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2015-2016学年高中数学 2.2.2等差数列的前n项和练习 苏教版必修5


2.2.2

等差数列的前 n 项和

1.(1)对于任意数列{an},Sn=a1+a2+a3+?+an,叫做数列{an}的前 n 项的和. (2)Sn-Sn-1=an(n≥2),a1=S1(n=1). 2.(1)等差数列{an}的前 n 项和公式为 Sn=

n(a1+an)
2

或 Sn=na1+

n(n-1)d
2



(2)等差数列:2,4,6,?,2n,?的前 n 项和 Sn=(n+1)n. (3)等差数列首项为 a1=3,公差 d=-2,则它的前六项和为-12. 3.(1)等差数列依次 k 项之和仍然是等 差数列.即 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,?成公差为

k2d 的等差数列.
(2)已知等差数列{an},an =n,则 S3,S6-S3,S9-S6 分别为:6, 15,24.它们成等差 数列. 4 . (1)由 Sn 的定义可知,当 n=1 时, S1 =a1;当 n≥2 时,an= Sn- Sn- 1,即 an=
? ?S1,n=1, ? . ?Sn-Sn-1,n≥2 ? ?1,n=1, ? 2 * (2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn=n ,则 an= ? =2n-1,n∈N . ? 2 n - 1 , n ≥ 2 ?

5.(1)等差数列的前 n 项和公式:Sn=na1+

n(n-1)d
2

可化成关于 n 的二次式子为 Sn

= n +?a1- ?n,当 d≠0 时,是一个常 数项为零的二次式. 2? 2 ?
2

d

?

d?

(2)已知等差数列的前 n 项和为 Sn=n -8n ,则前 n 项和的最小值为-16,此时 n=4. 6.(1)若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,则? ?也是等差数列.
?n? ?Sn?

2

(2)已知等差数列{an}的通项公式为:an=2n-1,则 =n,? ?是等差数列.
?n?

Sn n

?Sn?

7.(1)在等差数列{an}中,a1>0,d<0.则 Sn 存在最大值;a1<0,d>0,则 Sn 存在最 小值(选择“最大值”“最小值”填空). (2)已知等差数列{an}的通项公式为: an=-2n+8, 则等差数列的前 n 项和 Sn=n(7-n),

Sn 的最大值为 12.
8.(1)项数为 2 n 的等差数列{an},公差为 d,有 S2n=n(an+an+1)(an,an+1 为中间两项),

S 偶-S 奇=nd.
(2)已知等差数列{an}共有 100 项,其通项公式为:an=-3n+2,等差数 列的前 n 项和 为 Sn,则 S 偶-S 奇=-150.
1

9.(1)项数为 2n-1 的等差数列{an},有 S2n-1=(2n-1)an(an 为中间项),S 奇-S 偶=an. (2)已知等差数列{an}共有 201 项,其通项公式为:an=3n-2,等差数列的前 n 项和为

Sn,则 S 奇-S 偶=a101=301.,?记录空间

?基础巩固 一、选择题 1.等差数列{an}中,S10=120,那么 a1+a10 等于 (B) A.12 B.24 C.36 D.48

解析:考查 Sn 与 an 关系. 2.在等差数列{an}中,已知前 15 项的和 S15=90,则 a8 等于(C) A.3 B.4 C.6 D.12 解析:a1+a15=2a8. 3.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4=20,S2=4,则公差 d 为(B) A.2 B.3 C.6 D.7
?S2=4, ? ?2a1+d=4, ? ?a1= , ? 2 解析:由 ? 得? ?? ? ? ?S4=20 ?4a1+6d=20 ?

1

?d=3.

