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2016届高考数学(理)一轮复习学案:4.6+简单的三角恒等变换(苏教版含解析)


§4.6

简单的三角恒等变换

1.公式的常见变形 (1)tan α +tan β =tan(α +β )(1-tan α tan β ), tan α -tan β =tan(α -β )(1+tan α tan β ). 1-cos 2α 2 (2)sin α = , 2 1+cos 2α 2 cos α = , 2 1 sin α cos α = sin 2α . 2 (3)1+cos α =2cos 1-cos α =2sin
2 2

α , 2

α , 2

α α 2 1+sin α =(sin +cos ) , 2 2 α α 2 1-sin α =(sin -cos ) . 2 2 2.辅助角公式

asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ ),
其中 sin φ = 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y=3sin x+4cos x 的最大值是 7.( × ) (2)设 α ∈(π ,2π ),则 1-cos?π +α ? α =sin .( × ) 2 2

b a +b
2 2

,cos φ =

a a +b2
2

.

(3)在非直角三角形中有:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.( √ ) 5π 1 θ 15 (4)设 <θ <3π ,且|cos θ |= ,那么 sin 的值为 .( × 2 5 2 5
2 2

)

(5)公式 asin x+bcos x= a +b sin(x+φ )中 φ 的取值与 a,b 的值无关.( × )
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π π 3 2 (6)函数 f(x)=cos x+ 3sin xcos x 在区间[- , ]上的最大值为 .( √ ) 4 3 2

sin 2α cos α -sin α 1.化简: = cos 2α 答案 sin α

.

2sin α ·cos α -sin α sin α ?2cos α -1? 解析 原式= = cos 2α cos 2α =sin α . 1 α 2.已知 cos α = ,α ∈(π ,2π ),则 cos = 3 2 答案 - 6 3 .

2

2

α π 解析 ∵ ∈( ,π ), 2 2 α ∴cos =- 2 1+cos α =- 2 2 6 =- . 3 3 .

π 4 π π 3.如果 α ∈( ,π ),且 sin α = ,那么 sin(α + )+cos(α + )= 2 5 4 4 3 2 答案 - 5 3 解析 由已知 cos α =- , 5 π π π π ∴sin(α + )+cos(α + )= 2sin(α + + ) 4 4 4 4 3 = 2cos α =- 2. 5 4.(2014·上海)函数 y=1-2cos 2x 的最小正周期是 答案 π 2
2



2π π 解析 由题意 y=-cos 4x,T= = . 4 2

题型一 三角函数式的化简求值

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例1

θ θ ?1+sin θ +cos θ ??sin -cos ? 2 2 (1)已知 0<θ <π ,化简: = 2+2cos θ .

.

1 π cos 2α (2)已知 sin α = +cos α ,且 α ∈(0, ),则 的值为 2 2 π sin?α - ? 4 答案 (1)-cos θ 解析 (1)原式 θ θ θ θ 2θ ?2sin cos +2cos ??sin -cos ? 2 2 2 2 2 = 2θ 4cos 2 θ 2θ 2θ ?sin -cos ? -cos ·cos θ 2 2 2 θ =cos · = . 2 θ θ |cos | |cos | 2 2 θ π 因为 0<θ <π ,所以 0< < , 2 2 θ 所以 cos >0,所以原式=-cos θ . 2 1 (2)方法一 ∵sin α = +cos α , 2 1 ∴sin α -cos α = , 2 π 1 ∴ 2sin(α - )= , 4 2 π 2 ∴sin(α - )= . 4 4 π π π π 又∵α ∈(0, ),∴α - ∈(- , ), 2 4 4 4 π 14 ∴cos(α - )= , 4 4 (2)- 14 2

π π π 2 14 7 ∴cos 2α =-sin[2(α - )]=-2sin(α - )cos(α - )=-2× × =- , 4 4 4 4 4 4 7 - 4 cos 2α 14 ∴ = =- . π 2 2 sin?α - ? 4 4

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1 方法二 ∵sin α = +cos α , 2 1 ∴sin α -cos α = , 2 1 2 ∴(sin α -cos α ) =1-2sin α cos α = , 4 3 ∴2sin α cos α = , 4 π ∵α ∈(0, ), 2 ∴sin α +cos α = sin α +cos α +2sin α cos α = 3 7 1+ = , 4 2
2 2

cos 2α ?cos α +sin α ??cos α -sin α ? ∴ = π 2 sin?α - ? ?sin α -cos α ? 4 2 =- 2(sin α +cos α )=- 14 . 2

思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与 特征.(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等), 寻找式子和三角函数公式之间的共同点. 1+cos 2α 1 (1)若 = ,则 tan 2α = sin 2α 2 . .

