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2014年重庆一中高2014届高三下期第一次月考数学(理)试卷


2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第一次月考 数 学 试 题 卷(理科)2014.3
特别提醒: (14) 、 (15) 、 (16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给 分。 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有 一项是符合题目要求的)

z?
(1)已知复数 (A) i

2i 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则复数 z 的虚部为(
(C) ?i (D) ?1



(B)1

(2)已知条件 p : ? 是两条直线的夹角,条件 q :? 是第一象限的角。则“条件 p ”是“条件 q ” 的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3) (原创)以下茎叶图记录了甲、乙两组各 6 名学生在 一次数学测试中的成绩(单位:分) 。已知甲组数据的众数 甲组 9 11 为 124,乙组数据的平均数即为甲组数据的中位数,则 x 、 2 x 4 12 y 的值分别为( ) 7 4 13 (A)4、5 (C)4、4 (B)5、4 (D)5、5 )

乙组 6 5 4 6

y

8

(4) (原创)已知实数 x, y 满足 x ? 4 y ? 1 ,则 xy 的值域为(

? 1? ? 0, ? (A) ? 16 ?
(A) 45? (B) 54? (C) 63? (D) 69?

? 1 1? ? , ? ? ? (B) 16 16 ?

1? ? ? ??, ? 16 ? (C) ?


1? ? ? ??, ? 8? (D) ?

(5)某几何体的三视图如右图所示,则它的表面积为(

(6)已知一个四面体的一条棱长为 6 ,其余棱长均为 2,则这个四面体的

体积为(



(A)1

4 (B) 3

(C) 2 2

(D)3

(7)已知函数 ( (A) )

f ? x ? ? x3 ? 3x ? c

的图像与 x 轴恰好有三个不同的公共点,则实数 c 的取值范围是

? ?1,1?

(B)

? ?1,1?

(C)

? ?2, 2 ?

(D) )

? ?2, 2?

(8)执行如右图所示的程序框图,则输出的 s 的值等于( (A)13 (B)15 (C)36 (D)49

(9)

? tan 800 ? 4 cos100 ? ?
(B)2

3 ? sin 700 ? 2 ? cos 2 100 (
(C) 2 3

) (D)4

(A) 3

(10) (原创)已知 D, E , F 分别是 ?ABC 的三边 BC , CA, AB 上的点,且





???? 2 ???? AF ? AB 3



??? ? 3 ???? AE ? AC 4



??? ? ???? ???? ? ? AB AC ? AD ? ? ? ??? ? ???? ? ?? ? R? ? | AB | cos B | AC | cos C ? , ??? ? ???? ???? ? BD sin B AD cos B ? ? ? ???? ? ? ? ? R ? DF ? ? ? ??? ??? ? ??? ? | BD | | AD | ? | EF |:| BC |? ( ? 。则
1 (A) 3 1 (B) 2

???? ??? ? ???? ???? DE ? DA ? DE ? DC





3 (C) 3

2 (D) 2

二.填空题(本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案写在答题卡相应 位置上) (11)正项等比数列

?an ? 中, a12 a13 ? 9 ,则 log9 a1 ? log9 a2 ? ? ? log9 a24 ?
A ? ? x ? R | x2 ? 2 x ? 3 ? 0?
。 , 集 合

。 , 则 集 合

( 12 ) 已 知 集 合

B ? ? x ? R || x |? 2?

A? B ?

(13) (原创)小钟和小薛相约周末去爬尖刀山,他们约定周日早上 8 点至 9 点之间(假定他们在

这一时间段内任一时刻等可能的到达)在华岩寺正大门前集中前往,则他们中先到者等待的时间不 超过 15 分钟的概率是 (用数字作答) 。 特别提醒: (14) 、 (15) 、 (16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三 题全做,则按前两题给分。 (14) (原创)如图,在 ?ABC 中, AB ? 3 ,BC ? 4 ,CA ? 5 ,D 是 BC 的中点, BE ? AC 于 E , BE 的延长线交 ?DEC 的外接圆于 F ,则 EF 的长为 。

(15)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴建立极坐

标系。已知点

P ? ?1, 0 ?

? ? 6 cos ? ? 6sin ? ?
,若极坐标方程为

9

? 的曲线

? x ? ?1 ? 4t ? y ? ?3t ( t 为参数)相交于 A 、 B 两点,则 | PA | ? | PB |? 与直线 ?