4.1+4+7+10+?+(3n+4)+(3n+7)等于(C) A. C.

n(3n+8)
2

(n+2)(3n+8) B. 2

(n+3)(3n+8) n(3n-1) D. 2 2

解析:关键是确定好项数 n. 5.在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的前 5 项和 S5=(B) A.7 B.15 C.20 D.25 解析:∵a2=1,a4=5,而 a1+a5=a2+a4=6, 5(a1+a5) 5 ∴S5= = ×6=15. 2 2 二、填空题 1 6.已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 a1= ,S2=a3,则 a2=________. 2 1 1 1 解析:由 S2=a3? a1+a2=a3? a1+a1+d=a1+2d,解得 d= ,∴a2=a1+d= + =1. 2 2 2
2

答案:1 1 7 .等差数列 {an} 的公差为 ,且 S100 = 145 ,则奇数项的和 a1 + a3 + a5 +?+ a99 等于 2 ________. 1 解析:项数为偶数时,奇数项和与偶数项和的关系:S 偶-S 奇=50× ,S 偶+S 奇=145, 2 得 S 奇=60. 答案:60 8.等差数列{an}中,若 a6=a3+a8,则 S9=________. 解析:确定出 a1,d,求 S9. 答案:0 三、解答题 9.已知等差数列 51,48,45,?. (1)第几项开始为负? (2)前多少项的和最大? 解析:(1)易得 a1=51,d=48-51=- 3, 故 an=a1+(n-1)d=-3n+54. 由-3n+54≤0 得 n≥18.故第 1 9 项开始为负. (2)由 a18=0,且 a1>0,d<0,故前 17 项或前 18 项的和最大. 10.(2013·四川卷)在等差数列{an}中,a3+a1=8,且 a4=a2a9,求{an}的首项、公差 及前 n 项和.
? ?2(a1+d)=8, 解析:设{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则? ? 2 ?(a1+3d) =(a1+d)(a1+8d) ? ?a1+d=4, ?a1=4, ? ?a1=1, ? ? ? ?? 或? ?d(d-3a1)=0 ? ?d=0 ?d=3. ? ?
2

3n -n ∴Sn=4n 或 . 2 ?能力升级 一、选择题 11.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=(C) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,
3

2

∴公差 d=am+1-am=3-2=1. 由 Sm=

m(a1+am)
2

=0 得 a1=-am=-2,

∴am=-2+(m-1)·1=2 得 m=5. 12.一个首项为正数的等差数列中,前 3 项的和等于前 11 项的和,当这个数列的前 n 项和最大时,n 等于(C) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:由 S3=S11 及首项为正可知,d<0,故知 Sn=na1+

d? n(n-1) d 2 ? d= n +?a1- ?n,
2 2

?

2?

3+11 是一个开口向下的抛物线,S3=S11 告诉我们,抛物线的对称轴 n= =7, 2 故知数列的前 n 项和最大时的 n 等于 7. 13.等差数列{an}的前 m 项的和为 10,前 2 m 项的和为 100,则它的前 3m 项的和为(C) A.130 B.170 C.270 D.260 解析 :∵S m=10,S2m=100,故 S2m-Sm=90,故知 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 构成首项为 10, 公差为 80 的等差数列,∴S3m-S2m=90+80=170.∴S3m=10 0+170=270. 二、填空题 14.(2013·重庆卷)已知{an}是等差数列,a1=1,公差 d≠0,Sn 为其前 n 项和,若 a1a5 =a2,则 S8=________. 8×7 8×7 2 2 解析:由 a1a5=a2得 a1(a1+4d)=(a1+d) ,解得 d=2,∴S8=8a1+ d=8×1+ 2 2 ×2=64. 答案:64 15.(2014·北京卷)若等差数列{an}满足 a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当 n=________ 时,{an}的前 n 项和最大. 解析:利用等差数列的性质求前 n 项和的最值. ∵a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0. ∵a7+a10=a8+a9<0,∴a9<-a8<0. ∴数列的前 8 项和最大,即 n=8. 答案:8 三、解答题
2

4

16.设等差数列{an}满足 a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值. 解析:(1)由 an=a1+(n-1)d 及 a3=5,a10=-9 得
? ? ?a1+2d=5, ?a1=9, ? 可解得? ?a1+9d=-9, ?d=-2. ? ?

数列{an}的通项公式为 an=11-2n(n∈N ). (2)由(1)知,Sn=na1+
2

*

n(n-1) d=10n-n2.
2

因为 Sn=-(n-5) +25,所以当 n=5 时,Sn 取得最大值.

5


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