π 4 π (2)设 α 为锐角,若 cos(α + )= ,则 sin(2α + )的值为 6 5 12 4 答案 (1)- 3 17 (2) 2 50
2

1+cos 2α 2cos α cos α 1 解析 (1) = = = , sin 2α 2sin α cos α sin α 2 ∴tan α =2,∴tan 2α = (2)∵α 为锐角,cos(α + π 3 ∴sin(α + )= , 6 5 π π π 24 ∴sin(2α + )=2sin(α + )cos(α + )= , 3 6 6 25 π π 7 2 cos(2α + )=2cos (α + )-1= , 3 6 25
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2tan α 4 4 = =- . 2 1-tan α 1-4 3

π 4 )= , 6 5

π π π ∴sin(2α + )=sin(2α + - ) 12 3 4 = 2 π π 17 2 [sin(2α + )-cos(2α + )]= . 2 3 3 50

题型二 三角函数的求角问题 例 2 (1)已知锐角 α ,β 满足 sin α = 5 3 10 ,cos β = ,则 α +β = 5 10 . .

π π α (2)已知函数 f(x)=tan(2x+ ),若 α ∈(0, )且 f( )=2cos 2α ,则 α = 4 4 2 π 答案 (1) 4 π (2) 12

解析 (1)由 sin α = 10 , 10

5 3 10 2 5 ,cos β = 且 α ,β 为锐角,可知 cos α = ,sin β = 5 10 5

2 5 3 10 5 10 2 故 cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β = × - × = , 5 10 5 10 2 π 又 0<α +β <π ,故 α +β = . 4 α (2)由 f( )=2cos 2α , 2 π 得 tan(α + )=2cos 2α , 4 π sin?α + ? 4 2 2 =2(cos α -sin α ), π cos?α + ? 4 sin α +cos α 整理得 =2(cos α +sin α )(cos α -sin α ). cos α -sin α π ∵α ∈(0, ),∴sin α +cos α ≠0. 4 1 1 2 ∴(cos α -sin α ) = ,即 sin 2α = . 2 2 π π 由 α ∈(0, ),得 2α ∈(0, ), 4 2 π π ∴2α = ,即 α = . 6 12 思维升华 (1)由三角函数值求角, 一定要考虑角的范围; (2)通过求角的某种三角函数值来 求角,在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函
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? π? 数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是?0, ?,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π ), 2? ? ? π π? 选余弦较好;若角的范围为?- , ?,选正弦较好. ? 2 2?
(1) 已知 sin α = = . . 5 10 , sin(α - β ) =- , α , β 均为锐角,则角 β 5 10

(2)在△ABC 中,tan A+tan B+ 3= 3tan A·tan B,则 C= π 答案 (1) 4 π (2) 3

π π 解析 (1)∵α 、β 均为锐角,∴- <α -β < . 2 2 又 sin(α -β )=- 又 sin α = 10 3 10 ,∴cos(α -β )= . 10 10

5 2 5 ,∴cos α = , 5 5

∴sin β =sin[α -(α -β )] =sin α cos(α -β )-cos α sin(α -β ) = 5 3 10 2 5 10 2 × - ×(- )= . 5 10 5 10 2

π ∴β = . 4 (2)由已知可得 tan A+tan B= 3(tan A·tan B-1), tan A+tan B ∴tan(A+B)= =- 3, 1-tan Atan B 2 π 又 0<A+B<π ,∴A+B= π ,∴C= . 3 3 题型三 三角变换的应用 例 3 已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(-3, 3). (1)求 sin 2α -tan α 的值; (2)若函数 f(x)=cos(x-α )cos α -sin(x-α )sin α ,求函数 y= 3f( 2π 在区间[0, ]上的取值范围. 3 解 (1)∵角 α 终边经过点 P(-3, 3), 1 3 3 ∴sin α = ,cos α =- ,tan α =- , 2 2 3
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π 2 -2x)-2f (x) 2