。 。

(16)若关于实数 x 的不等式 |1 ? 5 x | ? |1 ? 3 x |? a | x | 无解,则实数 a 的取值范围是 三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤) (17) (本小题满分 13 分,⑴小问 6 分,⑵小问 7 分)设 曲线

f ? x ? ? e x ? ax 2 ? 7 x ? 13?

,其中 a ? R , ⑵求函数

y ? f ? x?

在点

?1, f ?1? ? 处的切线与直线 l : 2ex ? y ? e ? 0 平行。⑴确定 a 的值;

f ? x?

的单调区间。

(18) (本小题满分 13 分,⑴小问 5 分,⑵小问 8 分) (原创)小张有 4 张 VCD 光盘和 3 张 DVD 光盘,小王有 2 张 VCD 光盘和 1 张 DVD 光盘,所有 10 张光盘都各不相同。现小张和小王各拿一 张光盘互相交换,求:⑴小张恰有 4 张 VCD 光盘的概率;⑵小张的 DVD 光盘张数 X 的分布列与 期望。

A

(19) (本小题满分 13 分,⑴小问 5 分,⑵小问 8 分) (原创)如图,在四面

M P B Q C D

体 A ? BCD 中, AD ? 平面 BCD ,BC ? CD ,CD ? 2 , AD ? 4 。M 是 AD 的中点,P 是 BM 的中点, 点 Q 在线段 AC 上, 且 AQ ? 3QC 。 ⑴证明: PQ // 平面 BCD ; ⑵若异面直线 PQ 与 CD 所
0 成的角为 45 ,二面角 C ? BM ? D 的大小为 ? ,求 cos ? 的值。

(20) (本小题满分 12 分, ⑴小问 5 分, ⑵小问 7 分) (原创) 在 ?ABC 中, 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c , 且

y D B

b sin B ? a sin A ? c ? 3a sin C
b 2 ? 4b cos ? A ? C ? ? 4 ? 0

?

?

。 ⑴ 求 角 B 的 大 小 ; ⑵ 设

,求 ?ABC 的面积 S 。

F1
(21) (本小题满分 12 分,⑴小问 5 分,⑵小问 7 分) (原创)如图所示,

O

F2

x

C A

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 F,F b 椭圆 ? : a 的左右焦点分别为 1 2 ,椭圆 ? 上的
点到

F1 , F2

的距离之差的最大值为 2,且其离心率 e 是方程

4 x 2 ? 8 x ? 3 ? 0 的根。⑴求椭圆 ? 的方程;⑵过左焦点 F1 的直线 l 与椭圆 ? 相交于 A, B 两点,与
| AB | 圆 x ? y ? a 相交于 C , D 两点,求 | CD | 的最小值,以及取得最小值时直线 l 的方程。
2 2 2

(22) (本小题满分 12 分, ⑴小问 3 分, ⑵小问 4 分, ⑶小问 5 分) (原创) 在数列

?an ? 中, a ?1 已知 1 ,

a2 ? 3

,其前 n 项和

Sn

满足

Sn ?

n ? a1 ? an ? ? n ? N ? ? a ,a ,a a 2 。⑴求 3 4 5 的值;⑵求 n 的表达式;⑶
a1a2 ? an ? ? 2n ? 1?
n ?1 2

对于任意的正整数 n ? 2 ,求证:



命题人:薛廷兵 审题人:梁 波

2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第一次月考 数 学 答 案(理科)2014.3 一.选择题:BDACB ACDCD

? x | ?1 ? x ? 2? ;13. 16 ;14. 15 ;15.2;16. ? ??,8? 二.填空题:11.12;12.
17 . 解 : ⑴ 由 题
2 f ? ? x ? ? e x ? ax 2 ? 7 x ? 13? ? e x ? 2ax ? 7 ? ? e x ? ? ax ? ? 2a ? 7 ? x ? 6 ? ?

7

14

,故

f ? ?1? ? e ? 3a ? 1?


