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、 Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线 AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成 的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.

(3)设直线AB与PQ交于点G,直线AB与抛物线的对称轴交于点E,直 线PQ与x

图3

图4

例5 2009年临沂市中考第26题

? 如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C (0,-2)三点. ? (1)求此抛物线的解析式

? 如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C (0,-2)三点. ? (2)P是抛物线上的一个动点,过P作PM⊥x轴, 垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶 点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符 合条件的 点P的坐标;若不存在,请说明理由

图3

图4

? 如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C (0,-2)三点. ? (3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得 △DCA的面积最大,求出点D的坐标

图5

图6

1.2 因动点产生的等腰三角形问题

例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题

? 如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6, AC=8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于 点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上 的一动点,且∠PDQ=90° ? (1)求ED、EC的长; ? (2)若BP=2,求CQ的长; ? (3)记线段PQ与线段DE的交点为F,若△PDF 为等腰三角形,求BP的长

例2 2012年扬州市中考第27题

(1)求抛物线的函数关系式;

图1

(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小 时,求点P的坐标

图1

图2

(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若 直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由

图1

图3

图4

图5

例3 2012年临沂市中考第26题

? 如图1,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转 120°至OB的位置.
(1)求点B的坐标 (2)求经过A、O、B的抛物线的解析式;

图1

图2

图3

? 如图1,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O 顺时针旋转120°至OB的位置. ? (3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P, 使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形? 若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由

图2

图3

考点伸展
? 如图3,在本题中,设抛物线的顶点为D, 那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三 角形.

例4

(1)求点A和点B的坐标

? (2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l//y轴.动点 P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路 线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平 移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段 AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运 动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒. ? ①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8? ? ②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若 存在,求t的值;若不存在,请说明理由.

图2

图3

图4

图5

图6

图7

例5

? 如图1,在矩形ABCD中,AB=m(m是大 于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动 点(不与B、C重合).连结DE,作 EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x, BF=y.
(1)求y关于x的函数关系式

图1

? (2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大 值是多少?

图2

图3

图4

例6

? 如图1,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,E是AB 的中点,过点E作EF//BC交CD于点F,AB=4, BC=6,∠B=60° ? (1)求点E到BC的距离
图 1

图4

? (2)点P为线段EF上的一个动点,过点P作 PM⊥EF交BC于M,过M作MN//AB交折线ADC 于N,连结PN,设EP=x. ? ①当点N在线段AD上时(如图2),△PMN的 形状是否发生改变?若不变,求出△PMN的周 长;若改变,请说明理由; ? ②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点 P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出 所有满足条件的x的值;若不存在,请说明理 由.

图2

图3

图4

图5

图6

图7

考点伸展

图8

1.3 因动点产生的直角三角形问题

例1

(1)求点A、B、C的坐标

图1

? (2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交 BD、BC于点M、N.试探究m为何值时,四边 形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形 CQBM的形状,并说明理由 ? (3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q, 使△BDQ为直角三角形,若存在,请直接写出 点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

图2

图3

例2 2012年广州市中考第24题

(1)求点A、B的坐标

图1

(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点, 当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;

? (3)若直线l过点E(4, 0),M为直线l上的动 点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角 形有且只有三个时,求直线l的解析式.

图2 图3

图3

例3 2012年杭州市中考第22题

(1)当k=-2时,求反比例函数的解析式; (2)要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大,求k应满 足的条件以及x的取值范围; (3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边 的直角三角形时,求k的值.

图2

图3

例4 2011年浙江省中考第23题

? (2)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形 OABC的顶点A(3,0)、B(2,7)、C(0,7),P为 线段OC上一点,设过B、P两点的直线为l1,过 A、P两点的直线为l2,若l1与l2是点P的直角线, 求直线l1与l2的解析式.

图2

图3

例5 2010年北京市中考第24题

(1)求点B的坐标;

例6 2009年嘉兴市中考第24题

(1)求x的取值范围
图1

(2)若△ABC为直角三角形,求x的 值

图2

图3

例 7 2008年河南省中考第23题


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