∴sin 2α -tan α =2sin α cos α -tan α =- 3 3 3 + =- . 2 3 6

(2)∵f(x)=cos(x-α )cos α -sin(x-α )sin α =cos x, π 2 ∴y= 3cos( -2x)-2cos x 2 = 3sin 2x-1-cos 2x π =2sin(2x- )-1, 6 2π ∵0≤x≤ , 3 4π ∴0≤2x≤ , 3 π π 7π ∴- ≤2x- ≤ , 6 6 6 1 π ∴- ≤sin(2x- )≤1, 2 6 π ∴-2≤2sin(2x- )-1≤1, 6 π 2π 2 故函数 y= 3f( -2x)-2f (x)在区间[0, ]上的取值范围是[-2,1]. 2 3 思维升华 三角变换和三角函数性质相结合是高考的一个热点, 解题时要注意观察角、 式子 间的联系,利用整体思想解题. π (1)函数 f(x)= 3sin x+cos( +x)的最大值为 3 π 2 (2)函数 f(x)=sin(2x- )-2 2sin x 的最小正周期是 4 答案 (1)1 (2)π 解析 (1)f(x)= 3sin x+cos π π cos x-sin sin x 3 3 . .

1 3 π = cos x+ sin x=sin(x+ ).∴f(x)max=1. 2 2 6 (2)f(x)= = 2 2 sin 2x- cos 2x- 2(1-cos 2x) 2 2

2 2 π sin 2x+ cos 2x- 2=sin(2x+ )- 2, 2 2 4

2π ∴T= =π . 2
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二审结论会转换 典例:(2013·山东)设函数 f(x)= 3 2 - 3sin ω x-sin ω xcos ω x(ω >0),且 y=f(x) 2

π 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 . 4 (1)求 ω 的值; 3π ? ? (2)求 f(x)在区间?π , ?上的最大值和最小值. 2 ? ?

(1)求 ω

求 f(x)的周期

T π 对称中心与对称轴的最近距离 = 4 4

T=π

求出 ω =1 3π (2)求 f(x)在[π , ]上的最值 2 由(1)得 f(x)=-sin(2x- π ) 3

π 3π 求 f(x)=-sin(2x- )在[π , ]上的最值 3 2 π 利用换元思想,将 2x- 作为一个整体 3 π 求 2x- 的范围 3 3π 由 π ≤x≤ 2 5π π 8π ≤2x- ≤ 3 3 3 结合正弦函数的图象
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-1≤f(x)≤ 规范解答

3 . 2

解 (1)f(x)= = =

3 2 - 3sin ω x-sin ω xcos ω x 2

3 1-cos 2ω x 1 - 3× - sin 2ω x 2 2 2 3 1 cos 2ω x- sin 2ω x 2 2

π? ? =-sin?2ω x- ?. 3? ? 2π π 依题意知 =4× ,ω >0,所以 ω =1. 2ω 4 π? ? (2)由(1)知 f(x)=-sin?2x- ?. 3? ? 3π 5π π 8π 当 π ≤x≤ 时, ≤2x- ≤ . 2 3 3 3 所以- π? 3 ? ≤sin?2x- ?≤1. 3? 2 ? 3 . 2

所以-1≤f(x)≤

3π ? 3 ? 故 f(x)在区间?π , ?上的最大值和最小值分别为 和-1. 2 2 ? ? 温馨提醒 (1)讨论三角函数性质要先利用三角变换将函数化成 y=Asin(ω x+φ )的形式; π (2)解题中将 2x- 视为一个整体,可以借助图象求函数最值. 3

方法与技巧 1.三角函数的求值与化简要有联系的观点,注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系, 然后进行变换. 2.利用三角函数值求角要考虑角的范围. 3.与三角函数的图象与性质相结合的综合问题.借助三角恒等变换将已知条件中的函数解 析式整理为 f(x)=Asin(ω x+φ )的形式,然后借助三角函数图象解决. 失误与防范 1.利用辅助角公式,asin x+bcos x 转化时一定要严格对照和差公式,防止搞错辅助角.
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2.计算形如 y=sin(ω x+φ ), x∈[a,b]形式的函数最值时,不要将 ω x+φ 的范围和 x 的范围混淆.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) π? 2 2? 1.(2013·课标全国Ⅱ)已知 sin 2α = ,则 cos ?α + ?= 4? 3 ? 答案 1 6 π? π? ? ? 1+cos2?α + ? 1+cos?2α + ? 4 2 ? 1-sin 2α π? ? ? ? 2? 因 为 cos ?α + ? = = = ,所以 4? 2 2 2 ? .