。因直线 l 的斜率为 2e ,故

e ? 3a ? 1? ? 2e
,由

,从而 a ? 1 ; 得 x ? 2 或 x ? 3 ,由

f ? ? x ? ? e x ? x 2 ? 5 x ? 6 ? ? e x ? x ? 2 ?? x ? 3?

f ?? x? ? 0

f ?? x? ? 0

f ? x? ? ??, 2 ? 和 ? 3, ?? ? ,单减区间为 ? 2,3? 。 得 2 ? x ? 3 。故 的单增区间为

X

2

3

4

18.解:⑴记事件 A 为“小张和小王各拿一张 VCD 光盘交换” ,事件 B 为 “ 小 张 和 小 王 各 拿 一 张 DCD 光 盘 交 换 ” , 则 A, B 互 斥 , 且

P

2 7

11 21

4 21

P ? A? ?

4?2 8 3 ?1 3 11 ? P ? B? ? ? P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? ? 7 ? 3 21 , 7 ? 3 21 ,故所求概率为 21 ; P ? X ? 2? ? 3? 2 2 4 ? 2 ? 3 ?1 11 ? P ? X ? 3? ? ? 7?3 7 , 7 ?3 21 ,

⑵ X 所 有 可 能 取 值 为 2,3, 4 , 且

P ? X ? 4? ?

4 ?1 4 ? 7 ? 3 21 。故 X 的分布列如右表, X 的

A

2 11 4 61 EX ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 7 21 21 21 。 期望
19.法一:⑴如图,连 AP 并延长交 BD 于 E ,连

N R B F P Q E C

M

CE ,过 M 作 MN // BD 交 AP 于 N ,则 AN ? NE ,

NP ? PE 。故 AP ? 3PE ,从而 PQ // CE 。因 PQ ?
平面 BCD , CE ? 平面 BCD ,故 PQ // 平面 BCD ;

D

⑵过 C 作 CF ? BD 于 F ,作 CR ? BM 于 R ,连 FR 。因 AD ? 平面 BCD ,故平面 ABD ? 平面

BCD ,故 CF ? 平面 ABD ,因此 CF ? BM ,从而 BM ? 平面 RCF ,所以 ?CRF ? ? 即为二面
0 角 C ? BM ? D 的平面角。因 PQ // CE ,故 ?DCE ? 45 ,因此 CE 即为 ?BCD 的角平分线。由

⑴易知 DE ? 2 MN ? 2 EB , 故 DC ? 2 BC , 从而 BC ? 1 ,

CF ?

1? 2 12 ? 22

?

2 5。 由题易知 BC ?

平面 ACD , 故 BC ? CM 。 由题 CM ? 2 2 , 故

CR ?

3 1? 2 2 2 2 CF ? sin ? ? ? 3 。 1? 8 10 , CR 所以

cos ? ?
从而

1 10 ? 10 。 10

z

A

M

法二:如图建立空间直角坐标系,则

C ? 0, 0, 0 ?

P

, 。

y

Q B C D

x

D ? 2, 0, 0 ?
⑴设



A ? 2, 0, 4 ?
,则



M ? 2, 0, 2 ?



Q ?1 2, 0,1?

B ? 0, y, 0 ?

P ?1, y 2,1?

,因此

??? ? QP ? ?1 2, y 2, 0 ?

。显然

??? ? DA ? ? 0, 0, 4 ?

是平面 BCD 的一

??? ? ??? ? QP ? DA ? 0 ,所以 PQ // 平面 BCD ; 个法向量,且

??? ? ??? ? 2 ??? ? QP ? CD 1 y 0 ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? cos 45 ? ??? | QP |? ? QP ? CD ? 1 | CD | ? 2 | QP || CD | 得 y ? 1 ,因 此 4 4 ⑵ 由⑴ , , , 故由 ??? ? ???? ? ?? B ? 0,1, 0 ? BD ? ? 2, ?1, 0 ? BM ? ? 2, ?1, 2 ? m ? ? x1 , y1 , z1 ? BMD
,从而 , 。设 是平面

的法向量,则

?2 x1 ? y1 ? 0 ?? ? ? ?2 x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 , 取 x1 ? 1 得 m ? ?1, 2, 0 ? 。 设 n ? ? x2 , y2 , z2 ? 是 平 面 BMC 的 法 向 量 , 则 ?? ? ? y1 ? 0 m ?n 10 ? cos ? ?| ?? ? |? ? 10 。 | m || n | ?2 x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 ,取 x1 ? 1 得 n ? ?1, 0, ?1? 。故
20.解:⑴由正弦定理可得

b 2 ? a 2 ? c ? 3a c

?

?

,即 3ac ? a ? c ? b ,故由余弦定理得
2 2 2

a 2 ? c2 ? b2 3 cos B ? ? 2ac 2 ,因此 B ? 300 ;
⑵因

? ? 16 cos 2 ? A ? C ? ? 16 ? ?16sin 2 ? A ? C ? ? 0
?2

,故

sin 2 ? A ? C ? ? 0
a2 ?

,得 A ? C ,且

b?

4 cos ? A ? C ? 2

。 故 2 ? 2a ? 2a cos 30
2 2 2

0

, 得

4 ? 8? 4 3 2? 3 , 故

S?

1 2 a sin 300 ? 2 ? 3 2 。

| PF1 | ? | PF2 |?| F1 F2 |? 2c 21 . 解:⑴设 P 是 椭圆 ? 上 任意一点, 则 ,故 c ? 1 。解 方程
4 x ? 8x ? 3 ? 0 得
2

x?

1 3 1 c x? ?e? 2或 2 。因 0 ? e ? 1 ,故 2 a ,因此 a ? 2 ,从而 b 2 ? 3 。所以椭

x2 y 2 ? ?1 3 圆 ? 的方程为 4 ;

a2 3 p ? ?c ? 3 | F1 B |? ? OF B ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 c 2 ? cos ? , ⑵ 法 一 : 焦 准 距 , 设 , 则
| F1 A |? 3 12 | AB |? 2 2 2 2 ? cos ? , 故 4 ? cos 2 ? 。 易 知 | CD |? 2 2 ? sin ? ? 2 3 ? cos ? , 故

| AB |2 1 36 ? ? 2 2 | CD | 3 ? cos ? ? 4 ? cos 2 ? ?2

。 令

t ? 4 ? cos2 ? ? ? 3, 4?
,故

, 则

| AB |2 36 ? 2 2 | CD | t ?7 ? t ?

。 令

f ?t ? ? t2 ?7 ? t?

,则

f ? ? t ? ? ?3t 2 ? 14t ? t ?14 ? 3t ? ? 0

f ?t ?



?3, 4? 单 调 递 增 , 从 而

| AB |2 36 3 | AB | 3 ? ? ? ? ? ?? 2 f ? t ? ? f ? 4 ? ? 48 48 4 | CD | 2 ,当且仅当 t ? 4 即 2 时取等号。所以 ,得 | CD |
| AB | 3 | CD | 的最小值为 2 ,取得最小值直线 l 的方程为 x ? ?1 。

| AB | 3 ? 2 。当 l 与 x 轴不垂直时,设 l : 法二:当 l ? x 轴时易知 | AB |? 3 , | CD |? 2 3 ,有 | CD |

x2 y 2 ? ?1 4k 2 ? 3? x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 y ? k ? x ? 1? ? 4 3 ,代入 并整理得 ,故

| AB | ? ?1 ? k
2

2

?? x ? x ?
1 2

2

2 ?? ?8k 2 ? 2 4k 2 ? 12 ? ? 12k 2 ? 12 ? ? ?1 ? k ? ?? 2 ??? ? ? 4? 2 ? 4k ? 3 ? 4k ? 3 ? ? 4k 2 ? 3 ? ? ? ? ? 。圆心 O 到 l 的距 2

? k 2 ? 12k 2 ? 16 | AB |2 | CD | ? 4 ? 4 ? 2 ? ? d? ? 2 2 2 k ?1? k 2 ?1 | CD | ? k ? 1 t ? k ? 1 离 ,故 ,令 ,则
|k|
2

36t 3

? 4t ? 1? ? 3t ? 1?
2

?

36 1 ?1? ?1? 1 3 2 s? ? ? ? 5 ? ? ? 8 ? ? 48 t ?t ? ?t ? t , 且 f ? s ? ? s ? 5s ? 8s ? 48 , 则 。 令
3 2

f ? ? s ? ? 3s 2 ? 10 s ? 8 ? ? 3s ? 2?? s ? 4?

s ? ? 0,1? f ??s? ? 0 。因 t ? 1 ,故 ,因此 ,从而

| AB |2 36 3 | AB | 3 | AB | 3 ? ? ? ? 2 f ? s ? ? f ? 0 ? ? 48 48 4 | CD | 2 。综上知 | CD | 的最小值为 2 ,取得 ,可知 | CD |
最小值直线 l 的方程为 x ? ?1 。