解析

2 1- 3 1 π ? 1-sin 2α 2? cos ?α + ?= = = . 4 2 2 6 ? ? 4 π 2 2.若 sin α = ,则 sin(α + )- cos α = 5 4 2 答案 2 2 5 .

π 2 π π 2 4 2 2 2 解析 sin(α + )- cos α =sin α cos +cos α sin - cos α = × = . 4 2 4 4 2 5 2 5 1 3.在△ABC 中,tan B=-2,tan C= ,则 A= 3 答案 π 4 .

解析 tan A=tan[π -(B+C)] tan B+tan C =-tan(B+C)=- 1-tan Btan C 1 -2+ 3

=- =1. 1 1-?-2?× 3 又 A 为△ABC 的内角.故 A= 4.若 tan α + π . 4 .

1 10 π π π = ,α ∈( , ),则 sin(2α + )的值为 tan α 3 4 2 4

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答案 -

2 10

1 10 sin α cos α 10 解析 由 tan α + = 得 + = , tan α 3 cos α sin α 3 ∴ 1 10 3 = ,∴sin 2α = . sin α cos α 3 5

π π π ∵α ∈( , ),∴2α ∈( ,π ), 4 2 2 4 ∴cos 2α =- . 5 π π π ∴sin(2α + )=sin 2α cos +cos 2α sin 4 4 4 = 2 3 4 2 ×( - )=- . 2 5 5 10 2 4 4 ,则 sin θ +cos θ 的值为 3 .

5.已知 cos 2θ = 答案 11 18
4 4

解析 sin θ +cos θ =(sin θ +cos θ ) -2sin θ cos θ 1 1 11 2 2 =1- sin 2θ =1- (1-cos 2θ )= . 2 2 18 6.已知 sin(α -45°)=- 答案 4 5 2 ,0°<α <90°,则 cos α = 10 .

2

2

2

2

2

解析 ∵0°<α <90°,∴-45°<α -45°<45°, 7 2 2 ∴cos(α -45°)= 1-sin ?α -45°?= , 10 ∴cos α =cos[(α -45°)+45°] 4 =cos(α -45°)cos 45°-sin(α -45°)sin 45°= . 5 7 为 答案 3
2 2 2





x∈

?0,π ? ? 2? ? ?







数 .

y



2sin x+1 sin 2x

2









2sin x+1 3sin x+cos x 解析 y= = sin 2x 2sin xcos x

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3tan x+1 3 1 = = tan x+ . 2tan x 2 2tan x π ∵x∈(0, ),∴tan x>0. 2 3 1 ∴ tan x+ ≥2 2 2tan x (当 tan x= 3 1 tan x· = 3. 2 2tan x

2

3 π ,即 x= 时取等号) 3 6

即函数的最小值为 3. π 2 8.已知 tan( +θ )=3,则 sin 2θ -2cos θ 的值为 4 4 答案 - 5 π 解析 ∵tan( +θ )=3, 4 1+tan θ 1 ∴ =3,解得 tan θ = . 1-tan θ 2 ∵sin 2θ -2cos θ =sin 2θ -cos 2θ -1 2sin θ cos θ cos θ -sin θ = - 2 -1 2 2 2 sin θ +cos θ sin θ +cos θ 2tan θ 1-tan θ = - -1 2 2 1+tan θ 1+tan θ 4 3 4 = - -1=- . 5 5 5 1 5 π π 9.已知 tan α =- ,cos β = ,α ∈( ,π ),β ∈(0, ),求 tan(α +β )的值, 3 5 2 2 并求出 α +β 的值. 解 由 cos β = 5 π ,β ∈(0, ), 5 2
2 2 2 2