22.解:⑴依次令 n ? 3, 4,5 可得 ⑵法一:由⑴猜想 设

a3 ? 5 , a4 ? 7 , a5 ? 9 ;

an ? 2n ? 1 ,下面用数学归纳法证明:①当 n ? 1, 2 时结论显然成立;②假
k ?1

n ? k ? k ? N , k ? 2?

a ? 2k ? 1 ,则 ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ? 2 ?1 ? ak ?1 ? 时结论成立,即 k

?

k ? 2k ? 1? k 1 k ?1 ak ?1 ? ? ? k ? 1? ak ?1 ? 2k 2 ? k ? 1 ? ak ?1 ? 2k ? 1 ?1 ? ak ? ? ? 2 2 2 2







n ? k ? 1 时结论成立。综上知结论成立。
法二:猜想

an ? 2n ? 1

,下面用第二数学归纳法证明:①当 n ? 1, 2 时结论显然成立;②假设

n ? k ? k ? N , k ? 2?

时结论成立,即

am ? 2m ? 1? m ? k , m ? N ? ?

k ?1 ?1 ? ak ?1 ? ? ,则 2

S k ?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? 2k ? 1? ? ak ?1 ? k 2 ? ak ?1 ? ? k ? 1? ak ?1 ? 2k 2 ? k ? 1 ? ak ?1 ? 2k ? 1

, 故 当

n ? k ? 1 时结论成立。综上知结论成立。
an ?1 ? S n ?1 ? S n ? n ?1 n ?1 ? an?1 ? ? ?1 ? an ? ? nan ? ? n ? 1? an?1 ? 1 2 2 ,当 n ? 2 时,
ai ?1 ? n ?1 ? 1 1 ? ? ai ? ? ? ? ? ? ? ?? i ? i?2 ? i ? 1 i ? i ?2 ? i ? 1
n ?1

法三:由题

an a 1 1 1 ? n ?1 ? ? ? n ?1 n n ? n ? 1? n ? 1 n
a2 ?











an 1 ? 1? ? an ? 2n ? 1? n ? 2 ? a ? 1 ,故 an ? 2n ? 1 。 n ?1 n ?1 。又 1

⑶法一:由⑵知

?an ?
2

为等差数列,故

a1 ? an ?1 ? a2 ? an ? ? ? an ? a2 ? an ?1 ? a1

。由

? x ? y? xy ?
4

2

? x ? y? ?
4

| a ? an ?1 |? 知 x ? y 一定时,要使 xy 最小,则 | x ? y | 最大。显然 1
, 故

| ak ? an ? 2? k | ? 2 ? k ? n ?
a1a2 ? an ?1 ? ? a1an ?1 ?
n ?1 2

? a1a2 ? an?1 ?
n ?1 2

2

? ? a1an ?1 ?? a2 an ?? ? an ?1a1 ? ? ? a1an ?1 ?
n ?1 2

n ?1

, 因 此

? ? 2n ? 1?
k n

,从而

a1a2 ? an ? ? 2n ? 1?



n ? n ? 1?? ? n ? k ? 1? ? 1 ? ? 2 ? C ? ? ? ? ? ? 1? k ? N ,1 ? k ? n ? k! ? 2n ? 1 ? ?n? 法 二 : 因 为 , 所 以
k k

n 2 ? 2 ? ? k ? n n ?1 ?1 ? ? ? ? Cn ? ? ? n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 3? ? ? 2n ? 1? ,因此 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 ? k ?0 ,故

n

k

? 2n ? 3 ? 2 ? 2n ? 1? 2
n ?1

n

? ? 2i ? 1? ? ?
,从而
i ?1 i ?1

n ?1

n ?1

? 2i ? 3? 2 ? 2i ? 1? 2
i ?1

i

? ? 2n ? 1?

n ?1 2

,即

a1a2 ? an ? ? 2n ? 1?

n ?1 2



法三:①当 n ? 2 时不等式显然成立;②假设

n ? k ? k ? 2?

时不等式成立,即

a1a2 ? ak ? ? 2k ? 1?

k ?1 2

ak ?1 ? 2k ? 1 ?
,则如“法二”可证

? 2k ? 3 ? 2 ? 2k ? 1? 2
k ?1

k

,故

a1a2 ? ak ?1 ?

? 2k ? 1?

k ?1 2

? 2k ? 3 ? 2 ? ? 2k ? 1? 2

k

k ?1

? ? 2k ? 3 ? 2
,即当 n ? k ? 1 时不等式成立。综上得证。

k


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