2 5 得 sin β = ,tan β =2. 5 tan α +tan β ∴tan(α +β )= 1-tan α tan β 1 - +2 3 = =1. 2 1+ 3 π π π 3π ∵α ∈( ,π ),β ∈(0, ),∴ <α +β < , 2 2 2 2
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5π ∴α +β = . 4 1 π 10.已知函数 f(x)=2sin( x- ),x∈R. 3 6 5π (1)求 f( )的值; 4 π π 10 6 (2)设 α ,β ∈[0, ],f(3α + )= ,f(3β +2π )= ,求 cos(α +β )的值. 2 2 13 5 解 (1)由题设知:

f(

5π 5π π π )=2sin( - )=2sin = 2. 4 12 6 4

10 π (2)由题设知: =f(3α + )=2sin α , 13 2 6 π =f(3β +2π )=2sin(β + )=2cos β , 5 2 5 3 即 sin α = ,cos β = , 13 5 π 12 4 又 α ,β ∈[0, ],∴cos α = ,sin β = , 2 13 5 ∴cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β 12 3 5 4 16 = × - × = . 13 5 13 5 65 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 1.cos 20°cos 40°cos 60°·cos 80°= 答案 1 16 .

sin 20°cos 20°cos 40°cos 80° 解析 原式= 2sin 20° sin 40°cos 40°cos 80° = 4sin 20° sin 80°cos 80° sin 160° 1 = = = . 8sin 20° 16sin 20° 16 2.定义运算? β = 答案 π 3 1 ?sin α ?a b? ?=ad-bc,若 cos α =7,? ?c d? ?cos α . sin β ? 3 3 π ?= 14 ,0<β <α < 2 ,则 cos β ?

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解析 依题意有 sin α cos β -cos α sin β =sin(α -β ) 3 3 = , 14 π π 又 0<β <α < ,∴0<α -β < , 2 2 故 cos(α -β )= 1-sin ?α -β ?= 1 4 3 而 cos α = ,∴sin α = , 7 7 于是 sin β =sin[α -(α -β )] =sin α cos(α -β )-cos α sin(α -β ) 4 3 13 1 3 3 3 = × - × = , 7 14 7 14 2 π 故β = . 3 π 2 3.sin(α + )= ,则 sin 2α = 4 4 3 答案 - 4 π 2 2 2 解析 sin(α + )= sin α + cos α = , 4 2 2 4 1 ∴sin α +cos α = , 2 (sin α +cos α ) =sin α +cos α +2sin α cos α 1 =1+sin 2α = , 4 3 故 sin 2α =- . 4 1 2 4.(2013·北京)已知函数 f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ cos 4x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期及最大值; (2)若 α ∈?
2 2 2 2

13 , 14

.

?π ,π ?,且 f(α )= 2,求 α 的值. ? 2 ?2 ?

1 2 解 (1)f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ cos 4x 2 1 =cos 2xsin 2x+ cos 4x 2

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π? 1 2 ? = (sin 4x+cos 4x)= sin?4x+ ?, 4? 2 2 ? π 2 ∴f(x)的最小正周期 T= ,最大值为 . 2 2 (2)由 f(α )= ∵α ∈? π? 2 ? ,得 sin?4α + ?=1. 4? 2 ?

?π ,π ?,则9π <4α +π <17π , ? 4 4 4 ?2 ?

π 5 9 所以 4α + = π ,故 α = π . 4 2 16 π 3 2 5.(2014·天津)已知函数 f(x)=cos xsin(x+ )- 3cos x+ ,x∈R. 3 4 (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在闭区间[- , ]上的最大值和最小值. 4 4 1 3 3 2 解 (1)由已知,有 f(x)=cos x·( sin x+ cos x)- 3cos x+ 2 2 4 1 3 3 2 = sin x·cos x- cos x+ 2 2 4 1 3 3 = sin 2x- (1+cos 2x)+ 4 4 4 1 3 = sin 2x- cos 2x 4 4 1 π = sin(2x- ). 2 3 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π =π . 2

π π π π (2)因为 f(x)在区间[- ,- ]上是减函数,在区间[- , ]上是增函数, 4 12 12 4

f(- )=- ,f(- )=- ,f( )= ,
π π 1 1 所以,函数 f(x)在闭区间[- , ]上的最大值为 ,最小值为- . 4 4 4 2

π 4

1 4

π 12

1 2

π 4

1 4

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